玉溪市中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn).（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出面積的最大值.解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由詳見解析；（3）.【詳解】試題分析：(1)已知點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得,,,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根據(jù)三角形的中位線定理及平行線的性質(zhì)（方法可類比（1）的方法）可得PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形；（3）把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，此時(shí)PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最長(zhǎng)，由（2）可知PM=PN，，所以面積的最大值為.試題解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得∠BAD=∠CAE，又AB=AC,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)∴PM是△DCE的中位線∴PM=CE，且,同理可證PN=BD，且∴PM="PN,"∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN為等腰直角三角形.(3).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)和三角形的綜合題.2．如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，且，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接．（特例感知）（1）圖1中與的數(shù)量關(guān)系是______________．（結(jié)論探索）（2）圖2，將圖1中的繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使得，連接，此時(shí)與還存在（1）中的數(shù)量關(guān)系嗎？判斷并說(shuō)明理由．（拓展應(yīng)用）（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．解析：(1)=，(2)存在，證明見解析，（3）或或16或4．【分析】(1)連接GC，證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(2)類似（1）的方法，先證△AFD≌△AEB，再證△CDG≌△CBE，得出△GCE為等腰直角三角形即可；(3)根據(jù)E、F是直角頂點(diǎn)分類討論，結(jié)合（2）中結(jié)論，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∴DF=BE，∵，∴DG=BE，∵∠GDC=∠B=90°，DC=BC，∴△CDG≌△CBE，∴CE=CG，∠GCD=∠ECB，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴=；故答案為：=；(2)存在，連接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，與（1）同理，=；(3)當(dāng)∠FEG=90°時(shí)，如圖1，因?yàn)椤螰EA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一條直線上，∵AB=5，∴AC=5,CE=5-3=2,GE=EC=4；如圖2，E在CA延長(zhǎng)線上，同理可得，EC=8，GE=EC=16；當(dāng)∠EFG=90°時(shí)，如圖3，∠AFD=∠EFG+∠AFE=135°，由（2）得，∠AFD=∠AEB=135°，DF=BE，所以，B、E、F在一條直線上，作AM⊥EF，垂足為M，∵，∴EF=6，AM=ME=MF=3，，BE=DF=1,FG=2，；如圖4，同圖3，BE=DF=7，F(xiàn)G=14，EF=6，，綜上，的長(zhǎng)為或或16或4．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)倪B接輔助線，構(gòu)造全等三角形；會(huì)分類討論，結(jié)合題目前后聯(lián)系，解決問(wèn)題．3．[問(wèn)題解決]（1）如圖1．在平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)處，折線AE交BC于點(diǎn)E，連接B'E．求證：四邊形是菱形．[規(guī)律探索]（2）如圖2，在平行四邊形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)P的直線折疊，點(diǎn)B恰好落在AD上的點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[拓展應(yīng)用]（3）如圖3，在矩形紙片ABCD（AD＞AB）中，將紙片沿過(guò)點(diǎn)P的直線折疊，得到折痕FP，點(diǎn)B落在紙片ABCD內(nèi)部點(diǎn)處，點(diǎn)A落在紙片ABCD外部點(diǎn)處，與AD交于點(diǎn)M，且M＝M．已知：AB＝4，AF＝2，求BP的長(zhǎng)．解析：（1）證明見解析；（2）是，理由見解析；（3）．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和翻折可推出，即．故四邊形是平行四邊形，再由翻折可知，即證明平行四邊形是菱形．（2）由翻折和平行線的性質(zhì)可知，，即得出，即是等腰三角形．（3）延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意易證，得出結(jié)論，．根據(jù)（2）同理可知為等腰三角形，即FG=PG．再在中，，即可求出，最后即可求出．【詳解】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可知，∴，由翻折可知，∴，∴．∴四邊形是平行四邊形．再由翻折可知，∴四邊形是菱形．（2）由翻折可知，∵，∴，∴，∴QF=QP，∴是等腰三角形．（3）如圖，延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，根據(jù)題意可知，在和中，，∴，∴，．根據(jù)（2）同理可知為等腰三角形．∴FG=PG．∵，∴在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題為矩形的折疊問(wèn)題．考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，綜合性強(qiáng)．掌握折疊的性質(zhì)和正確的連接輔助線是解答本題的關(guān)鍵．4．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖1，在中，M是的中點(diǎn)，過(guò)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．求證：；（嘗試應(yīng)用）（2）在（1）的情況下載線段上取點(diǎn)E（如圖2），已知，，，求；（拓展提高）（3）如圖3，菱形中，點(diǎn)P在對(duì)角線上，且，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，．若，，求菱形的邊長(zhǎng)．解析：（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】(1)證明，即可求解；(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，得到，進(jìn)而求解；(3)延長(zhǎng)交于G，交延長(zhǎng)線于F，連結(jié)，可得，所以，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，，是的中點(diǎn)，，，．（2）由（1）得，，作，垂足為H，如圖所示：，在中，，．（3）延長(zhǎng)交于G，交延長(zhǎng)線于F，連結(jié)，如圖所示：過(guò)作于由，，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，在和中，即，解得（舍負(fù)），菱形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如，四邊形中，若或，則四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．（概念理解）（1）如圖1，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．