2025年中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）模擬試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.已知年利率為5%，按復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)在投資多少元，10年后可獲得10000元？（）A.6139.13B.6209.21C.6301.72D.6418.672.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的泊松分布，則\(P(X=3)\)的值為（）A.\(\frac{2^3e^{-2}}{3!}\)B.\(\frac{3^2e^{-3}}{2!}\)C.\(\frac{2^3e^{-3}}{3!}\)D.\(\frac{3^2e^{-2}}{2!}\)3.已知某保險(xiǎn)產(chǎn)品的損失額\(X\)服從正態(tài)分布\(N(500,100^2)\)，則損失額在\(400\)到\(600\)之間的概率為（）（注：\(\varPhi(1)=0.8413\)）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.84134.某保險(xiǎn)公司承保了100個(gè)獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)單位，每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位在一年內(nèi)發(fā)生損失的概率為0.1。用泊松近似計(jì)算這100個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位在一年內(nèi)至少有2個(gè)發(fā)生損失的概率為（）A.\(1-e^{-10}-10e^{-10}\)B.\(e^{-10}+10e^{-10}\)C.\(1-e^{-10}\)D.\(1-10e^{-10}\)5.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E[(X-2)(Y-3)]\)的值為（）A.0B.1C.2D.36.已知某年金在每年年初支付100元，共支付10年，年利率為6%，則該年金的現(xiàn)值為（）A.\(100\times\frac{1-(1+0.06)^{-10}}{0.06}\times(1+0.06)\)B.\(100\times\frac{1-(1+0.06)^{-10}}{0.06}\)C.\(100\times\frac{(1+0.06)^{10}-1}{0.06}\times(1+0.06)\)D.\(100\times\frac{(1+0.06)^{10}-1}{0.06}\)7.假設(shè)某壽險(xiǎn)保單在被保險(xiǎn)人死亡的年末給付1000元，已知被保險(xiǎn)人在第\(k\)年死亡的概率為\(q_{x+k-1}\)，利率為\(i\)，則該保單的精算現(xiàn)值為（）A.\(1000\sum_{k=1}^{\infty}v^kq_{x+k-1}\)B.\(1000\sum_{k=1}^{\infty}v^{k-1}q_{x+k-1}\)C.\(1000\sum_{k=0}^{\infty}v^kq_{x+k}\)D.\(1000\sum_{k=0}^{\infty}v^{k-1}q_{x+k}\)8.已知某生存函數(shù)\(S(x)=1-\frac{x}{100}\)，\(0\leqx\leq100\)，則\(f(x)\)（概率密度函數(shù)）為（）A.\(\frac{1}{100}\)B.\(1-\frac{x}{100}\)C.\(\frac{x}{100}\)D.\(1\)9.設(shè)\(Z\)是保額為1的離散型終身壽險(xiǎn)的給付現(xiàn)值隨機(jī)變量，已知\(i=0.05\)，\(q_x=0.02\)，則\(E(Z)\)為（）A.\(0.02v\)B.\(0.02\)C.\(0.98v\)D.\(0.98\)10.某完全連續(xù)型年金，每年給付率為1，利率為\(\delta\)，被保險(xiǎn)人的死亡力為\(\mu\)，則該年金的精算現(xiàn)值為（）A.\(\frac{1}{\mu+\delta}\)B.\(\frac{1}{\mu}\)C.\(\frac{1}{\delta}\)D.\(\frac{\mu}{\mu+\delta}\)11.已知某險(xiǎn)種的損失額\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布，\(\lnX\simN(\mu,\sigma^2)\)，若\(E(X)=1000\)，\(Var(X)=250000\)，則\(\mu\)和\(\sigma^2\)的值分別為（）A.\(\mu=\ln1000-\frac{1}{2}\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)，\(\sigma^2=\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)B.\(\mu=\ln1000+\frac{1}{2}\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)，\(\sigma^2=\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)C.\(\mu=\ln1000-\frac{1}{2}\ln(1-\frac{250000}{1000^2})\)，\(\sigma^2=\ln(1-\frac{250000}{1000^2})\)D.\(\mu=\ln1000+\frac{1}{2}\ln(1-\frac{250000}{1000^2})\)，\(\sigma^2=\ln(1-\frac{250000}{1000^2})\)12.