專題24.1測量與直角三角形的性質(zhì)1.長度與角度的準(zhǔn)確測量及基礎(chǔ)計算;（重點）2.直角三角形的核心性質(zhì)內(nèi)容及直接應(yīng)用；（重點）3.含30°角的直角三角形的特殊性質(zhì)（30°角對邊等于斜邊一半）；（重點）4.間接測量的原理轉(zhuǎn)化（如利用幾何知識測不可直接到達的距離）；（難點）5.斜邊中線性質(zhì)的推導(dǎo)過程及復(fù)雜圖形中的應(yīng)用；（難點）6.勾股定理的靈活應(yīng)用（含折疊、動態(tài)問題）（難點）利用相似三角形可以解決一些不易直接測量的物體(如旗桿、樓房等)的高度問題，常用的測量方法如下:（1）影子測量法:利用太陽光是平行光線，構(gòu)造相似三角形進行測量.如圖測量同一時刻人的高度、人的影長和旗桿的影長（2）鏡子反射法:利用鏡子的反射原理反射角等于入射角，構(gòu)造相似三角形進行測量.如圖，測量人眼到地面的高度、人和旗桿分別到鏡子的距離（3）標(biāo)桿測量法:利用視線與標(biāo)桿,通過從人的眼睛處向物體作垂線,構(gòu)造相似三角形進行測量.如圖，人的底端、標(biāo)桿的底端與旗桿的底端成一條直線,且旗桿的頂端、標(biāo)桿的頂端與人的眼睛恰好在同一條直線上.1.用影子測量法求物高的兩種方法一是直接根據(jù)線段的比例關(guān)系計算；二是利用相似三角形的性質(zhì)計算.2.在利用相似三角形的性質(zhì)計算物體的高度時，要找準(zhǔn)對應(yīng)邊，根據(jù)對應(yīng)邊成比例計算出物體的高度3.在具體的測量中，要注意測量方法的選擇，測量方法要切實可行，測量結(jié)果要準(zhǔn)確，盡量減少誤差1.數(shù)學(xué)中的測量與物理中的測量屬于同一概念，但數(shù)學(xué)中的測量需要伴隨著數(shù)學(xué)運算，勾股定理就是在實際測量中經(jīng)常用到的知識。2.數(shù)學(xué)中的測量工具一般有:刻度尺、測角儀等應(yīng)用此種方法的前提是在直角三角形中直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半1.直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成兩個面積相等的等腰三角形,2.此性質(zhì)適用于所有直角三角形，具有一般性，是解決線段倍分問題的重要依據(jù)1.性質(zhì)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半2．作用應(yīng)用于證明線段的倍分關(guān)系和計算角度．應(yīng)用此性質(zhì)，必須滿足兩個條件:(1)在直角三角形中;(2)有一個銳角為30°，二者缺一不可.題型一、測量

【答案】A【分析】如圖，先求出△ABC∽△AEF，再根據(jù)三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比，這樣就可以求出電線桿EF的高．【詳解】解：如圖，作AN⊥EF于N，交BC于M，則AM=70cm=0.7m，AN=25m，BC=14cm=0.14m，

∵BC∥EF，∴△ABC∽△AEF，答：電線桿的高度為5m．故選A．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比解題是關(guān)鍵．2．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若AB＝4，AC＝3，則BD為（）A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，證明△ABD∽△CBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算，得到答案．【詳解】在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB＝4，AC＝3，∵AD⊥BC∴∠ADB=∠CAB=90°又∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽CBA故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．《孫子算經(jīng)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其有題譯文如下：“有一根竹竿在太陽下的影子長尺.同時立一根尺的小標(biāo)桿，它的影長是尺。如圖所示，則可求得這根竹竿的長度為（

）尺

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)竹竿的長度為x尺，∵太陽光為平行光，解得x＝45（尺）．．故選：B．【點睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時刻物高與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．4．據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”譯文如下：如圖，今有山位于樹的西面.山高為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺.人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢恰好與山峰處在同一條直線上，人眼離地7尺.則山高的長為（結(jié)果保留到整數(shù)，1丈=10尺）(

