§6二階線性微分方程解性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)二階線性微分方程概念二階線性齊次微分方程解性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)二階線性非齊次微分方程解性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)常數(shù)變易法第1頁一.二階線性微分方程概念

定義1：

第2頁二.二階線性微分方程解性質(zhì)

與通解結(jié)構(gòu)設(shè)有二階線性齊次微分方程(2)關(guān)于(2)解，我們有：第3頁定理1

都是方程(2)解，線性齊次方程解含有可疊加性。第4頁說明:不一定是所給二階方程通解.比如,是某二階齊次方程解,也是齊次方程解

并不是通解不過則為處理通解判別問題,

下面引入函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.

第5頁定義2

成立，則稱此n個(gè)函數(shù)在I內(nèi)線性相關(guān)，不然線性無關(guān)。第6頁比如，

在(,)上都有故它們?cè)谌魏螀^(qū)間I上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間I上則依據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn),必需全為0,可見在任何區(qū)間I上都線性無關(guān).尤其地:第7頁兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)與線性無關(guān)充要條件:線性相關(guān)存在不全為0使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思索:中有一個(gè)恒為0,則必線性相關(guān)(證實(shí)略)線性無關(guān)第8頁Dec.15Wed.

Review1.二階線性微分方程第9頁(2)定理1若是方程(2)解，則它們?nèi)我饨M合：都是方程(2)解，其中為任意常數(shù)。2.線性齊次方程解含有可疊加性第10頁3.線性相關(guān)與線性無關(guān)成立，則稱此n個(gè)函數(shù)在I內(nèi)線性相關(guān)，不然線性無關(guān)。第11頁定理2第12頁對(duì)高階線性齊次方程，有類似定理：定理3若是n階線性齊次方程其中為任意常數(shù)。n個(gè)線性無關(guān)特解，則它通解為：第13頁三.二階線性非齊次微分方程

解性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)定理4設(shè)是非齊次方程一個(gè)特解，為對(duì)應(yīng)齊次方程通解，則為非齊次方程通解。第14頁證實(shí)：由假設(shè)知：第15頁例已知是對(duì)應(yīng)齊次方程通解，輕易驗(yàn)證：故該方程通解為，為該方程一個(gè)特解.第16頁例1證實(shí)：假如和是

兩個(gè)線性無關(guān)解，則是對(duì)應(yīng)齊次方程解。已知二階線性非齊次方程3個(gè)特解為求該方程滿足初始條件特解。第17頁證實(shí)：第18頁要求出非齊次方程通解，須先結(jié)構(gòu)齊次方程通解.只有零解。第19頁故得齊次方程兩個(gè)線性無關(guān)特解，非齊方程通解為：第20頁例2.已知微分方程個(gè)解求此方程滿足初始條件特解.解:是對(duì)應(yīng)齊次方程解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三

第21頁解疊加原理第22頁定理5.是對(duì)應(yīng)齊次方程n個(gè)線性無關(guān)特解,

給定n階非齊次線性方程是非齊次方程特解,則非齊次方程通解為齊次方程通解非齊次方程特解第23頁四、常數(shù)變易法復(fù)習(xí):

常數(shù)變易法:

對(duì)應(yīng)齊次方程通解:

設(shè)非齊次方程解為代入原方程確定

對(duì)二階非齊次方程

情形1.已知對(duì)應(yīng)齊次方程通解:

設(shè)③解為

③

因?yàn)橛袃蓚€(gè)待定函數(shù),所以要建立兩個(gè)方程:④第24頁⑤令于是將以上結(jié)果代入方程③:

得⑥故⑤,⑥系數(shù)行列式是對(duì)應(yīng)齊次方程解第25頁積分得:

代入③即得非齊次方程通解:

于是得

說明:將③解設(shè)為

只有一個(gè)必須滿足條件即方程③,

所以必需再附加一個(gè)條件,

方程⑤引入是為了簡(jiǎn)化計(jì)算.第26頁情形2.僅知③齊次方程一個(gè)非零特解代入③化簡(jiǎn)得設(shè)其通解為

積分得(一階線性方程)由此得原方程③通解:

第27頁例5.通解為

通解.解:將所給方程化為:已知齊次方程求利用⑤,⑥建立方程組:

積分得故所求通解為第28頁例6.通解.解:對(duì)應(yīng)齊次方程為已知對(duì)應(yīng)齊次方程有特解:令代入非齊次方程