第四章數(shù)列4.4·數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)指導(dǎo)課標(biāo)要求核心素養(yǎng)重難分析1、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟2、能運用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題3、體會數(shù)學(xué)歸納法在解決無限遞推問題中的作用通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)，提升對數(shù)學(xué)證明方法的抽象概括能力；運用數(shù)學(xué)歸納法證明命題，鍛煉數(shù)學(xué)運算與邏輯表達能力重點數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟運用數(shù)學(xué)歸納法證明難點理解數(shù)學(xué)歸納法歸納遞推的原理運用數(shù)學(xué)歸納法證明較復(fù)雜的命題新知導(dǎo)入在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結(jié)論，例如等差數(shù)列an的通項公式an=a1+(n?1)一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n=（2）（歸納遞推）以“當(dāng)n=kk∈N?,k?只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法知識清單知識點一數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法原理：一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有__________都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.結(jié)論：__________為真.例題講解例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果an是一個公差為dan=a1例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：12例3已知數(shù)列an滿足a1=0,例4設(shè)x為實數(shù)，且x>?1,x的前n項和為Sn，試比較Sn與課堂練習(xí)A.一切自然數(shù)成立 B.一切正整數(shù)成立C.一切正奇數(shù)成立 D.一切正偶數(shù)成立課后練習(xí)由（1）（2）知，對任意的正整數(shù)n命題都成立.判斷以上評述()A.命題、證明都正確 B.命題正確、證明不正確C.命題不正確、證明正確 D.命題、證明都不正確答案以及解析知識清單例題講解例題1分析：因為等差數(shù)列的通項公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步應(yīng)證明當(dāng)n=1時命題成立．第二步要明確證明的目標(biāo)，即要證明一個新命題：如果當(dāng)n=k時①式是正確的，那么當(dāng)n=證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=a1，右邊=（2）假設(shè)當(dāng)n=kk∈N根據(jù)等差數(shù)列的定義，有ak+a即當(dāng)n=k+1時，①何n∈例題2分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第二步要證明的是一個以＂當(dāng)n=k時，①式成立＂為條件，得出＂當(dāng)n=證明：（1）當(dāng)n=1時，①式的左邊=右邊=16×1×(1+1)×(2×1+1)=1×2×36=1,（2）假設(shè)當(dāng)n=kk∈N在上式兩邊同時加上(k+1)即當(dāng)n=k+1時，①式也成立．由（1）（2）可知，①例題3分析：先將數(shù)列an的遞推關(guān)系2an+1?a解：由2an+1?anan可得a2=a歸下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.（1）當(dāng)n=1時，①式左邊=a1=0納上述結(jié)果，猜想an（2）假設(shè)當(dāng)n=kk∈N那么a即當(dāng)n=k+1分析：該問題中涉及兩個字母，x是大于1且不等于零的實數(shù)，n是大于1的正整數(shù)．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關(guān)系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出Sn，再通過n取特殊值比較Sn與nx的大小關(guān)系后作出猜想解法1：由已知可得S當(dāng)n=2時，S2=x+x(1+x)=x2+2x，由x≠0，知x2>0，可得由此，我們猜想，當(dāng)x>?1且x≠0,n∈N下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想.（1）當(dāng)n=2（2）假設(shè)當(dāng)n=kk∈N則S（1）當(dāng)x>0時，因為k>1，所以(1+x（2）當(dāng)?1<x<0時，0<1+x<1，且x2>0．又因為綜合（1）（2）可得，當(dāng)x>?1且xS所以，當(dāng)n=由（1）（2）可知，不等式Sn>nx解法2：因為x>?1,x≠0S當(dāng)n=2時，S2=(1+x)S當(dāng)n=3時，S3=(1+x)3?1=由此，我們猜想，當(dāng)x>?1且x≠0,n∈N下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)n=2假設(shè)當(dāng)n=kk∈N即(1+x)k?1>由x>?1，得x+1>0．又因為k>1,S>(所以，當(dāng)n=由（1）（2）可知，不等式Sn>nx課堂練習(xí)1.答案：C即該命題對于一切正奇數(shù)成立故選：C.2