①若，則________；②若．且時(shí)．則_______；（拓展提升）（2）如圖，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時(shí)，圖中之間的數(shù)量關(guān)系是，并證明這種關(guān)系；（類比應(yīng)用）（3）如圖3，在四邊形中，平分；①求證：四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②如圖4，連接，當(dāng)，且時(shí)，求的值．解析：（1）①，②；（2），理由見解析；（3）①見解析，②．【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，結(jié)合，即可求得答案；②根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，由，得，再利用勾股定理即可求得答案；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可證明，繼而證明，從而可得結(jié)論；（3）①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則,可證，進(jìn)而可證四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②設(shè)，則根據(jù)，再運(yùn)用建立方程，解方程即可求得．【詳解】（1），設(shè)，根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，，即，解得，，，．故答案為：．②如圖1，連接，，，，在中，在中，，，，故答案為：．（2），理由如下：如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn),使得，連接，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，，，，，，，，即，，，，，,，，即，故答案為：．（3）①證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，平分，，，，，，，與互補(bǔ)，四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；②由①可知四邊形是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，，，，設(shè)，則，，，，，，，整理得：，解得：．在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，四邊形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解一元二次方程，三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解新定義是解題的關(guān)鍵．6．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；（2）問(wèn)題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由見解析；（3）10或12﹣．【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線，得到兩對(duì)角相等，利用等角對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．【詳解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：∵PE是AD的垂直平分線，PF是BC的垂直平分線，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，過(guò)點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴，即，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，∴四邊形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE=，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點(diǎn)，是一道中考?？碱}．7．綜合與實(shí)踐如圖①，在中中，，，，過(guò)點(diǎn)作于，將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，連接，，記旋轉(zhuǎn)角為．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖②，當(dāng)時(shí)，__________；如圖③，當(dāng)時(shí)，__________．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖④的情形給出證明．（3）問(wèn)題解決如圖⑤，當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長(zhǎng)．解析：（1），；（2）無(wú)變化，理由詳見解析；（3）．【分析】（1）首先利用勾股定理可求出AB的值，再根據(jù)三角形面積求出CD的值，再次利用勾股定理求出AD、BD的值，再分情況進(jìn)一步得出的值即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，，再證明即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作于，證，推出，得出，繼而得到，再根據(jù)，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵，，∴∵∴∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴故答案為：；；（2）無(wú)變化．證明：∵在中，，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴，．∴．由旋轉(zhuǎn)可知，，．∴．∵，∴．∴．∴．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于．∵，∴．∵，，∴．∴，即．∴．∴．∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)解題，此題結(jié)構(gòu)精巧，考查范圍廣．8．在中，，過(guò)點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是），射線分別交直線于點(diǎn)．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，若與重合，則的度數(shù)為_________________（2）類比探究：如圖2，所示，設(shè)與的交點(diǎn)為M，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值，若存在，直接寫出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解析：（1）60°；（2）；（3）存在，【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到PB=，依據(jù)tan∠BQC=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．【詳解】解（1）由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，；(2)因?yàn)镸是中點(diǎn)，所以，，，，．∵∠PCQ=∠PBC=90°，∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，∴∠BQC=∠BCP=∠A，，，；(3)，最小，即最小，，取PQ的中點(diǎn)G，，即PQ=2CG，當(dāng)最小時(shí)，最小，，與重合，最小，∵的最小值為，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．9．問(wèn)題背景（1）如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。畤L試應(yīng)用（2）如圖（2）．在中，，分別以AC，AB為邊，作等邊和等邊，連接ED，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，連接BD．若，求的值．拓展創(chuàng)新（3）如圖（3）．在中，，，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，連接PB，直接寫出PB的最大值．解析：（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；（2）；（3）．