)A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈【答案】D【分析】由題意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，過E作EG⊥AB于G，交CD于H，從而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】由題意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，過E作EG⊥AB于G，交CD于H，則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，∵CD∥AB，∴△ECH∽△EAG，∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈，故答案選D.【點睛】本題考查的是相似三角形與實際問題，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問題是解題的關(guān)鍵.5．如圖，A，B兩地之間有一池塘，要測量A，B兩地之間的距離，選擇一點O連接AO并延長到點C，使OC＝AO．連接BO并延長到點D，使OD＝BO，測得C、D間距離為30米，則A，B兩地之間的距離為．【答案】60m．【分析】由題意可證明△AOB∽△COD，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵△ABO和△COD中，OC＝AO，OD＝BO，且∠AOB＝∠COD，∴△ABD∽△CDO，∴＝，又∵CD＝30m，∴AB＝60m．故答案為：60m．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)：兩三角形相似，對應(yīng)邊成比例，此題為常見題型．題型二、斜邊的中線等于斜邊的一半【答案】B【分析】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；解題的關(guān)鍵是熟練掌握該性質(zhì)．由圖求得的長度，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．故選：B．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C∵為邊上的中線，故選：C．【答案】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．故答案為：．∴點O在線段的垂直平分線上，∴點E在線段的垂直平分線上，∴是線段的垂直平分線【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理．【答案】【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線定理，三角形的中位線定理，熟練掌握直角三角形相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別求出、的值，根據(jù)三角形中位線定理求出，再根據(jù)三角形周長公式計算即可．【詳解】解：是邊上的高，，分別是邊，的中點，點為邊的中點，題型三、含30度角的直角三角形A．2 B． C．3 D．【答案】A故選：A．【答案】D即點的坐標(biāo)每6次為一個循環(huán)，故選：D．14．（2425九年級上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，一棵大樹的一段被風(fēng)吹斷，頂端著地與地面成，頂端著地處與大樹底端相距米，則原來大樹（

）米．【答案】D∴原來大樹是米，故選：．【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，注意進行分類討論．分兩種情況：當(dāng)為銳角時，當(dāng)為鈍角時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【答案】4故答案為：4．【詳解】解：以為原點，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，【分析】此題涉及的知識有：含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及方程的思想，其中作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的突破點．

(1)以上作圖是如下___________的基本作圖；（在橫線上填序號）①作一個角的平分線；②作已知線段的垂直平分線；③作已知直線的垂線．【答案】(1)②(2)【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．（1）由作圖痕跡即可得解；【詳解】（1）解：由作圖痕跡知，直線是線段的垂直平分線，故答案為：②；由上題可知為線段的垂直平分線，【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定，含直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．1．據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”譯文如下：如圖，今有山位于樹的西面.山高為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺.人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢恰好與山峰處在同一條直線上，人眼離地7尺.則山高的長為（結(jié)果保留到整數(shù)，1丈=10尺）(

)A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈【答案】D【分析】由題意得到BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，過E作EG⊥AB于G，交CD于H，從而可得BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】由題意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，過E作EG⊥AB于G，交CD于H，則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，∵CD∥AB，∴△ECH∽△EAG，∴AG≈164.2丈，AB=AG+0.7=164.9≈165丈，故答案選D.【點睛】本題考查的是相似三角形與實際問題，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問題是解題的關(guān)鍵.【答案】C故選：C．【答案】C【詳解】解：連接，，如下圖，∵，，三點在同一條直線上，∵是的中點，故選：C．4．直角三角形中有兩條邊分別為，，則此直角三角形斜邊上的中線長等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，合理分類討論斜邊的長是解題的關(guān)鍵．分類討論斜邊的情況，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可．則斜邊上的中線為，②當(dāng)為直角邊，為斜邊時，綜上，此直角三角形斜邊上的中線長等于或，故選：D．【答案】C故選：C．A．8 B．4 C．2 D．1【答案】B∴點A、C、E在同一直線上，∴點F在直線上，∵垂線段最短，∴點F在點G處時，最小，∴的最小值為4．故選：B．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；由菱形的面積和對角線的長度可求出的長，再由勾股定理可求出的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果．故答案為：．【答案】故答案為：．【答案】，故答案為：．【答案】3【分析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理等知識．熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含的直角三角形，勾股定理是解題的關(guān)鍵．故答案為：3．【答案】(1)見解析(2)20故答案為：20．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖表示一個時鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點，且當(dāng)鐘面顯示點分時