浙江省協(xié)作體暑假返校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題卷王曉燕石雷忠余姚四中陳睿咚校稿：童金菊考生須知：本卷滿分分，考試時(shí)間分鐘.規(guī)定的地方.注意事項(xiàng)上答題一律無效.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.2iB.2iC.D.2【答案】C【解析】【分析】求出然后求出即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?故選：C.2.已知，，則（）A.0B.2C.1D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用指數(shù)運(yùn)算律計(jì)算求解.第1頁/共19頁【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，則.故選：B.3已知平面向量，若，則（）A.1B.2C.2D.【答案】D【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示與向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，所以，解?故選：D.4.已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由為偶函數(shù)得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.，再根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求得.【詳解】∵為偶函數(shù)，∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.∴，∴，第2頁/共19頁故選：A.5.已知，則的值為（）A.70B.126C.56D.84【答案】B【解析】【分析】求出展開式中的系數(shù)為，其中，從而求解出答案．【詳解】兩項(xiàng)中不存在，對(duì)于其余部分，展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，，展開式中的系數(shù)為，所以，故選：B．6.已知橢圓，、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，，則橢圓的離心率（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可求得，利用向量的數(shù)量積為，又由基本不等式可得，可得為等邊三角形，進(jìn)而可求離心率.【詳解】連接，，因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形是平行四邊形，第3頁/共19頁所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又所以為等邊三角形，所以，所以橢圓的離以率為.故選：C.7.已知函數(shù)，，的取值范圍（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)，最大值，由題意可得，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，令，解得或?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，第4頁/共19頁又，，所以，又因?yàn)椋?，使得，所以，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍.故選：A.8.已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.【答案】C【解析】【分析】令，可得，令，計(jì)算可判斷B；進(jìn)而利用平移法可判斷C；分析可得是A，利用賦值法可判斷D.【詳解】令，則有，所以，令，則有，所以，所以，所以為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，將函數(shù)圖象向右平移2個(gè)單位可得的圖象，再將向上平移1個(gè)單位可得的圖象，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；因?yàn)?，可得是的三次多?xiàng)式，設(shè)第5頁/共19頁而右邊，令兩邊相等：，進(jìn)而求得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，不恒成立，故A錯(cuò)誤；令，所以，，可得，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則以下選項(xiàng)正確的是（）A.若，則B.若，則C.D.【答案】AD【解析】可判斷A、B；由二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算可判斷C、D.【詳解】由于，所以，第6頁/共19頁對(duì)于A，因?yàn)椋瑒t，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，所以，D正確；故選：AD10.在棱長為6的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，平面D.當(dāng)，時(shí)，三棱錐外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直得出線線垂直判斷A,應(yīng)用體積公式及線面平行判斷B，應(yīng)用面面平行得出線面平行判斷C,應(yīng)用補(bǔ)體及長方體的外接球判斷D.【詳解】設(shè)，，，，分別為棱，，，，的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，平面，所以平面，又平面，所以，A正確.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，，平面，與平面不平行，所以三棱錐的體積不是定值，B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，因?yàn)椋謩e為棱，的中點(diǎn)，所以,不在平面內(nèi)，所以平面第7頁/共19頁，因?yàn)?，分別為棱，的中點(diǎn)，所以,不在平面內(nèi)，所以平面，平面平面平面平面，C正確.當(dāng)，時(shí)，為的中點(diǎn)，如圖，三棱錐與三棱柱的外接球相同.在中，，，由余弦定理得，所以.設(shè)外接圓的半徑為，在中，由正弦定理得，故外接圓的半徑.設(shè)三棱柱外接球的半徑為，由勾股定理得，則三棱錐外接球的表面積，D正確.故選：ACD.已知，則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，是的極小值點(diǎn)B.可能單調(diào)遞增C.有最小值，無最大值D.當(dāng)時(shí)，第8頁/共19頁【答案】ACD【解析】ABC和小值也是函數(shù)最小值，從而逐一判斷各選項(xiàng)；D選項(xiàng)，對(duì)最小值變形后采用基本不等式判斷即可．