2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣調(diào)查期末考試題庫(kù)：抽樣調(diào)查樣本量計(jì)算與分層抽樣試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述影響抽樣調(diào)查所需樣本量大小的因素。2.比較簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與分層抽樣的主要區(qū)別。3.解釋什么是抽樣把握系數(shù)，并說(shuō)明其在樣本量計(jì)算中的作用。4.在進(jìn)行分層抽樣時(shí)，常用的樣本量分配方法有哪些？簡(jiǎn)述其含義。二、計(jì)算題（每題10分，共40分）1.某工廠生產(chǎn)一批零件，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，零件重量標(biāo)準(zhǔn)差為0.5公斤。若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式，要求在95%的置信水平下，抽樣平均誤差不超過(guò)0.1公斤。試計(jì)算在重復(fù)抽樣條件下所需的樣本量。（不考慮有限總體校正）2.調(diào)查某地區(qū)成年男性吸煙比例，據(jù)初步估計(jì)該比例約為60%，要求抽樣誤差不超過(guò)5%（把握系數(shù)為1.96），置信水平為95%。若預(yù)計(jì)無(wú)回答率為10%，為保證最終獲得足夠樣本，應(yīng)在初步計(jì)算時(shí)采用多大樣本量？（不考慮有限總體校正）3.假設(shè)某大學(xué)共有學(xué)生10,000人，按年級(jí)分為大一、大二、大三、大四四層，各層人數(shù)分別為2500、3000、2000、1500人。計(jì)劃進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，總樣本量定為400人。若采用按比例分配法，請(qǐng)計(jì)算分配給各年級(jí)的樣本量。4.在上一題的條件下，假設(shè)已知各年級(jí)學(xué)生某項(xiàng)指標(biāo)的層內(nèi)方差分別為s?2=4,s?2=6,s?2=5,s?2=3。若采用最優(yōu)分配法，請(qǐng)重新計(jì)算分配給各年級(jí)的樣本量。（總樣本量仍為400人）三、應(yīng)用題（每題20分，共40分）1.某市場(chǎng)調(diào)研公司欲調(diào)查某城市居民對(duì)一種新型飲料的月均消費(fèi)量。已知該市常住人口為50萬(wàn)，根據(jù)類(lèi)似調(diào)查，消費(fèi)量的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)為2.5升。公司希望以95%的置信水平估計(jì)月均消費(fèi)量，要求抽樣誤差不超過(guò)0.3升。試計(jì)算：(1)若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，不考慮有限總體校正，所需的樣本量是多少？(2)考慮到抽樣可能存在10%的無(wú)回答率，公司應(yīng)初步計(jì)算多大的樣本量才能保證最終獲得至少滿足要求的有效樣本？2.某社區(qū)管理者希望了解社區(qū)居民對(duì)社區(qū)公園設(shè)施滿意度的狀況，并計(jì)劃進(jìn)行抽樣調(diào)查。社區(qū)共有居民3000戶，管理者將居民按居住區(qū)域劃分為A、B、C三個(gè)片區(qū)，各片區(qū)戶數(shù)分別為1000戶、1500戶、500戶。根據(jù)初步了解：(1)A片區(qū)居民對(duì)公園設(shè)施普遍比較滿意，但樣本量不需太大；(2)B片區(qū)居民意見(jiàn)較為分散，需要較大樣本量以確保代表性；(3)C片區(qū)居民數(shù)量少，但意見(jiàn)也比較集中。管理者決定總樣本量為300戶。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)分層抽樣方案：(a)說(shuō)明如何進(jìn)行分層（依據(jù)是什么）。(b)若采用最優(yōu)分配法，請(qǐng)計(jì)算分配給A、B、C三個(gè)片區(qū)的樣本量。（假設(shè)已知或可估計(jì)的層內(nèi)方差信息，或說(shuō)明僅按比例分配的理由）試卷答案一、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.影響樣本量大小的因素主要包括：總體方差（或比例）的大小、要求的抽樣誤差范圍（把握系數(shù)）、置信水平（置信度）、抽樣方法（如簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣等）、有限總體校正系數(shù)（當(dāng)總體規(guī)模有限時(shí)）、無(wú)回答率或非抽樣誤差的考慮等。2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是將總體中的每個(gè)單位視為等可能被抽中，直接從總體中抽取樣本；分層抽樣是將總體先按一定標(biāo)志劃分成若干層，然后在各層內(nèi)獨(dú)立、按比例或最優(yōu)方式抽取樣本。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不考慮總體結(jié)構(gòu)，而分層抽樣利用了總體的已知信息，可能提高抽樣效率。3.抽樣把握系數(shù)（通常用z表示）是指與置信水平相對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)臨界值。它在樣本量計(jì)算中用于將允許的抽樣誤差范圍轉(zhuǎn)化為所需樣本量的計(jì)算公式中，反映了調(diào)查結(jié)果的可靠性程度。置信水平越高，把握系數(shù)越大，所需的樣本量也越大。4.