第四節(jié)

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考綱考情廣東五年1考高考指數(shù):★☆☆☆☆

1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想五年考題2011T2

考情播報(bào)1.直線與圓的三種位置關(guān)系、弦長、最值等是近幾年高考命題的熱點(diǎn)2.常與橢圓、雙曲線、拋物線交匯考查,有時(shí)也與對(duì)稱性、平面幾何性質(zhì)結(jié)合考查3.題型主要以選擇、填空為主,有時(shí)也會(huì)以解答題形式出現(xiàn),屬中低檔題【知識(shí)梳理】1.直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法方法過程依據(jù)結(jié)論代數(shù)法聯(lián)立方程組消去x(或y)得一元二次方程,計(jì)算Δ=b2-4acΔ>0相交Δ=0相切Δ<0相離幾何法計(jì)算圓心到直線的距離d,比較d與半徑r的關(guān)系.相交時(shí)弦長為

d<r相交d=r相切d>r相離2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).方法位置關(guān)系幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系代數(shù)法:兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離____________外切__________________相交______________兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=|r1-r2|(r1≠r2)___________內(nèi)含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)_____d>r1+r2無解d=r1+r2一組實(shí)數(shù)解|r1-r2|<d<r1+r2一組實(shí)數(shù)解無解【考點(diǎn)自測(cè)】1.(思考)給出下列命題:①如果直線與圓組成的方程組有解,則直線與圓相交或相切.②如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切.③如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.④從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.⑤過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2.其中正確的是(

)A.①②

B.②③

C.③④

D.①⑤【解析】選D.①正確.直線與圓組成的方程組有一組解時(shí),直線與圓相切,有兩組解時(shí),直線與圓相交.②錯(cuò)誤.因?yàn)槌馇型?還可能內(nèi)切.③錯(cuò)誤.因?yàn)槌∮趦砂霃胶瓦€需大于兩半徑差的絕對(duì)值,否則可能內(nèi)切或內(nèi)含.④錯(cuò)誤.只有當(dāng)兩圓相交時(shí),方程才是公共弦所在的直線方程.⑤正確.由已知可得O,P,A,B四點(diǎn)共圓,其方程為即x2+y2-x0x-y0y=0,①又圓O方程:x2+y2=r2,②②-①得:x0x+y0y=r2,而兩圓相交于A,B兩點(diǎn),故直線AB的方程是x0x+y0y=r2.2.直線3x+4y+1=0與圓(x+2)2+(y-3)2=9的位置關(guān)系為(

)A.相交B.相切

C.相離

D.不確定【解析】選A.因?yàn)閳A心(-2,3)到直線3x+4y+1=0的距離所以直線與圓相交.3.半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內(nèi)切,則此圓的方程是(

)A.(x-4)2+(y-6)2=6

B.(x±4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36

D.(x±4)2+(y-6)2=36【解析】選D.依題意,設(shè)圓心為(x,6),由兩圓內(nèi)切,得所以x=±4,所以圓的方程為(x±4)2+(y-6)2=36.4.過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0截得的弦長為(

)A.B.2

C.

D.2【解析】選D.圓心坐標(biāo)為(0,2),直線方程為y=x,作出草圖,數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造直角三角形,圓心在y軸,直徑為4,所求弦過原點(diǎn)且與x軸正方向所成的角為60°?弦長=4cos30°=2.5.圓x2+y2-2x+4y-20=0截直線5x-12y+c=0所得的弦長為8,則c的值是

.【解析】因?yàn)橄议L為8,圓的半徑為5,所以弦心距為因?yàn)閳A心坐標(biāo)為(1,-2),所以所以c=10或c=-68.答案:10或-686.圓O1:x2+y2-2x=0和圓O2:x2+y2-4y=0的位置關(guān)系是

.【解析】圓O1的圓心為(1,0),半徑r1=1,圓O2的圓心為(0,2),半徑為r2=2,故兩圓的圓心距|O1O2|=,而r2-r1=1,r1+r2=3,則有r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故兩圓相交.答案:相交考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系

【典例1】(1)(2013·安徽高考)直線x+2y-5+=0被圓x2+y2-2x-4y=0截得的弦長為(

)A.1B.2

C.4

D.4(2)(2013·天津高考)已知過點(diǎn)P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線ax-y+1=0垂直,則a=

(

)A.-B.1

C.2

D.(3)(2013·湖北高考)已知圓O:x2+y2=5,直線l:xcosθ+ysinθ=1設(shè)圓O上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k,則k=

