專題八機械振動與機械波題型方法目錄題型26簡諧運動的兩種常見模型題型27振動圖像與波的圖像題型26簡諧運動的兩種常見模型模型圖解題型方法

彈簧振子(水平)單擺示意圖簡諧運動的判斷運動學特征:x=Asin(ωt+φ)

周期T=2π

周期T=2π

動力學特征:F=-kx(彈簧振子:k為彈簧的勁度系數(shù);單擺:k=

)物理量的圖像從平衡位置開始時,取向右為正方向①位移:②加速度:③速度:典例1

(2025山東濰坊調(diào)研)(多選)如圖所示,在固定的光滑水平硬桿上,套有上端開口

的滑塊,滑塊的質(zhì)量為6.4kg,滑塊的左端與一彈簧連接,彈簧的左端與墻壁連接,彈簧處

于原長時滑塊所在位置記為O,在O點正上方0.8m處有一比滑塊上端開口略小、質(zhì)量

為3.6kg的小球,初始時滑塊位于O點左側(cè)1.25m的a處,現(xiàn)將滑塊與小球同時由靜止釋

放,發(fā)現(xiàn)滑塊第一次經(jīng)過O點時小球恰好嵌入其中,忽略嵌入滑塊所用時間,已知彈簧的

彈性勢能的公式為Ep=

kx2,x為彈簧的形變量,彈簧振子的周期公式為T=2π

,m為彈簧振子的質(zhì)量,k為彈簧的勁度系數(shù),π2取9.8,g=10m/s2,則

()

BC

典例精解

A.彈簧的勁度系數(shù)為49N/mB.小球嵌入滑塊后振子的振幅變?yōu)?mC.滑塊釋放后2.4s內(nèi)經(jīng)過的路程為5.25mD.滑塊釋放后2.4s內(nèi)經(jīng)過的路程為7.5m

解析由自由落體運動規(guī)律可得小球下落所用的時間t=

=

s=0.4s,小球嵌入滑塊前,滑塊振動的周期T=4t=4×0.4s=1.6s,由彈簧振子的周期公式有T=2π

,可得彈簧的勁度系數(shù)k=98N/m,A錯誤。小球嵌入滑塊前,對滑塊與彈簧整體由能量守恒可

得

kx2=

m滑

,小球嵌入滑塊前、后瞬間,對小球和滑塊整體,由水平方向動量守恒可得m滑v1=(m滑+m球)v2(點撥:小球嵌入滑塊前、后瞬間,小球和滑塊整體在水平方向動量守

恒),小球嵌入滑塊后,對小球、滑塊和彈簧整體,由能量守恒可得

kA2=

(m滑+m球)

,聯(lián)立解得小球嵌入滑塊后振子的振幅A=1m,B正確。小球嵌入滑塊后,彈簧振子的周期T'=2π

,解得T'=2s,由題意結(jié)合上述分析可知2.4s=

T+T',則滑塊釋放后2.4s內(nèi)經(jīng)過的路程s=x+4A=(1.25+4×1)m=5.25m,C正確,D錯誤。典例2

(2024浙江湖麗衢二模)如圖甲所示,t=0時刻將小球(可視為質(zhì)點)從A點由靜止

釋放,小球在光滑圓弧面上的A、B兩點之間做往返運動。圓弧面對小球的支持力大小

F隨時間t變化的曲線如圖乙,若弧長AB遠小于半徑,g=10m/s2,則

()A.小球運動的周期為0.2πsB.光滑圓弧面的半徑為0.1m

C

C.小球的質(zhì)量為0.05kgD.小球的最大速度約為0.10m/s

解析由題圖乙可得,小球的運動周期T=0.4πs,A錯誤。由簡諧運動的周期公式T=2π

,可得光滑圓弧面的半徑R=L=0.4m,B錯誤。設(shè)小球在運動過程的最高點處與其做圓周運動的軌跡圓心的連線與豎直方向的夾角為θ,在最高點有mgcosθ=F1,在最低點