常用的樣本量分配方法有：按比例分配法（又稱尼曼分配），即按各層單位數(shù)占總體單位總數(shù)的比例來(lái)分配樣本量；最優(yōu)分配法（又稱哈特菲爾德分配），即根據(jù)各層內(nèi)方差的大小和層權(quán)重的乘積來(lái)最優(yōu)分配樣本量，方差越大、層權(quán)重越大的層分配越多的樣本。二、計(jì)算題（每題10分，共40分）1.解：(1)確定參數(shù)：置信水平95%，則把握系數(shù)z=1.96；允許誤差ε=0.1公斤；總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.5公斤?？傮w規(guī)模N=（題目未給，按無(wú)限總體處理或忽略校正）。(2)運(yùn)用均值樣本量公式（無(wú)限總體，不考慮校正）：n?=(z2*σ2)/ε2(3)代入數(shù)值計(jì)算：n?=(1.962*0.52)/0.12=(3.8416*0.25)/0.01=0.9604/0.01=96.04(4)結(jié)果：由于樣本量需為整數(shù)，且要保證誤差不超過(guò)0.1公斤，應(yīng)向上取整，所需樣本量為97個(gè)。2.解：(1)確定參數(shù)：置信水平95%，則把握系數(shù)z=1.96；允許誤差ε=5%（即0.05）；比例估計(jì)值p=0.6；無(wú)回答率r=10%。(2)運(yùn)用比例樣本量公式（無(wú)限總體，考慮無(wú)回答率校正）：n?=(z2*p*(1-p))/ε2(3)計(jì)算初步所需樣本量：n?=(1.962*0.6*0.4)/0.052=(3.8416*0.24)/0.0025=0.922784/0.0025=369.1136(4)考慮無(wú)回答率：所需總樣本量=n?/(1-r)=369.1136/(1-0.10)=369.1136/0.90≈410.123(5)結(jié)果：向上取整，初步計(jì)算時(shí)應(yīng)采用411個(gè)樣本單位。最終有效樣本約為411個(gè)。3.解：(1)計(jì)算各層權(quán)重（比例）：W?=N?/N=2500/10000=0.25；W?=3000/10000=0.30；W?=2000/10000=0.20；W?=1500/10000=0.15。(2)總樣本量n=400。(3)按比例分配法計(jì)算各層樣本量：n?=n*W?=400*0.25=100n?=n*W?=400*0.30=120n?=n*W?=400*0.20=80n?=n*W?=400*0.15=60(4)結(jié)果：分配給大一、大二、大三、大四的樣本量分別為100人、120人、80人、60人。4.解：(1)計(jì)算各層權(quán)重：W?=0.25,W?=0.30,W?=0.20,W?=0.15（同上題）。(2)總樣本量n=400。(3)計(jì)算各層方差與權(quán)重乘積：V?=W?*s?2=0.25*4=1.0；V?=W?*s?2=0.30*6=1.8；V?=W?*s?2=0.20*5=1.0；V?=W?*s?2=0.15*3=0.45。(4)計(jì)算樣本量在各層間分配的權(quán)重：v?=V?/ΣVi=1.0/(1.0+1.8+1.0+0.45)=1.0/4.25≈0.2353；v?=1.8/4.25≈0.4235；v?=1.0/4.25≈0.2353；v?=0.45/4.25≈0.1059。(5)按最優(yōu)分配計(jì)算各層樣本量：n?=n*v?=400*0.2353≈94.12；向上取整為95人。n?=n*v?=400*0.4235≈169.4；向上取整為170人。n?=n*v?=400*0.2353≈94.12；向上取整為95人。n?=n*v?=400*0.1059≈42.36；向上取整為43人。(6)校驗(yàn)：95+170+95+43=403，略大于400，可調(diào)整最后一位，如將n?調(diào)整為42，總和為400。(7)結(jié)果：按最優(yōu)分配法，建議分配給大一、大二、大三、大四的樣本量分別為95人、170人、95人、42人。三、應(yīng)用題（每題20分，共40分）1.解：(1)計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣樣本量：(a)確定參數(shù)：置信水平95%，z=1.96；允許誤差ε=0.3升；標(biāo)準(zhǔn)差σ=2.5升?？傮w規(guī)模N=50萬(wàn)?？紤]N較大，可按無(wú)限總體處理或使用校正公式。(b)運(yùn)用均值樣本量公式（無(wú)限總體）：n?=(z2*σ2)/ε2=(1.962*2.52)/0.32=(3.8416*6.25)/0.09=24.009/0.09≈266.77(c)運(yùn)用均值樣本量公式（有限總體校正）：n=n?/(1+(n?-1)/N)=266.77/(1+(266.77-1)/500000)≈266.77/(1+0.000533)≈266.77/1.000533≈266.5(d)結(jié)果：向上取整，所需樣本量為267個(gè)。(2)計(jì)算考慮無(wú)回答率的初始樣本量：(a)確定參數(shù)：ε=0.3升，z=1.96，σ=2.5升，無(wú)回答率r估計(jì)為10%。(b)運(yùn)用均值樣本量公式（無(wú)限總體）：n?=(z2*σ2)/ε2=266.77（同上計(jì)算結(jié)果）。(c)考慮無(wú)回答率：所需總樣本量=n?/(1-r)=266.77/(1-0.10)=266.77/0.90≈296.31(d)結(jié)果：向上取整，初步計(jì)算時(shí)應(yīng)采用297個(gè)樣本單位。2.解：(a)分層依據(jù)：根據(jù)題目描述，可以將居民按居住區(qū)域（A、B、C片區(qū)）進(jìn)行分層，因?yàn)椴煌瑓^(qū)域居民可能在地理位置、生活習(xí)慣等方面存在差異，影響對(duì)公園設(shè)施的看法。這是一種基于地理區(qū)域劃分的分層方法。(b)樣本量分配方案（采用最優(yōu)分配法，假設(shè)層內(nèi)方差信息未知或差異不大，則傾向于按比例分配）：(i)計(jì)算各層權(quán)重：W_A=1000/5000=0.20；W_B=1500/5000=0.30；W_C=500/5000=0.10。(ii)總樣本量n=300。(iii)若按比例分配：n_A=n*W_A=300*0.20=60n_B=n*W_B=300*0.30=