第3課時互斥事件[核心必知]1．互斥事件(1)定義：在一個隨機試驗中，我們把一次試驗下不能同時發(fā)生的兩個事件A與B稱作互斥事件．(2)規(guī)定：事件A＋B發(fā)生是指事件A和事件B至少有一個發(fā)生．(3)公式：①在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．②一般地，如果隨機事件A1，A2，…，An中任意兩個是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2．對立事件(1)定義：在一次試驗中，如果兩個事件A與B不能同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生，那么事件A與B稱作對立事件，事件A的對立事件記為eq\o(A,\s\up6(－)).(2)性質(zhì)：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1，即P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))．[問題思考]1．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立的條件是什么？提示：事件A與B是互斥事件．2．互斥事件與對立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．講一講1.判斷下列給出的條件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由：從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點數(shù)大于9”．[嘗試解答](1)是互斥事件，不是對立事件．從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個事件不可能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌的點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件．1．判斷兩個事件是否為互斥事件，主要看它們能否同時發(fā)生，若不同時發(fā)生，則這兩個事件是互斥事件，若能同時發(fā)生，則這兩個事件不是互斥事件．判斷兩個事件是否為對立事件，主要看是否同時滿足兩個條件：一是不能同時發(fā)生；二是必有一個發(fā)生．這兩個條件同時成立，那么這兩個事件是對立事件，只要有一個條件不成立，那么這兩個事件就不是對立事件．2．“互斥事件”與“對立事件”都是對兩個事件而言的．對立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件．練一練1．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．“至少有1個白球”和“都是紅球”B．“至少有1個白球”和“至多有1個紅球”C．“恰有1個白球”和“恰有2個白球”D．“至多有1個白球”和“都是紅球”解析：選C該試驗有三種結(jié)果：“恰有1個白球”、“恰有2個白球”、“沒有白球”，故“恰有1個白球”和“恰有2個白球”是互斥事件而不是對立事件．答案：講一講2.玻璃盒子中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中任取1球．設(shè)事件A為“取出1只紅球”，事件B為“取出1只黑球”，事件C為“取出1只白球”，事件D為“取出1只綠球”．已知P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,12).求：(1)“取出1球為紅或黑”的概率；(2)“取出1球為紅或黑或白”的概率．[嘗試解答]由于事件A，B，C，D彼此為互斥事件，所以法一：(1)“取出1球為紅或黑”的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)“取出1球為紅或黑或白”的概率為P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).法二：(1)“取出1球為紅或黑”的對立事件為“取出1球為白或綠”，即A＋B的對立事件為C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)A＋B＋C的對立事件為D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).1．可將一個事件的概率問題分拆為若干個互斥事件，分別求出各事件的概率，然后用加法公式求出結(jié)果．2．運用互斥事件的概率加法公式解題時，首先要分清事件間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事件分拆為幾個互斥事件，做到不重不漏．練一練2．向三個相鄰的軍火庫投擲一顆炸彈，炸中第一個軍火庫的概率是0.025，炸中其他兩個的概率都是0.1.已知只要炸中一個，另外兩個都會爆炸．求這三個軍火庫都爆炸的概率和都沒有爆炸的概率．解：設(shè)以A，B，C分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫的事件，則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1.由題意，知A，B，C兩兩互斥，且“三個軍火庫都爆炸”意味著炸彈炸中其中任何一個．設(shè)D表示事件“三個軍火庫都爆炸”，則D＝A＋B＋C，其中A，B，C兩兩互斥．所以，P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.所以，三個軍火庫都沒有爆炸的概率為1－P(D)＝0.775.講一講3.據(jù)統(tǒng)計，某儲蓄所一個窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)求至多2人排隊等候的概率；(2)求至少2人排隊等候的概率．[嘗試解答]記在窗口等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件A，B，C，則A，B，C兩兩互斥．(1)至多2人排隊等候的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少2人排隊等候的反面是“等候人數(shù)為0或1”，而等候人數(shù)為0或1的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.16＝0.26，故至少2人排隊等候的概率為1－0.26＝0.74.1．求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對立事件的概率，再求所求事件的概率．2．涉及到“至多”“至少”型問題，可以用互斥事件以及分類討論的思想求解；當(dāng)涉及到互斥事件多于兩個時，一般用對立事件求解．練一練3．現(xiàn)從A、B、C、D、E五人中選取三人參加一個重要會議．五人被選中的機會相等．求：(1)A被選中的概率；(2)A和B同時被選中的概率；(3)A或B被選中的概率．解：從A、B、C、D、E五人中任選三人參加會議共有以下10種基本事件：(A、B、C)，(A、B、D)，(A、B、E)，(A、C、D)，(A、C、E)，(A、D、E)，(B、C、D)，(B、C、E)，(B、D、E)，(C、D、E)，且每種結(jié)果出現(xiàn)是等可能的．(1)事件“A被選中”共有6種方式．故所求事件的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)＝0.6.(2)A、B同時被選中共有3種方式，故所求事件的概率為P＝eq\f(3,10)＝0.3.(3)法一：“A或B被選中”的對立事件為“A和B均未被選中”，故所求事件的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)＝0.9.法二：“A或B被選中”即A、B兩人至少有一人被選中，共有9種方式．故所求事件的概率P＝eq\f(9,10)＝0.9.【解題高手】【易錯題】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點數(shù)不超過3”，求P(A＋B)．[錯解]顯然P(A)＝P(B)＝eq\f(1,2)，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.[錯因]忽視了“互斥事件”概率加法公式的前提條件，由于“向上的點數(shù)是奇數(shù)”與“向上的點數(shù)不超過3”不是互斥事件，即出現(xiàn)1或3時，事件A、B同時發(fā)生．