的速度最大,有F2-mg=m

,從最高點到最低點的過程,由動能定理可得mgR(1-cosθ)=

mv2,其中F1=0.495N、F2=0.510N,聯(lián)立解得m=0.05kg、v=

m/s,C正確,D錯誤?？挤ㄑ由?/p>

(變換情境和設(shè)問方式)光滑圓弧面的半徑為R,重力加速度為g。(1)將【典例2】中的裝置置于加速度大小為a的加速上升的電梯中,試求小球運動的周

期T。(2)假設(shè)小球帶正電,帶電荷量為q。①若將該裝置置于方向垂直于紙面向里的勻強磁場中,試求小球運動的周期T1。②若裝置所在空間中存在平行于紙面豎直向下的勻強電場,電場強度大小E=

,試求小球運動的周期T2。[(1)(2)的計算結(jié)果均用字母表示]

解析

(1)等效重力加速度g'=g+a,可得小球運動的周期T=2π

=2π

。(2)①小球所受洛倫茲力方向與速度方向垂直,小球所受重力沿圓弧面切線的分力提供

回復(fù)力,故T1=2π

。②在題給情境中,等效重力加速度g'=g+

=2g,可得T2=2π

。

答案

(1)2π

(2)①2π

②2π

方法拓展類單擺模型(1)如圖甲所示,小球在光滑的斜面上,圖乙中

為斜面內(nèi)的光滑圓弧,且

?l,當小球在

上運動時,其運動為類單擺運動,等效擺長為l,周期T=2π

(g效為等效重力加速度,且g效=gsinθ)。(2)等效重力加速度①單擺處于超重或失重狀態(tài)時g效=g±a。②單擺處于重力場與勻強電場的疊加場中時g效=

。題型27振動圖像與波的圖像知識圖解

振動圖像波的圖像圖像

物理意義表示同一質(zhì)點在各時刻偏離平衡位

置的位移表示某時刻各質(zhì)點偏離平衡位置的

位移圖像信息(1)由F=-ky判斷回復(fù)力的大小和方向(2)由a=

判斷加速度的大小和方向圖線上某點切線斜率表示速度傳播方向與振動方向的互判Δt后的圖像隨時間推移,圖線延續(xù),但已有形狀不

變隨時間推移,波形沿傳播方向平移Δx

=v傳播Δty=Asin

ty=Asin

聯(lián)系同一均勻介質(zhì)中,波的傳播速度v=

=

典例1

(2025重慶一中期中)如圖1所示是一列簡諧橫波在t=0.1s時刻的波形圖,P點是

平衡位置在x=1.5m處的質(zhì)點,Q點是平衡位置在x=12m處的質(zhì)點;圖2為質(zhì)點Q的振動圖

像。下列說法正確的是

()A.這列波沿x軸負方向傳播B.在t=0.35s時,質(zhì)點Q的位置坐標為(12m,10cm)C.在0.1~0.35s內(nèi),質(zhì)點P經(jīng)過的路程為50cm

D

典例精解D.從t=0.1s時刻開始計時,質(zhì)點P再過Δt=(0.075+0.2n)s(n=0,1,2,…)到達波谷

解析由題圖2可知質(zhì)點Q在t=0.1s時在平衡位置沿y軸負方向運動(點撥:利用“上下

坡法”“同側(cè)法”或“微平移法”),結(jié)合題圖1可知這列波沿x軸正方向傳播,A錯誤。

由題圖2可知質(zhì)點Q的振動周期T=0.2s,由于0.35s-0.1s=

T,可得0.35s時質(zhì)點Q恰好位于波谷,此時質(zhì)點Q的位置坐標為(12m,-10cm),B錯誤。若質(zhì)點P在t=0.1s時位于平衡

位置、波峰或波谷,則在0.1~0.35s即

T時間內(nèi),質(zhì)點P經(jīng)過的路程恰好為50cm,但質(zhì)點P不在上述的特定位置,故0.1~0.35s時間內(nèi)其運動的路程不是50cm,C錯誤。該波的波

速v=

=60m/s,利用“微平移法”可得P點在0.1s時刻后第一次到達波谷所用時間t1=

=

=0.075s,結(jié)合波傳播的周期性可知質(zhì)點P再過Δt=(0.075+0.2n)s(n=0,1,2,…)時到達波谷,D正確?？挤ㄑ由煸凇镜淅?】的基礎(chǔ)上,在0.1~0.35s時間內(nèi),質(zhì)點P經(jīng)過的路程是多少?