.【解題視點(diǎn)】(1)由圓的半徑、弦心距、半弦長組成直角三角形,利用勾股定理即可求得半弦長.(2)根據(jù)圓的切線的性質(zhì)確定切線的斜率,再由兩直線垂直求a的值.(3)根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,求圓心到直線的距離,同半徑的一半相比較.【規(guī)范解答】(1)選C.由(x－1)2+(y－2)2=5得圓心(1,2)，半徑r=，圓心到直線x+2y-5+=0的距離在半徑、弦心距、半弦長組成的直角三角形中，弦長l=(2)選C.因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2)為圓(x-1)2+y2=5上的點(diǎn),由圓的切線性質(zhì)可知,圓心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線與過點(diǎn)P(2,2)的切線垂直.因?yàn)閳A心(1,0)與點(diǎn)P(2,2)的連線的斜率k=2,故過點(diǎn)P(2,2)的切線斜率為-,所以直線ax-y+1=0的斜率為2,因此a=2.(3)半徑為R=,圓心到直線l的距離故數(shù)形結(jié)合得k=4.答案:4【規(guī)律方法】直線與圓相交弦長的求法(1)幾何法：求圓心到直線的距離d，再利用公式l＝(2)代數(shù)法：直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去x(或y)利用公式

(或)求解.

【變式訓(xùn)練】(2014·珠海模擬)已知直線l1:y=4x,l2:y=-4x,過的直線l與l1,l2分別交于A,B,若M是線段AB的中點(diǎn),則|AB|等于(

)A.12B.C.

D.【解析】選B.設(shè)A(x1,4x1),B(x2,-4x2)??所以A(2,8),B(1,-4).所以【加固訓(xùn)練】1.(2014·麗水模擬)若圓心在x軸上,半徑為的圓C位于y軸左側(cè),且被直線x+2y=0截得的弦長為4,則圓C的方程是(

)A.(x-)2+y2=5B.(x+)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5【解析】選B.設(shè)圓心為(a,0)(a<0),因?yàn)榻氐玫南议L為4,所以弦心距為1,則解得a=-,所以,所求圓的方程為:(x+)2+y2=5.2.直線ax-y+2a=0與圓x2+y2=9的位置關(guān)系是(

)A.相離B.相切

C.相交

D.不確定【解析】選C.直線ax-y+2a=0?a(x+2)-y=0,即直線恒過點(diǎn)(-2,0),因?yàn)辄c(diǎn)(-2,0)在圓內(nèi),所以直線與圓相交.3.過圓x2+y2=1上一點(diǎn)作圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為(

)A. B.C.2D.3【解析】選C.設(shè)圓上的點(diǎn)為(x0,y0),其中x0>0,y0>0,則切線方程為x0x+y0y=1.分別令x=0,y=0得所以4.過原點(diǎn)的直線與圓x2+y2-2x-4y+4=0相交所得弦的長為2,則該直線的方程為

.【解析】設(shè)所求直線方程為y=kx,即kx-y=0.由于直線kx-y=0被圓截得的弦長等于2,圓的半徑是1,因此圓心到直線的距離等于0,即圓心位于直線kx-y=0上.于是有k-2=0,即k=2,因此所求直線方程是2x-y=0.答案:2x-y=05.已知直線y=x+b交圓x2+y2=1于A,B兩點(diǎn),且∠AOB=60°(O為原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)b的值為

.【解析】如圖易得

所以b＝.答案：考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系

【典例2】(1)設(shè)兩圓C1,C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(diǎn)(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|=

(

)A.4

B.4

C.8

D.8(2)(2014·天津模擬)兩個(gè)圓x2+y2+2ax+a2-4=0與x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三條公切線,若a∈R,b∈R,ab≠0,則的最小值為

.【解題視點(diǎn)】(1)注意圓心的縱橫坐標(biāo)相等，兩圓圓心距等于兩圓圓心橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值的

倍.(2)兩圓有三條公切線，說明兩圓外切，從而得出a，b的關(guān)系式.【規(guī)范解答】(1)選C.依題意,可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a)、半徑為r,其中r=a>0,因此圓的方程是(x-a)2+(y-a)2=a2,由圓過點(diǎn)(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即a2-10a+17=0,則該方程的兩根分別是圓心C1,C2的橫坐標(biāo),選C.(2)兩圓有三條公切線，說明兩圓外切．兩個(gè)圓的方程分別為(x＋a)2＋y2＝22，x2＋(y－2b)2＝12，所以a，b滿足即a2＋4b2＝9，所以等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a2＝2b2時(shí)成立．答案：1【規(guī)律方法】1.判斷兩圓位置關(guān)系的方法常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值的關(guān)系,一般不用代數(shù)法.2.兩圓公切線的條數(shù)位置關(guān)系內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離公切線條數(shù)01234【變式訓(xùn)練】1.若圓(x-a)2+(y-b)2=b2+1始終平分圓(x+1)2+(y+1)2=4的周長,則a,b滿足的關(guān)系是(