【分析】（1）由等邊三角形得出，，，，證明，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可得；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得，，得出，由直角三角形性質(zhì)得，則可計(jì)算得答案；（3）過(guò)點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，由直角三角形的性質(zhì)求出BE、PE的長(zhǎng)即可得解．【詳解】解（1）∵，都是等邊三角形，∴，，，，，，，可以由繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；（2)和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)BF=x，則CF=DF=2x，DE=3x，∴；（3），∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，，如圖，過(guò)點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，∵將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，，PA=AC．，，，∴PE=CD=1．∵AB=2，AE=AD=1，∴BE===，，∴BP的最大值為+1．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．10．定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高與這條邊的比值是3：5，那么稱這個(gè)三角形為“準(zhǔn)黃金”三角形，這條邊就叫做這個(gè)三角形的“金底”．（概念感知）（1）如圖1，在中，，，，試判斷是否是“準(zhǔn)黃金”三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由．（問(wèn)題探究）（2）如圖2，是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，把沿BC翻折得到，連AB接AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若點(diǎn)C恰好是的重心，求的值．（拓展提升）（3）如圖3，，且直線與之間的距離為3，“準(zhǔn)黃金”的“金底”BC在直線上，點(diǎn)A在直線上．，若是鈍角，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)D．①當(dāng)時(shí)，則_________；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)B落在直線上時(shí)，求的值．解析：（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形，理由見解析；（2）；（3）①；②．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，先求出AD的長(zhǎng)度，然后得到，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，由“金底”的定義得，設(shè)，，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，根據(jù)比值即可求出的值；（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，先求出AC的長(zhǎng)度，由相似三角形的性質(zhì)，得到AF=2DF，由解直角三角形，得到，則，即可求出DF的長(zhǎng)度，然后得到CD的長(zhǎng)度；②由①可知，得到CE和AC的長(zhǎng)度，分別過(guò)點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得到，然后求出CD和AD的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：（1）是“準(zhǔn)黃金”三角形．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，∵，，∴．∴．∴是“準(zhǔn)黃金”三角形．（2）∵點(diǎn)A，D關(guān)于BC對(duì)稱，∴，．∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，∴．不防設(shè)，，∵點(diǎn)為的重心，∴．∴，．∴．∴．（3）①作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，如圖：由題意得AE=3，∵，∴BC=5，∵，∴，在Rt△ABE中，由勾股定理得：，∴，∴；∵∠AEC=∠DFA=90°，∠ACE=∠DAF，∴△ACE∽△DAF，∴，設(shè)，則，∵∠ACD=30°，∴，∴，解得：∴．②如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，則．∵是“準(zhǔn)黃金”三角形，BC是“金底”，∴．∴．∵，∴．∴．∴，．分別過(guò)點(diǎn)，D作，，垂足分別為點(diǎn)G，F(xiàn)，∴，，，則．∵，∴．∴．∴設(shè)，，．∵，∴，且．∴．∴．∴，解得．∴，．∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了重心的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答．11．（知識(shí)再現(xiàn)）學(xué)完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．（簡(jiǎn)單應(yīng)用）如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是．（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點(diǎn)D在邊AC上．（1）若點(diǎn)E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請(qǐng)給出證明；如果不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說(shuō)明理由．解析：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，證明見解析；（2）AE﹣AD＝2AC?cos（180°﹣），理由見解析【分析】簡(jiǎn)單應(yīng)用：證明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得結(jié)論．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．如圖（2）中，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于N．證明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，證明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AE于T．證明TE＝TE′，求出AT，可得結(jié)論．【詳解】簡(jiǎn)單應(yīng)用：解：如圖（1）中，結(jié)論：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案為：AE＝AD．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．理由：如圖（2）中，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)N作BN⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于N．∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．理由：在AB上取一點(diǎn)E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過(guò)點(diǎn)C作CT⊥AE于T．∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，∵AT＝AC?cos（180°﹣）＝m?cos（180°﹣），∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m?cos（180°﹣）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練尋找全等三角形解決問(wèn)題.12．問(wèn)題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，則：AC=AB．