2025年統(tǒng)計學期末考試：抽樣調查方法與回歸分析試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分。請將正確選項的字母填在題號后的括號內）1.從包含N個單位的總體中，抽取n個單位作為樣本，使得每個可能的樣本被抽中的概率都相等，這種抽樣方式稱為（）。A.簡單隨機抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣2.在抽樣調查中，由抽樣引起的樣本指標與總體指標之間的差異稱為（）。A.抽樣誤差B.登記誤差C.系統(tǒng)誤差D.調查誤差3.分層抽樣中，最優(yōu)的分層方法是（）。A.各層內部方差盡可能小，各層之間方差盡可能大B.各層內部方差盡可能大，各層之間方差盡可能小C.各層單位數(shù)相等D.各層比例與總體比例相同4.系統(tǒng)抽樣的特點是（）。A.便于實施，無抽樣誤差B.抽樣誤差一般大于簡單隨機抽樣C.樣本單位在總體中分布均勻D.適用于任何總體5.在回歸分析中，變量X和Y的關系用Y=a+bX+ε表示，其中a和b是（）。A.隨機變量B.非隨機變量C.樣本參數(shù)D.總體參數(shù)6.一元線性回歸分析中，判定系數(shù)R2的取值范圍是（）。A.[0,1]B.(-1,1)C.[0,+∞)D.(-∞,+∞)7.在多元線性回歸分析中，進行F檢驗的主要目的是（）。A.檢驗回歸系數(shù)b?是否顯著不為0B.檢驗回歸系數(shù)b?是否顯著不為0C.檢驗所有回歸系數(shù)是否同時顯著不為0D.檢驗回歸模型的整體擬合優(yōu)度是否顯著8.若回歸模型的殘差圖中，殘差呈現(xiàn)明顯的系統(tǒng)性模式（如曲線趨勢），則可能存在（）。A.異方差性B.自相關性C.多重共線性D.非線性關系9.多重共線性是指回歸模型中（）。A.因變量與某個自變量線性相關B.兩個或多個自變量之間存在較強的線性相關關系C.自變量與殘差之間存在相關性D.模型擬合優(yōu)度R2過小10.在簡單線性回歸分析中，若變量X和Y的相關系數(shù)r為-0.8，則其回歸系數(shù)b的值約為（）。A.0.8B.-0.8C.0.64D.-0.64二、填空題（每空1分，共10分。請將答案填在題號后的橫線上）1.抽樣調查的根本目的是用的數(shù)值估計的相應指標。2.整群抽樣的抽樣單位是。3.無偏估計是指估計量的期望值等于被估計的。4.在一元線性回歸方程Y=a+bX中，b稱為。5.回歸模型的估計標準誤差衡量的是。6.DW檢驗主要用于檢驗回歸模型中是否存在。7.當回歸模型中存在異方差性時，OLS估計量仍然具有。8.設總體容量為N，樣本容量為n，若N/n≥5，則通常認為抽樣是。9.回歸分析中，調整后的判定系數(shù)R2_adj考慮了的影響。10.若要減小抽樣平均誤差，在其他條件不變的情況下，應。三、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述分層抽樣的優(yōu)點。2.解釋什么是回歸模型的殘差。3.簡述異方差性對回歸模型估計和預測產生的主要影響。4.在什么情況下，簡單隨機抽樣可能不是最優(yōu)的抽樣方法？為什么？四、計算題（每題10分，共30分）1.某大學有8000名本科生，為調查其平均每月生活費支出，按簡單隨機抽樣方法抽取了200名學生的樣本，測得樣本平均生活費支出為1500元，樣本標準差為300元。試計算樣本平均生活費支出的抽樣平均誤差，并給出置信水平為95%時，該大學本科生平均每月生活費支出的置信區(qū)間（不考慮有限總體校正因子）。2.某研究人員收集了10對樣本數(shù)據(jù)，得到變量X和Y的如下統(tǒng)計量：n=10,ΣXi=80,ΣYi=55,ΣXi2=700,ΣYi2=385,ΣXiYi=475。試計算：（1）變量X和Y的相關系數(shù)r；（2）變量Y對X的一元線性回歸方程。3.對于一個三元線性回歸模型Y=β?+β?X?+β?X?+β?X?+ε，某次抽樣得到的回歸分析結果如下（部分）：回歸平方和SSR=120，殘差平方和SSE=30，X?的回歸系數(shù)b?=2，其標準誤se(b?)=0.5，X?的t檢驗統(tǒng)計量t(b?)=4。請根據(jù)以上信息回答：（1）該回歸模型的R2和調整后R2_adj分別是多少？（2）X?的系數(shù)是否在α=0.05水平上顯著異于0？請說明理由。五、綜合應用題（15分）某城市為了了解家庭收入與消費支出之間的關系，隨機抽取了30戶家庭進行調查，得到月收入（萬元）和月消費支出（萬元）的數(shù)據(jù)。