)A.a2+2a+2b-3=0

B.a2+b2+2a+2b+5=0C.a2+2a+2b+5=0

D.a2-2a-2b+5=0【解析】選C.兩圓的公共弦必過(x+1)2+(y+1)2=4的圓心,兩圓相減得相交弦的方程為-2(a+1)x-2(b+1)y+a2+1=0,將圓心坐標(biāo)(-1,-1)代入可得a2+2a+2b+5=0.2.若☉O:x2+y2=5與☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是

.【解析】依題意得|OO1|＝且△OO1A是直角三角形，△OO1A的面積＝因此|AB|＝答案：4【加固訓(xùn)練】1.圓C1:x2+y2-6x+4y+12=0與圓C2:x2+y2-14x-2y+14=0的位置關(guān)系是(

)A.相交B.內(nèi)含

C.外切

D.內(nèi)切【解析】選D.由已知,圓C1:(x-3)2+(y+2)2=1,圓C2:(x-7)2+(y-1)2=36,則|C1C2|=5=6-1,故選D.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值為

.【解析】如圖,直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),只需保證圓心C到y(tǒng)=kx-2的距離不大于2即可.而圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=1,圓心C(4,0)到直線y=kx-2的距離由題意知整理得3k2-4k≤0,解得0≤k≤,故kmax=

.答案:

考點(diǎn)3直線與圓的綜合問題【考情】直線與圓的綜合問題是本節(jié)在高考中的一個(gè)命題熱點(diǎn),主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn),考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離,有時(shí)也與函數(shù)、不等式交匯命題.高頻考點(diǎn)

通關(guān)【典例3】(1)(2013·江西高考)過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于()(2)(2013·四川高考)已知圓C的方程為x2+(y－4)2=4，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).直線l:y=kx與圓C交于M,N兩點(diǎn).①求k的取值范圍.②設(shè)Q(m,n)是線段MN上的點(diǎn)，且

請(qǐng)將n表示為m的函數(shù).【解題視點(diǎn)】(1)確定曲線的形狀，利用幾何法求得取最值時(shí)的情況，再求l的斜率.(2)①求解時(shí)要抓住直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在求解k的取值范圍時(shí)可以利用判別式進(jìn)行求解；②利用找到m,n的關(guān)系.【規(guī)范解答】(1)選B.曲線表示以(0,0)為圓心，以1為半徑的上半圓.設(shè)直線l的方程為y=k(x-)，即kx-y-k=0，若直線與半圓相交，則k≤0，圓心到直線的距離為弦長為|AB|=△AOB的面積為易知當(dāng)時(shí)S最大，解得k2=，故k=-.(2)①將y=kx代入x2+(y-4)2=4中，得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12＞0，得k2＞3.所以，k的取值范圍是(-∞,-)∪(,+∞).②因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1),(x2,kx2),則又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.由得即由(*)式可知，所以因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx上，所以k=，代入中并化簡(jiǎn)，得5n2-3m2=36.由

及k2＞3，可知0＜m2＜3，即m∈(-,0)∪(0,).根據(jù)題意，點(diǎn)Q在圓C內(nèi)，則n＞0,所以于是，n與m的函數(shù)關(guān)系為【通關(guān)錦囊】高考指數(shù)重點(diǎn)題型破解策略◆◆◆已知直線與圓的位置關(guān)系,求直線方程可依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系,找確定直線的兩個(gè)條件即可◆◆◆已知直線與圓相交,求三角形面積已知(或取最值)時(shí)的直線方程或直線的斜率可先設(shè)直線的斜率,利用面積找出關(guān)于斜率的等式(或函數(shù)),然后求值高考指數(shù)重點(diǎn)題型破解策略◆◆◆已知直線與圓的位置關(guān)系確定直線(或圓的方程)或求參數(shù)值依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出等式(或不等式),然后求解◆◆

直線與圓結(jié)合,求三角形(或四邊形)面積的最值利用已知條件求出面積的表達(dá)式,利用函數(shù)式(或基本不等式)求最值【關(guān)注題型】【特別提醒】注意圓上的點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)都有取值范圍.◆

已知直線與圓的方程求某代數(shù)式的最值或值域利用直線與圓的位置關(guān)系,確定變量的取值范圍,再求代數(shù)式的范圍或最值

【通關(guān)題組】1.(2013·山東高考)過點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB的方程為(

)A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0

D.4x+y-3=0【解析】選A.由圖象可知,A(1,1)是一個(gè)切點(diǎn),根據(jù)切線的特點(diǎn)可知過點(diǎn)A,B的直線與過點(diǎn)(3,1),(1,0)的直線互相垂直,kAB=

