北師大版數(shù)學下冊多邊形內(nèi)外角教學案課題：多邊形的內(nèi)角和與外角和一、教材分析本節(jié)課是北師大版數(shù)學教材下冊中關于平面圖形認識的重要內(nèi)容之一。在此之前，學生已經(jīng)學習了三角形的相關知識，包括三角形的內(nèi)角和定理。本節(jié)課將三角形內(nèi)角和的知識推廣到更一般的多邊形，是對平面幾何知識體系的進一步拓展和深化。通過探索多邊形內(nèi)角和與外角和的規(guī)律，不僅能夠幫助學生建立知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)其邏輯推理能力和空間觀念，更為后續(xù)學習更復雜的幾何知識奠定堅實的基礎。同時，本節(jié)內(nèi)容在生活中也有著廣泛的應用，能夠激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，體會數(shù)學的實用價值。二、學情分析學生在七年級已經(jīng)學習了三角形的內(nèi)角和為180度，以及三角形外角的概念和性質(zhì)。這為本節(jié)課的學習提供了直接的知識儲備。學生具備一定的觀察、分析和簡單推理能力，但對于將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的“轉(zhuǎn)化”思想可能還比較陌生，需要教師加以引導。此外，從具體的、特殊的多邊形（如四邊形、五邊形）過渡到抽象的、一般的n邊形，對學生的抽象思維能力和歸納概括能力是一個挑戰(zhàn)。在教學過程中，應注重引導學生從具體實例入手，逐步過渡到一般情況，鼓勵學生動手操作、合作探究。三、教學目標1.知識與技能：*理解多邊形、正多邊形的概念，能準確識別多邊形的邊數(shù)、頂點等基本要素。*掌握多邊形內(nèi)角和定理，并能運用定理解決與多邊形內(nèi)角和有關的簡單計算問題。*掌握多邊形外角和定理，理解其與多邊形邊數(shù)無關的特性，并能運用外角和定理解決相關問題。2.過程與方法：*經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和公式的過程，感受從特殊到一般的研究方法，體會轉(zhuǎn)化思想（將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題）的運用。*通過觀察、猜想、驗證、推理等數(shù)學活動，發(fā)展學生的合情推理能力和初步的演繹推理能力。*在探究活動中，培養(yǎng)學生的動手操作能力、合作交流能力和空間想象能力。3.情感態(tài)度與價值觀：*通過探索多邊形內(nèi)角和與外角和的過程，體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的嚴謹性和結(jié)論的確定性。*在解決問題的過程中，獲得成功的體驗，增強學習數(shù)學的自信心。*培養(yǎng)學生樂于思考、勇于質(zhì)疑、合作互助的學習習慣。四、教學重難點*教學重點：多邊形內(nèi)角和定理的推導及其應用；多邊形外角和定理的理解及其應用。*教學難點：多邊形內(nèi)角和公式的推導過程中，如何引導學生將多邊形有效地分割成三角形；理解多邊形外角和定理的普遍性（與邊數(shù)無關）。五、教學方法本節(jié)課將采用“引導發(fā)現(xiàn)法”為主，結(jié)合“問題探究法”、“合作學習法”等多種教學方法。通過創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的學習興趣；通過設置層層遞進的問題，引導學生主動思考、動手實踐；通過小組合作討論，促進學生之間的交流與互助，共同解決問題。教師在教學過程中扮演組織者、引導者和合作者的角色。六、教學準備*教師：多媒體課件（包含各種多邊形圖形、分割示意圖、練習題等）、直尺、三角板。*學生：預習課本相關內(nèi)容，準備直尺、量角器、練習本、鉛筆。每人準備幾個不同邊數(shù)的多邊形紙片（或可在課堂上動手繪制）。七、教學過程（一）創(chuàng)設情境，導入新課師：同學們，我們已經(jīng)學習了三角形，誰能告訴大家三角形的內(nèi)角和是多少度？我們是如何得到這個結(jié)論的？（學生回答：180度，可以通過測量、撕拼、推理等方法得到。）師：非常好。三角形是我們認識的最簡單的平面圖形之一。在我們的生活中，還存在著很多由多條線段圍成的圖形，比如我們教室的窗戶（可能是四邊形）、地板磚（可能是正六邊形）、螺母的一個面（可能是六邊形）等等。這些圖形我們統(tǒng)稱為多邊形。（板書課題：多邊形的內(nèi)角和與外角和）今天，我們就一起來探索這些多邊形的內(nèi)角和與外角和有什么規(guī)律。（設計意圖：從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，通過生活實例引出“多邊形”的概念，激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，自然過渡到新課學習。）（二）新知探究，合作交流1.認識多邊形師：那么，什么樣的圖形叫做多邊形呢？請同學們打開課本，閱讀相關定義，并思考：一個多邊形需要滿足哪些條件？（學生閱讀后回答，教師引導歸納多邊形的定義：在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形。