經初步分析，發(fā)現(xiàn)月收入與月消費支出之間存在一定的線性關系。請根據(jù)以下要求回答：（注意：此處無具體數(shù)據(jù)，請假設需要進行的分析步驟）（1）若要建立月消費支出對月收入的回歸模型，應選擇哪些統(tǒng)計量或進行哪些計算？（2）建立模型后，如何檢驗該模型的整體擬合效果是否良好？（3）在實際應用中，如何利用建立的回歸模型進行預測？并說明預測結果可能存在哪些不確定性？試卷答案一、選擇題1.A解析：簡單隨機抽樣定義即為每個可能樣本被抽中概率相等。2.A解析：抽樣誤差是抽樣調查特有的、由抽樣引起的誤差。3.A解析：分層抽樣的目的是在層內方差小、層間方差大的情況下提高抽樣效率和精度。4.C解析：系統(tǒng)抽樣能使抽中的樣本單位在總體中分布更均勻。5.B解析：a和b是回歸方程中待估計的參數(shù)，不是隨機變量。6.A解析：判定系數(shù)R2取值范圍在0到1之間，表示模型解釋變異的比例。7.C解析：F檢驗用于判斷模型中所有自變量整體上是否對因變量有顯著線性影響。8.B解析：殘差圖呈現(xiàn)系統(tǒng)性模式（如曲線）是自相關的典型特征。9.B解析：多重共線性指自變量之間存在強烈的線性相關關系。10.B解析：相關系數(shù)r與回歸系數(shù)b的符號相同，絕對值關系取決于X和Y的標準差。二、填空題1.樣本；總體解析：抽樣調查是用樣本信息推斷總體特征。2.群解析：整群抽樣的基本單元是群，而不是個體。3.總體參數(shù)解析：無偏估計要求估計量的期望值等于真實的總體參數(shù)值。4.回歸系數(shù)（或斜率系數(shù)）解析：b衡量自變量X每變化一個單位，因變量Y平均變化的量。5.模型擬合的離散程度（或殘差的平均平方）解析：估計標準誤差反映了實際觀測值與模型預測值之間的平均偏離程度。6.自相關性（或序列相關）解析：DW檢驗是檢驗回歸模型殘差項是否存在自相關的一種方法。7.無偏性（或一致性）解析：在存在異方差性時，OLS估計量仍然是無偏的（在大樣本下仍是一致性）。8.有意義（或可行）解析：當抽樣比N/n較?。ㄍǔ！?）時，可將總體視為無限總體，簡化抽樣誤差計算。9.自變量個數(shù)（或模型中解釋變量的數(shù)量）解析：調整R2考慮了模型中自變量個數(shù)對R2的影響，懲罰了過多的自變量。10.增大樣本容量n解析：在其他條件不變時，增大樣本量可以減小抽樣平均誤差。三、簡答題1.簡述分層抽樣的優(yōu)點。解析：分層抽樣將總體按某種標志劃分為若干層，然后從各層中隨機抽取樣本。優(yōu)點包括：能保證樣本在結構上更接近總體，提高樣本代表性；便于按層進行管理和分析；可對各層單獨進行推斷，也可提高總體估計的精度。2.解釋什么是回歸模型的殘差。解析：回歸模型的殘差（e_i）是指實際觀測值（Y_i）與模型預測值（?_i）之差，即e_i=Y_i-?_i。它反映了每個觀測點偏離回歸直線的程度，是模型未能解釋的隨機誤差部分，是進行模型診斷和評估的重要依據(jù)。3.簡述異方差性對回歸模型估計和預測產生的主要影響。解析：異方差性指回歸模型殘差的方差不再是常數(shù)。主要影響包括：OLS估計量雖然仍然是無偏和一致性的，但不再是有效的（即存在更有效的估計方法）；基于OLS估計量的標準誤差計算不準確，導致t檢驗和F檢驗的結果可能不可靠，影響假設檢驗結論；預測區(qū)間的寬度可能不準確，尤其在遠離樣本均值處。4.在什么情況下，簡單隨機抽樣可能不是最優(yōu)的抽樣方法？為什么？解析：當總體內部存在顯著的差異或異質性，而研究目的又希望精確了解不同子群體的特征時，簡單隨機抽樣可能不是最優(yōu)的。原因在于簡單隨機抽樣無法保證樣本能夠充分代表這些差異較大的子群體，可能導致樣本結構偏離總體結構，從而影響估計的精度和代表性。此時，分層抽樣或整群抽樣等方法可能更優(yōu)。四、計算題1.某大學有8000名本科生，為調查其平均每月生活費支出，按簡單隨機抽樣方法抽取了200名學生的樣本，測得樣本平均生活費支出為1500元，樣本標準差為300元。試計算樣本平均生活費支出的抽樣平均誤差，并給出置信水平為95%時，該大學本科生平均每月生活費支出的置信區(qū)間（不考慮有限總體校正因子）。解析：計算樣本平均數(shù)的抽樣平均誤差和置信區(qū)間。樣本量n=200,總體量N=8000(N/n=40>5，可視為無限總體),樣本均值X?=1500,樣本標準差s=300。（1）抽樣平均誤差μ_?=s/sqrt(n)=300/sqrt(200)≈300/14.14≈21.21元。（2）置信水平為95%，查Z分布表得臨界值Z_(α/2)=Z_0.025≈1.96。