解析設(shè)質(zhì)點P振動的方程為y=10sin

(cm),其中T=0.2s當t=0.175s時y=-10cm,聯(lián)立可得y=10sin

(cm)在0.1~0.35s時間內(nèi)質(zhì)點P振動了

T,畫出質(zhì)點P的振動圖像如圖所示,則在0.1~0.35s時間內(nèi),質(zhì)點P經(jīng)過的路程s=2×5

cm+4×10cm=10(

+4)cm。

答案

10(

+4)cm

方法拓展波的傳播方向與質(zhì)點振動方向的互判

內(nèi)容圖像上下坡法沿波的傳播方向,上坡時質(zhì)點向下振

動,下坡時質(zhì)點向上振動

同側(cè)法波形圖上表示波的傳播方向和某點

振動方向的箭頭在圖線同側(cè)

微平移法將波形圖沿傳播方向進行微小平移,

再由對應(yīng)x軸上某一點的兩波形曲線

上的點來判定質(zhì)點振動方向

典例2

(多選)如圖所示,一列簡諧橫波沿x軸負方向傳播。實線為t=0時的波形圖,虛線

為t=0.3s時的波形圖。下列說法正確的是

()A.簡諧運動的周期可能為0.4s

BC

B.波的傳播速度可能為30m/sC.x=3.5m處質(zhì)點在t=0時速度沿y軸正方向D.x=1.5m處質(zhì)點在t=0.3s時的位移為-5cm

解析由題意可知Δt=0.3s=

T(n=0,1,2,…),解得T=

s(n=0,1,2,…);若周期為0.4s,則n取

,不符合條件,A錯誤。波速v=

=

m/s=

m/s(n=0,1,2,…),若v=30m/s,則n取2,B正確。由“上下坡法”可知x=3.5m處質(zhì)點在t=0時的速度沿y軸正方向,C

正確。x=1.5m處質(zhì)點的振動方程為y=Asin

=10·sin

(4n+1)t+

π

(cm),該處質(zhì)點在t=0.3s時的位移y=-5

cm,D錯誤。

一題多解波形平移判斷A選項

波的傳播速度v=

=

m/s(n=0,1,2,…),周期T=

=

s=

s(n=0,1,2,…),若周期為0.4s,則n取

,不符合條件,A錯誤。考法延伸

(空間周期性+不同介質(zhì))(多選)如圖所示,波源在S1處,某時刻由平衡位置開

始上下振動,產(chǎn)生一列簡諧橫波沿S1S2直線傳播。S2左側(cè)為介質(zhì)Ⅰ,右側(cè)為介質(zhì)Ⅱ,波在

這兩種介質(zhì)中的傳播速度之比為3∶4。某時刻波正好傳到S2右側(cè)5m處,且S2在波峰位

置。下列說法正確的是

()

A.S2處質(zhì)點的起振方向與S1處質(zhì)點的相同B.波在介質(zhì)Ⅰ中的周期比在介質(zhì)Ⅱ中的小C.波在介質(zhì)Ⅰ中的波長可能為5mD.波在介質(zhì)Ⅱ中的波長為

m(n=0,1,2,…)

AC

解析除S1處質(zhì)點外,其余質(zhì)點均做受迫振動,故S2處質(zhì)點的起振方向與S1處質(zhì)點的相

同,A正確。波由一種介質(zhì)進入另一種介質(zhì),頻率不變,由T=

可得波在介質(zhì)Ⅰ中的周期與在介質(zhì)Ⅱ中的周期相同,B錯誤。若波到達S2處時,S2處質(zhì)點從平衡位置向上振動,則

有

λⅡ=5m(n=0,1,2,…),解得λⅡ=

m(n=0,1,2,…),若傳到S2處時,S2處質(zhì)點從平衡位置向下振動,則有

λⅡ=5m(n=0,1,2,…),解得λⅡ=

m(n=0,1,2,…),D錯誤。由λ=vT可得

=

=3∶4,則波在介質(zhì)Ⅰ中的波長λⅠ=

λⅡ,即λⅠ=

m(n=0,1,2,…),當n=0.5時λⅠ=5m,不符合條件;或λⅠ=

m(n=0,1,2,…),當n=0時λⅠ=5m,符合條件,C正確。

方法拓展波的多解性問題

題型特征求