【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，定義域，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，即是的極小值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：若單調(diào)遞增，需在上恒成立，又，令，則，故在上單調(diào)遞增，又，，也即對(duì)任意所給的a，一定存在的情況，即不可能恒成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由B選項(xiàng)可知，單調(diào)遞增，，，又，，故一定存在，使得，第9頁/共19頁所以，，遞減，時(shí)，，遞增，即是的極小值，也是的最小值，且無最大值，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，最小值滿足，即，即，所以，其中，由均值不等式，得，等號(hào)成立條件為且，也即，又因?yàn)樾铦M足，但顯然，等號(hào)不成立，所以恒成立，故D正確．故選：ACD．第卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.不等式的解集為________.【答案】第10頁/共19頁【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性列不等式計(jì)算求解.【詳解】不等式，所以，所以，不等式的解集為.故答案為：.13.若，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】化簡得，利用1的代換求解【詳解】由，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：14.現(xiàn)有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足夠多，有甲、乙、丙三個(gè)小朋友，每人去拿1個(gè)或2個(gè)玩偶，至少有一個(gè)小朋友拿到哪吒玩偶的概率為________.【答案】【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求得總的不同拿法，求得不拿哪吒的拿法，進(jìn)而利用對(duì)立事件的概率公式即可求解.【詳解】如果每個(gè)人拿1個(gè)玩偶，可以是哪吒或敖丙，如果拿2個(gè)玩偶，可以是：兩個(gè)哪吒，兩個(gè)敖丙，一個(gè)哪吒和一個(gè)敖丙共5種不同的拿法，故甲、乙、丙三個(gè)小朋友，每人去拿1個(gè)或2個(gè)玩偶共有種不同的拿法，第11頁/共19頁所以甲、乙、丙三個(gè)小朋友沒有拿哪吒的概率為，所以甲、乙、丙三個(gè)小朋友至少有一個(gè)小朋友拿到哪吒玩偶的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分，解答應(yīng)該寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足（1）求角A；（2）若，邊中線長為1，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】1化為恒等變換公式即可求解；（2）根據(jù)，兩邊平方可得b、c的等式，同時(shí)結(jié)合余弦定理再列出b、c相關(guān)的等式，聯(lián)立求解bc的值，最后由三角形的面積公式即可求解．【小問1詳解】由可知，，也即，，又因?yàn)?，所以，．【小?詳解】由，兩邊平方得第12頁/共19頁又，所以，解得，所以．16.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，已知（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】1）應(yīng)用計(jì)算得出數(shù)列為等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解；（2）應(yīng)用分組求和結(jié)合裂項(xiàng)相消及等差數(shù)列求和公式計(jì)算求解.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，兩式相減得，得，因?yàn)?，所以，，為等差?shù)列，；【小問2詳解】第13頁/共19頁17.已知四棱錐，底面，底面是邊長為2正方形，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為三角形內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡長度；（2）當(dāng)二面角正弦值大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】1）分別取、、的中點(diǎn)為、、，連接、、、，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理可得平面，可求軌跡；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求得平面的法向量與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】分別取、、的中點(diǎn)為、、，連接、、、.平面，，平面，第14頁/共19頁又平面，所以，，平面，平面，軌跡是線段，長度是；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可求得平面的法向量，又平面的法向量，，兩邊平方得，所以，所以，所以，所以，解得或，，，，，，可求得平面的法向量，第15頁/共19頁.所以與平面所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的離心率為，且過點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2AB，過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于PQ與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）根據(jù)題設(shè)條件建立的方程組，求解即得雙曲線的方程；（2）設(shè)直線PQ的方程為，，，，利用韋達(dá)定理推得，，即有，由直線，直線，代入點(diǎn)，即得，進(jìn)行聯(lián)立，化簡計(jì)算，即可求得定直線方程．【小問1詳解】由題意，，，，聯(lián)立解得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】因?yàn)橹本€PQ過右焦點(diǎn)，且與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，故直線PQ不與x軸平行，設(shè)直線方程為，設(shè)，，第16頁/共19頁因,，，則有（*）由題知，，，設(shè)，則直線，直線，將代入兩式，可得，，兩式相除得,將（*）代入，可得,即，解得，所以點(diǎn)在定直線上．19.已知函數(shù).（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：.第17頁/共19頁（2）（3）證明見解析【解析