強調(diào)“平面內(nèi)”、“不在同一直線上”、“首尾順次相連”、“封閉圖形”。）師：我們知道三角形有三條邊、三個角、三個頂點。類似地，多邊形也有邊、頂點、內(nèi)角、外角。（結(jié)合課件圖形，介紹多邊形的邊、頂點、內(nèi)角、外角的概念，以及凸多邊形和凹多邊形的區(qū)別，本節(jié)課主要研究凸多邊形。）師：特別地，如果一個多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么我們稱它為正多邊形。比如我們熟悉的正方形、正三角形。（設計意圖：引導學生自學，明確多邊形的相關概念，為后續(xù)探究內(nèi)角和與外角和打下基礎。）2.探究多邊形內(nèi)角和師：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°。那么，大家大膽猜想一下，四邊形的內(nèi)角和是多少度呢？你能通過什么方法驗證你的猜想？（學生思考、討論，可能會想到測量、分割成三角形等方法。）活動一：探究四邊形內(nèi)角和師：請同學們拿出準備好的四邊形紙片（或在練習本上畫一個任意四邊形），想一想，能不能利用我們學過的三角形內(nèi)角和的知識來求出四邊形的內(nèi)角和？（學生分組活動，動手操作，教師巡視指導。鼓勵學生嘗試不同的分割方法。）生1：我們可以在四邊形內(nèi)部任取一點，然后分別連接這個點與各個頂點，這樣就把四邊形分成了4個三角形，4個三角形內(nèi)角和是4×180°，但中間那個周角不是四邊形的內(nèi)角，所以四邊形內(nèi)角和應該是4×180°-360°=360°。生2：我們是從四邊形的一個頂點出發(fā)，畫一條對角線，把四邊形分成了2個三角形，所以四邊形內(nèi)角和就是2×180°=360°。師：同學們的方法都非常好！特別是生2的方法，從一個頂點出發(fā)引對角線，這種分割方式相對簡單明了。（課件展示從一個頂點出發(fā)分割四邊形為兩個三角形的過程）通過這種方法，我們很容易得出四邊形內(nèi)角和是2×180°=360°。（設計意圖：從特殊的四邊形入手，引導學生通過“轉(zhuǎn)化”的思想，將四邊形問題轉(zhuǎn)化為已知的三角形問題來解決，初步體會轉(zhuǎn)化思想的妙用。鼓勵學生嘗試不同方法，培養(yǎng)思維的靈活性。）活動二：探究五邊形、六邊形內(nèi)角和師：非常好！那么五邊形的內(nèi)角和又是多少呢？六邊形呢？請同學們類比剛才的方法，從一個頂點出發(fā)引對角線，看能把它們分別分成多少個三角形？并由此計算出它們的內(nèi)角和。（學生獨立思考，或小組合作完成，教師巡視，對有困難的學生給予提示。）（學生匯報結(jié)果，教師板書：）*三角形（3邊形）：從一個頂點出發(fā)引對角線：0條，分成三角形個數(shù)：1個，內(nèi)角和：1×180°=180°*四邊形（4邊形）：從一個頂點出發(fā)引對角線：1條，分成三角形個數(shù)：2個，內(nèi)角和：2×180°=360°*五邊形（5邊形）：從一個頂點出發(fā)引對角線：？條，分成三角形個數(shù)：？個，內(nèi)角和：？×180°=？*六邊形（6邊形）：從一個頂點出發(fā)引對角線：？條，分成三角形個數(shù)：？個，內(nèi)角和：？×180°=？（引導學生填寫，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律：從n邊形一個頂點出發(fā)可以引(n-3)條對角線，將n邊形分成(n-2)個三角形。）活動三：歸納n邊形內(nèi)角和公式師：同學們觀察一下黑板上的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與它的邊數(shù)n之間有什么關系嗎？（學生小組討論，嘗試用含n的代數(shù)式表示n邊形的內(nèi)角和。）生：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°。師：大家同意這個結(jié)論嗎？這個公式是如何得到的？（引導學生總結(jié)：從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以引(n-3)條對角線，將n邊形分成(n-2)個三角形，每個三角形內(nèi)角和是180°，所以n邊形內(nèi)角和就是(n-2)×180°。）師：非常棒！這就是多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°（n≥3，且n為整數(shù)）。（板書公式）（設計意圖：通過從四邊形、五邊形、六邊形等具體多邊形入手，引導學生逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歷“觀察——猜想——驗證——歸納”的過程，最終推導出n邊形內(nèi)角和公式。重點強調(diào)轉(zhuǎn)化思想和從特殊到一般的歸納方法。）3.探究多邊形外角和師：我們已經(jīng)解決了多邊形內(nèi)角和的問題。那么，多邊形的外角和又會有什么規(guī)律呢？我們知道，三角形的外角和是360°。那么四邊形呢？活動三：探究多邊形外角和師：什么是多邊形的外角和？