所以直線AB的方程為y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.2.(2014·寶雞模擬)圓心在曲線y＝

(x＞0)上，且與直線2x＋y＋1＝0相切的面積最小的圓的方程為()A.(x－1)2＋(y－2)2＝5B.(x－2)2＋(y－1)2＝5C.(x－1)2＋(y－2)2＝25

D.(x－2)2＋(y－1)2＝25【解析】選A.設(shè)圓心為則當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)r最小時(shí)，圓的面積S＝πr2最小，此時(shí)圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5.3.(2014·廣州模擬)已知圓C:x2+y2-6x-8y+21=0,直線l過定點(diǎn)A(1,0).(1)求圓心C的坐標(biāo)和圓的半徑r.(2)若l與圓C相切,求l的方程.(3)若l與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),求三角形CPQ面積的最大值,并求此時(shí)l的直線方程.【解析】(1)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x-3)2+(y-4)2=4,所以圓心C(3,4),半徑r=2.(2)①若直線l的斜率不存在,則直線x=1,符合題意.②若直線l斜率存在,設(shè)直線l:y=k(x-1),即kx-y-k=0.因?yàn)閘與圓C相切.所以圓心C(3,4)到已知直線l的距離等于半徑2,即解得k=.所以綜上,所求直線方程為x=1或3x-4y-3=0.(3)直線與圓相交，斜率必定存在，設(shè)直線方程為kx-y-k=0.則圓心到直線l的距離又因?yàn)椤鰿PQ面積所以當(dāng)d=時(shí)，Smax=2.由解得k=1或k=7.所以直線方程為x-y-1=0或7x-y-7=0.【加固訓(xùn)練】1.(2014·阜陽模擬)已知P是直線l:3x－4y＋11＝0上的動(dòng)點(diǎn),PA,PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線,A,B為切點(diǎn),C是圓心,那么四邊形PACB面積的最小值是()A.B.C.2D.2【解析】選B.由x2＋y2－2x－2y＋1＝0得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1,故圓心C(1,1),半徑|CA|＝|CB|＝1.又S四邊形PACB＝

|PA||CA|＋

|PB||CB|＝|PA||CA|＝|PA|，因此要使S四邊形PACB最小,只要|PA|最小，而所以只要|PC|最小，而所以|PA|min＝所以(S四邊形PACB)min＝

.2.(2014·聊城模擬)已知點(diǎn)A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),則PA2+PB2+PC2的最小值為

,最大值為

.【解析】設(shè)P(x,y),則x2+y2=4.PA2+PB2+PC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-4y+68=80-4y.因?yàn)?2≤y≤2,所以72≤PA2+PB2+PC2≤88.即PA2+PB2+PC2的最大值為88,最小值為72.答案:72

883.(2014·福州模擬)已知圓C:(x+1)2+y2=8.設(shè)點(diǎn)Q(x,y)是圓C上一點(diǎn).(1)求x+y的取值范圍.(2)在直線x+y-7=0上找一點(diǎn)P(m,n),使得過該點(diǎn)所作圓C的切線段最短.【解析】(1)設(shè)x＋y＝t，因?yàn)镼(x，y)是圓上的任意一點(diǎn)，所以該直線與圓相交或相切，即解得：－5≤t≤3，即x＋y的取值范圍為［－5,3］.(2)因?yàn)閳A心C到直線x＋y－7＝0的距離為d＝所以直線與圓相離，又因?yàn)榍芯€、圓心與切點(diǎn)的連線以及圓心與圓外的一點(diǎn)的連線組成一直角三角形且有半徑為一定值，所以只有當(dāng)過圓心向直線x＋y－7＝0作垂線，過其垂足作圓的切線所得切線段最短，其垂足即為所求的點(diǎn)P；設(shè)過圓心作直線x＋y－7＝0的垂線為x－y＋c＝0.又因?yàn)樵摼€過圓心(－1,0)，所以－1－0＋c＝0，即c＝1，而x＋y－7＝0與x－y＋1＝0的交點(diǎn)為(3,4)，即所求的點(diǎn)為P(3,4).【規(guī)范解答14】與圓有關(guān)的綜合問題【典例】(12分)(2013·江蘇高考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程.(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.【審題】分析信息,形成思路信息提取思路分析(1)圓心在l上也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓的切線圓心在兩直線上→交點(diǎn)即圓心,圓心到切線的距離等于半徑→切線的斜率→切線方程(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO點(diǎn)M滿足的條件→點(diǎn)M的軌跡,點(diǎn)M還在圓C上→兩