探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．（1）如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE=AB，易得結(jié)論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn)，連接AD，作等邊△ADE，且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，在（2）條件的基礎(chǔ)上，線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且B（2，0）時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由見解析；（3）ED=EB；拓展應(yīng)用：C（1，2+）．【分析】探究結(jié)論：（1）只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問(wèn)題；（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問(wèn)題；（3）結(jié)論不變，證明方法類似；拓展應(yīng)用：利用（2）中結(jié)論，可得CO=CB，設(shè)C（1，n），根據(jù)OC=CB=AB，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.【詳解】探究結(jié)論（1），如圖1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等邊三角形，∴EC=AE=EB，故答案為：EC=EB；（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．理由：連接PE，∵△ACP，△ADE都是等邊三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB；（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，同法可證：ED=EB，故答案為：ED=EB；拓展應(yīng)用：如圖3中，作AH⊥x軸于H，CF⊥OB于F，連接OA，∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假設(shè)C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.13．問(wèn)題背景（1）如圖1，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F．請(qǐng)按圖示數(shù)據(jù)填空：四邊形DBFE的面積，△EFC的面積，△ADE的面積．探究發(fā)現(xiàn)（2）在（1）中，若，，DE與BC間的距離為．請(qǐng)證明．拓展遷移（3）如圖2，□DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試?yán)茫?）中的結(jié)論求△ABC的面積．解析：（1），，；（2）見解析；（3）18【分析】（1）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)平行四邊形面積公式、三角形面積公式，相似三角形的性質(zhì)，分別求出S1、S2即可解決問(wèn)題．（3）過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，利用（2）的結(jié)論求出□DBHG的面積，△GHC的面積即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE是平行四邊形，∴S=2×3=6，∴∠AED=∠C，∠A=∠CEF∴△ADE∽△EFC∴S2=1，故答案為6，9，1．（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形DBFE為平行四邊形，，．∴△ADE∽△EFC．∴．∵，∴．∴．而，∴（3）解：過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形．∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG=EF．∴BH=EF．∴BE=HF，∴△DBE≌△GHF．∴△GHC的面積為5+3=8．由（2）得，□DBHG的面積為．∴△ABC的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的題型，屬于中考?jí)狠S題，14．(1)方法選擇如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，．求證：.小穎認(rèn)為可用截長(zhǎng)法證明：在上截取，連接…小軍認(rèn)為可用補(bǔ)短法證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得…請(qǐng)你選擇一種方法證明．(2)類比探究（探究1）如圖②，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，是的直徑，．試用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（探究2）如圖③，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．(3)拓展猜想如圖④，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．若是的直徑，，則線段，，之間的等量關(guān)系式是______．解析：(1)方法選擇：證明見解析；(2)【探究1】：；【探究2】；(3)拓展猜想：.【分析】（1）方法選擇：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠ABC=60°，如圖①，在BD上截取DM=AD，連接AM，由圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（2）類比探究：如圖②，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，過(guò)A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；【探究2】如圖③，根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，過(guò)A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=2AD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，于是得到結(jié)論；（3）如圖④，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，過(guò)A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD，DM=AD，于是得到結(jié)論．【詳解】(1)方法選擇：∵，∴，如圖①，在上截取，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴；(2)類比探究：如圖②，∵是的直徑，∴，∵，∴，過(guò)作交于，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；[探究2]如圖③，∵若是的直徑，，∴，，過(guò)作交于，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；故答案為；(3)拓展猜想：；理由：如圖④，∵若是的直徑，∴，過(guò)作交于，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．解析：（1）全等，理由見解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，∴S△ACD＝，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，F(xiàn)D＝CD﹣CF＝，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是________．（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若，請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）；（2）仍然成立，證明見解析；（3）①仍然成立，證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)三角形全等可得；（2）方法一：過(guò)點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AC交EF于點(diǎn)E，證明即可，方法二：延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)E，證明即可；（3）①方法一：過(guò)點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CA交EF于點(diǎn)E，證明，方法二：延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明；②延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明，根據(jù)已知條件得出．