因此，不能用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)求解．[正解]A包含向上點數(shù)是1,3,5的情況，B包含向上的點數(shù)是1,2,3的情況，所以A＋B包含了向上點數(shù)是1,2,3,5的情況．故P(A＋B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).1．從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論哪個是正確的()A．A與C互斥B．B與C互斥C．任何兩個相互斥D．任何兩個都不互斥解析：選C由題意可知，事件A，B，C兩兩不可能同時發(fā)生，因此，兩兩互斥．2．從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述事件中，是對立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③解析：選C從1～9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個均為奇數(shù)；(2)兩個均為偶數(shù)；(3)一個奇數(shù)和一個偶數(shù)．3．從一箱蘋果中任取一個，如果其重量小于200克的概率為0.2，重量在[200,300]克的概率為0.5，那么重量超過300克的概率為()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8解析：選B記“重量小于200克”為事件A，“重量在[200,300]克之間”為事件B，“重量超過300克”為事件C，則P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.5＝0.3.4．中國乒乓球隊甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq\f(1,4)，那么中國隊奪得乒乓球單打冠軍的概率為________．解析：由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).答案：eq\f(19,28)5．某部電話，當(dāng)打進電話時，響第1聲被接到的概率為0.2，響第2聲被接到的概率為0.3，響第3聲被接到的概率為0.3，響第4聲被接到的概率為0.1，那么電話在響前4聲內(nèi)被接到的概率是________．解析：P＝P1＋P2＋P3＋P4＝0.2＋0.3＋0.3＋0.1＝0.9.答案：0.96．某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.計算這個射手在一次射擊中(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率；(3)射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率．解：設(shè)“射中10環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中7環(huán)”、“射中7環(huán)以下”的事件分別為A、B、C、D、E，則(1)因為事件A與事件B互斥，所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.(2)同樣，事件A、B、C、D彼此互斥，則P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.(3)類似地，P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.一、選擇題1．抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品解析：選B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9種結(jié)果，故它的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品．2．同時擲三枚硬幣，那么互為對立事件的是()A．至少有1枚正面向上和最多有1枚正面向上B．最多1枚正面向上和恰有2枚正面向上C．不多于1枚正面向上和至少有2枚正面向上D．至少有2枚正面向上和恰有1枚正面向上答案：C3．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為0.03、丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件，抽得正品的概率為()A．0.09B．0.98C．0.97D．0.96解析：選D設(shè)“抽得正品”為事件A，“抽得乙級品”為事件B，“抽得丙級品”為事件C，由題意，事件B與事件C是互斥事件，而事件A與并事件(B＋C)是對立事件；所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－[P(B)＋P(C)]＝1－0.03－0.01＝0.96.4．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為40%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲、乙兩人下成和棋的概率為()A．60%B．30%C．10%D．50%解析：選D甲不輸，包含兩個事件：甲獲勝，甲、乙和棋．∴甲、乙和棋概率P＝90%－40%＝50%.5．如果事件A與B是互斥事件，則()A．A∪B是必然事件B.eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))一定是互斥事件C.eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))一定不是互斥事件D.eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必然事件解析：選DA、B可以都不發(fā)生，∴選項A錯，eq\o(A,\s\up6(－))、eq\o(B,\s\up6(－))可以同時發(fā)生，即A、B可以都不發(fā)生，∴選項B錯．當(dāng)A與B是對立事件時eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))是互斥事件，∴選項C錯，因為A、B互斥，所以eq\o(A,\s\up6(－))、eq\o(B,\s\up6(－))中至少有一個發(fā)生，故選項D正確．二、填空題6．某戰(zhàn)士射擊一次中靶的概率為0.95，中靶環(huán)數(shù)大于5的概率為0.75，則中靶環(huán)數(shù)大于0且小于6的概率為________．(只考慮整數(shù)環(huán)數(shù))解析：因為某戰(zhàn)士射擊一次“中靶的環(huán)數(shù)大于5”事件A與“中靶的環(huán)數(shù)大于0且小于6”事件B是互斥事件，故P(A＋B)＝0.95.∴P(A)＋P(B)＝0.95，∴P(B)＝0.95－0.75＝0.2.答案：0.27．盒中有大小、形狀相同的黑球、白球和黃球，從中摸出一個球，摸出黑球的概率為0.42，摸出黃球的概率為0.18，則摸出白球的概率為________，摸出的球不是黃球的概率為________，摸出的球是黃球或黑球的概率為________．解析：P{摸出白球}＝1－0.42－0.18＝0.4.P{摸出的球不是黃球}＝1－0.18＝0.82.P{摸出的球是黃球或黑球}＝0.42＋0.18＝0.6.答案：0.40.820.68．事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，則P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝________.解析：由題意知P(A＋B)＝1－eq\f(2,5)，即P(A)＋P(B)＝eq\f(3,5).又P(A)＝2P(B)，聯(lián)立方程組解得P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(1,5)，故P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5 )三、解答題9．某醫(yī)院一天內(nèi)派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生的人數(shù)及其概率如下：醫(yī)生人數(shù)012345人及其以上概率0.180.250.360.10.10.01(1)求派出至