（引導學生回憶：在多邊形的每個頂點處取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和。）師：請同學們以四邊形為例，猜想一下它的外角和是多少度？你能通過什么方法驗證？（學生思考，可以測量每個外角的度數(shù)再相加，或者利用內(nèi)角和來推導。）師：我們知道，多邊形的每個內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補角，它們的和是180°。那么，一個四邊形有4個內(nèi)角和4個外角，它們的總和是多少？生：4×180°=720°。師：四邊形的內(nèi)角和是360°，那么它的外角和就是總和減去內(nèi)角和，即720°-360°=360°。師：這個方法非常巧妙！不需要測量就能得出結(jié)果。那我們用同樣的方法來計算一下五邊形的外角和。（學生獨立計算：5×180°-(5-2)×180°=5×180°-3×180°=(5-3)×180°=2×180°=360°。）師：咦，也是360°！六邊形呢？（學生計算：6×180°-(6-2)×180°=6×180°-4×180°=2×180°=360°。）師：同學們，你們發(fā)現(xiàn)了什么？無論是三角形、四邊形、五邊形還是六邊形，它們的外角和都是多少度？生：360度！師：這是一個固定不變的數(shù)值嗎？我們能不能用n邊形來證明一下？（引導學生推導n邊形外角和：n邊形的每個內(nèi)角與它相鄰的外角之和為180°，所以n個內(nèi)角與n個外角的總和為n×180°。n邊形內(nèi)角和為(n-2)×180°，因此，n邊形外角和=n×180°-(n-2)×180°=[n-(n-2)]×180°=2×180°=360°。）師：太精彩了！由此我們得到多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和都等于360°。（板書）這個結(jié)論非常重要，它揭示了多邊形外角和的一個奇妙特性——與邊數(shù)無關！無論n是多少，外角和總是360度。（設計意圖：類比內(nèi)角和的探究過程，但更側(cè)重于引導學生利用內(nèi)角和與鄰補角的關系進行推導，感受數(shù)學邏輯的嚴謹性。通過計算不同邊數(shù)的多邊形外角和，讓學生自主發(fā)現(xiàn)“外角和恒為360°”這一規(guī)律，體驗數(shù)學的神奇。）（三）鞏固練習，深化理解師：我們已經(jīng)掌握了多邊形內(nèi)角和與外角和的定理，現(xiàn)在我們就用這些知識來解決一些問題。1.基礎練習：*求八邊形的內(nèi)角和與外角和。*（內(nèi)角和：(8-2)×180°=1080°；外角和：360°）*一個多邊形的內(nèi)角和是1440°，它是幾邊形？*（解：設這個多邊形是n邊形，由題意得(n-2)×180°=1440°，解得n=10。答：它是十邊形。）*正五邊形的每個內(nèi)角是多少度？每個外角是多少度？*（內(nèi)角和：(5-2)×180°=540°，每個內(nèi)角：540°÷5=108°；每個外角：360°÷5=72°或180°-108°=72°）2.拓展提升：*一個多邊形的每個外角都等于30°，這個多邊形是幾邊形？它的內(nèi)角和是多少度？*（邊數(shù)：360°÷30°=12；內(nèi)角和：(12-2)×180°=1800°）*小明在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，不小心多加了一個外角，得到的和為2023°，求這個多邊形的邊數(shù)和多加的那個外角的度數(shù)。*（引導學生思考：多邊形內(nèi)角和一定是180°的整數(shù)倍。2023°÷180°=11……43°，所以內(nèi)角和應為11×180°=1980°，多加的外角為2023°-1980°=43°。邊數(shù)n-2=11，n=13。）（學生獨立完成或小組討論，教師巡視指導，對典型錯誤進行糾正和講解。）（設計意圖：通過不同層次的練習題，幫助學生鞏固所學知識，加深對公式的理解和應用能力?；A題注重公式的直接應用，拓展題則培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力，以及思維的靈活性。）（四）課堂小結(jié)，回顧反思師：同學們，這節(jié)課我們一起探索了多邊形的內(nèi)角和與外角和，你有哪些收獲？還有什么疑問嗎？（引導學生從以下幾個方面進行總結(jié)：）*我們學習了多邊形的哪些知識？（定義、相關概念、內(nèi)角和公式、外角和定理）*多邊形內(nèi)角和公式是什么？我們是如何推導出來的？（(n-2)×180°，轉(zhuǎn)化為三角形）*多邊形外角和是多少？它有什么特點？（360°，與邊數(shù)無關）*在學習過程中，我們運用了哪些數(shù)學思想方法？（轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般、類比思想等）*你覺得最有趣或者最難理解的地方是什么？（設計意圖：通過課堂小結(jié)，幫助學生梳理本節(jié)課的知識脈絡，回顧探究過程，總結(jié)數(shù)學思想方法，提升學生的概括能力和反思能力。）（五）布置作業(yè)，延伸拓展1.必做題：課本練習題中相應題目（例如：習題X.X第X題，第X題，第X題）。2.選做題（思考題）：*