置信區(qū)間=X?±Z_(α/2)*μ_?=1500±1.96*21.21≈1500±41.61。置信區(qū)間約為(1458.39,1541.61)元。2.某研究人員收集了10對樣本數(shù)據(jù)，得到變量X和Y的如下統(tǒng)計量：n=10,ΣXi=80,ΣYi=55,ΣXi2=700,ΣYi2=385,ΣXiYi=475。試計算：（1）變量X和Y的相關系數(shù)r；（2）變量Y對X的一元線性回歸方程。解析：（1）計算相關系數(shù)r=Cov(X,Y)/(s_x*s_y)。Cov(X,Y)=(1/(n-1))*ΣXiYi-((1/(n-1))*ΣXi*(1/(n-1))*ΣYi)=(1/9)*475-(1/9*80/9*55/9)=52.7778-44.4444≈8.3333。s_x=sqrt((1/(n-1))*ΣXi2-((1/(n-1))*ΣXi)^2)=sqrt(700/9-80^2/81)=sqrt(77.7778-78.9682)≈sqrt(-1.1904)。此處計算結果出現(xiàn)負數(shù)，提示輸入數(shù)據(jù)可能存在錯誤。假設數(shù)據(jù)無誤，繼續(xù)按計算過程：s_y=sqrt((1/(n-1))*ΣYi2-((1/(n-1))*ΣYi)^2)=sqrt(385/9-55^2/81)=sqrt(42.7778-37.0370)≈sqrt(5.7408)≈2.396。r=8.3333/(sqrt(-1.1904)*2.396)。由于標準差計算出現(xiàn)負數(shù)，此題數(shù)據(jù)可能不正確或題目有誤。若按標準數(shù)據(jù)格式，應保證ΣXi2-(ΣXi)2/n≥0且ΣYi2-(ΣYi)2/n≥0。（2）計算回歸方程Y=a+bX。b=Cov(X,Y)/Var(X)=Cov(X,Y)/(s_x^2)=8.3333/(-1.1904)。（再次出現(xiàn)負數(shù)）a=Y?-bX?=(ΣYi/n)-b*(ΣXi/n)=55/10-b*80/10=5.5-b*8?；貧w方程為Y=5.5-b*8。（b的值取決于前述計算結果，此處無法得出有效數(shù)值）3.對于一個三元線性回歸模型Y=β?+β?X?+β?X?+β?X?+ε，某次抽樣得到的回歸分析結果如下（部分）：回歸平方和SSR=120，殘差平方和SSE=30，X?的回歸系數(shù)b?=2，其標準誤se(b?)=0.5，X?的t檢驗統(tǒng)計量t(b?)=4。請根據(jù)以上信息回答：（1）該回歸模型的R2和調整后R2_adj分別是多少？（2）X?的系數(shù)是否在α=0.05水平上顯著異于0？請說明理由。解析：（1）計算R2和R2_adj?？偲椒胶蚐ST=SSR+SSE=120+30=150。R2=SSR/SST=120/150=0.8。模型包含3個自變量（X?,X?,X?），k=3。樣本量n未知，但可計算R2_adj。R2_adj=1-(1-R2)*(n-1)/(n-k-1)=1-(1-0.8)*(n-1)/(n-3-1)=1-0.2*(n-1)/(n-4)。（2）檢驗X?系數(shù)是否顯著異于0。檢驗統(tǒng)計量t(b?)=4。自由度df=n-k-1=n-4。在α=0.05水平下，雙側檢驗。需要比較t(b?)與t分布臨界值t_(α/2,df)。t(b?)=4>2.131（假設df足夠大，查t表得臨界值約為2.131）。因此，拒絕原假設H?:β?=0。結論：X?的系數(shù)在α=0.05水平上顯著異于0。五、綜合應用題某城市為了了解家庭收入與消費支出之間的關系，隨機抽取了30戶家庭進行調查，得到月收入（萬元）和月消費支出（萬元）的數(shù)據(jù)。經初步分析，發(fā)現(xiàn)月收入與月消費支出之間存在一定的線性關系。請根據(jù)以下要求回答：（注意：此處無具體數(shù)據(jù)，請假設需要進行的分析步驟）（1）若要建立月消費支出對月收入的回歸模型，應選擇哪些統(tǒng)計量或進行哪些計算？解析：建立Y對X的一元線性回歸模型Y=a+bX。需要計算：樣本均值X?和Y?；樣本協(xié)方差Cov(X,Y)或X與Y的離差乘積和Σ(Xi-X?)(Yi-Y?)；X的樣本方差Var(X)或Σ(Xi-X?)2?；貧w系數(shù)b=Cov(X,Y)/Var(X)。截距項a=Y?-bX?。最終得到回歸方程Y=a+bX。（2）建立模型后，如何檢驗該模型的整體擬合效果是否良好？解析：檢驗模型整體擬合效果主要看模型的解釋能力。計算判定系數(shù)R2=