【詳解】（1）O是線段AB的中點(diǎn)在和中（2）數(shù)量關(guān)系依然成立．證明（方法一）：過(guò)點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AC交EF于點(diǎn)E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形．∴，由（1）知，∴，∴．證明（方法二）：延長(zhǎng)CO交BD于點(diǎn)E，∵，，∴，∴，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．（3）①數(shù)量關(guān)系依然成立．證明（方法一）：過(guò)點(diǎn)O作直線，交BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CA交EF于點(diǎn)E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形．∴，由（1）知，∴，∴．10分證明（方法二）：延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．②如圖，延長(zhǎng)CO交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵,．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，根據(jù)題意找到全等的三角形，證明線段相等，是解題的關(guān)鍵．17．（1）閱讀理解：我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過(guò)程；（2）問(wèn)題解決：勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過(guò)正方形的中心，作，將它分成4份．所分成的四部分和以為邊的正方形恰好能拼成以為邊的正方形．若，求的值；（3）拓展探究：如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為定值，小正方形的邊長(zhǎng)分別為．已知，當(dāng)角變化時(shí)，探究與的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過(guò)程（與的關(guān)系式用含的式子表示）．解析：（1）見詳解；（2）EF=或；（3）c+b=n，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)EF=a，F(xiàn)D=b，由圖形的特征可知：a+b=12，a-b=±5，進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)正方形E的邊長(zhǎng)為e，正方形F的邊長(zhǎng)為f，由相似三角形的性質(zhì)可知：，結(jié)合勾股定理，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵在圖①中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．∴c2＝ab×4＋（b?a）2，化簡(jiǎn)得：a2＋b2＝c2；（2）由題意得：正方形ACDE被分成4個(gè)全等的四邊形，設(shè)EF=a，F(xiàn)D=b，∴a+b=12，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4個(gè)全等的四邊形和正方形CBLM拼成，∴，，，當(dāng)EF>DF時(shí)，∵，∴a-b=5，∴，解得：a=，∴EF=；同理，當(dāng)EF<DF時(shí)，EF=故EF=或（3）設(shè)正方形E的邊長(zhǎng)為e，正方形F的邊長(zhǎng)為f，∵，∴圖中①與②與③，三個(gè)直角三角形相似，∴，即：，∵圖形③是直角三角形，∴，∴，即：c+b=n，【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其證明過(guò)程，相似三角形的判定和性質(zhì)，找準(zhǔn)圖形中線段長(zhǎng)和面積的數(shù)量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．18．旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題．（1）嘗試解決：如圖①，在等腰中，，點(diǎn)M是上的一點(diǎn)，，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到，連接，則___________．（2）類比探究：如圖②，在“箏形”四邊形中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)P、Q分別是上的點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)．（結(jié)果用a表示）（3）拓展應(yīng)用：如圖③，已知四邊形，，求四邊形的面積．解析：（1）；（2）2a；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABM≌△ACN，從而得出∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°，再根據(jù)勾股得出AM的長(zhǎng)；（2）將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到，利用SAS得出△QCP≌△QCM，從而得出的周長(zhǎng)（3）連接BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△DAB′，連接BB′，延長(zhǎng)BA，作B′E⊥BE；易證△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理計(jì)算AE=B′E=，BB′=，求△ABB′和△BDB′的面積和即可．【詳解】（1）∵，∴∠B=∠ACB=45°，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到，此時(shí)AB與AC重合，由旋轉(zhuǎn)可得：△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，AM=AN，BM=CN=1，∠B=∠ACN=45°，∴∠MCN=∠ACB+∠ACN=90°，∠MAN=∠ABC=90°，∴∴；（2）∵，，∴將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到，此時(shí)BC與DC重合，∴△BCP≌△DCM，∴∠DCM=∠PCB，BP=DM，PC=CM，∵，∴，∴，∵PC=CM，QC=QC,∴△QCP≌△QCM，∴PQ=QM，∴的周長(zhǎng)=AQ+AP+PQ=AQ+AP+QM=AQ+AP+DQ+DM=AQ+AP+DQ+BP=AD+AB，∵，∴的周長(zhǎng)=2a；（3）如圖3，連接BD，由于AD=CD，所以可將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△DAB′，連接BB′，延長(zhǎng)BA，作B′E⊥BE；∴△BCD≌△B′AD∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A，∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，∴∠BAB′=135°∴∠B′AE=45°，∵∴B′E=AE=，∴BE=AB+AE=2+=，∴∵等邊△DBB′，∴BB′上的高=，∴∴，∴S四邊形ABCD=S四邊形BDB′A=S△BDB′-S△ABB′=；【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，勾股定理，等積代換思想，類比思想等．構(gòu)造直角三角形，求出三角形的高是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．?dāng)?shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)了完全平方公式之后，針對(duì)兩個(gè)正數(shù)之和與這兩個(gè)正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進(jìn)行了探究，請(qǐng)閱讀以下探究過(guò)程并解決問(wèn)題．猜想發(fā)現(xiàn)：由；