對于一個(gè)\(n\)年期的定期壽險(xiǎn)，保額為1，已知\(A_{x:\overline{n}|}^1=\sum_{k=1}^{n}v^kq_{x+k-1}\)，則\(1-A_{x:\overline{n}|}^1\)表示（）A.\(n\)年期生存保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值B.\(n\)年期兩全保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值C.終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值D.延期\(n\)年的終身壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值13.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失額\(X\)服從均勻分布\(U(0,100)\)，則該風(fēng)險(xiǎn)的方差為（）A.\(\frac{100^2}{12}\)B.\(\frac{100^2}{6}\)C.\(\frac{100^2}{3}\)D.\(100^2\)14.設(shè)\(X\)是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(E(X)\)為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{5}\)15.已知某年金在每年年末支付\(R\)元，共支付\(n\)年，利率為\(i\)，則該年金的終值為（）A.\(R\times\frac{(1+i)^n-1}{i}\)B.\(R\times\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\)C.\(R\times\frac{(1+i)^n-1}{i}\times(1+i)\)D.\(R\times\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\times(1+i)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下關(guān)于年金的說法正確的有（）A.期初年金的現(xiàn)值大于期末年金的現(xiàn)值B.期末年金的終值大于期初年金的終值C.年金的現(xiàn)值和終值都與利率有關(guān)D.年金的支付期數(shù)越多，現(xiàn)值越大（利率大于0）2.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個(gè)隨機(jī)變量，以下能說明\(X\)和\(Y\)不相關(guān)的有（）A.\(Cov(X,Y)=0\)B.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)C.\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)D.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立3.關(guān)于生存函數(shù)\(S(x)\)的性質(zhì)，正確的有（）A.\(S(0)=1\)B.\(S(x)\)是非增函數(shù)C.\(\lim_{x\rightarrow\infty}S(x)=0\)D.\(S(x)\)是右連續(xù)的4.以下屬于常見的損失分布的有（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.對數(shù)正態(tài)分布D.均勻分布5.對于精算現(xiàn)值，以下說法正確的有（）A.精算現(xiàn)值考慮了時(shí)間價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)因素B.不同的保險(xiǎn)產(chǎn)品有不同的精算現(xiàn)值計(jì)算方法C.精算現(xiàn)值是保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)的重要依據(jù)D.精算現(xiàn)值只與利率有關(guān)，與死亡率無關(guān)三、簡答題（每題10分，共20分）1.簡述生存函數(shù)和死亡力的概念，并說明它們之間的關(guān)系。2.解釋為什么在保險(xiǎn)精算中要使用精算現(xiàn)值，以及精算現(xiàn)值在保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)中的作用。四、計(jì)算題（每題15分，共30分）1.某保險(xiǎn)公司承保了500個(gè)獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)單位，每個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位在一年內(nèi)發(fā)生損失的概率為0.03。（1）用二項(xiàng)分布計(jì)算這500個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位在一年內(nèi)恰好有15個(gè)發(fā)生損失的概率。（2）用泊松近似計(jì)算這500個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位在一年內(nèi)恰好有15個(gè)發(fā)生損失的概率。2.已知某完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)，保額為1，被保險(xiǎn)人的死亡力為\(\mu=0.02\)，利率為\(\delta=0.03\)。（1）計(jì)算該壽險(xiǎn)的精算現(xiàn)值。（2）若該壽險(xiǎn)改為每年年初繳納均衡凈保費(fèi)，計(jì)算年繳均衡凈保費(fèi)。五、證明題（5分）證明：對于一個(gè)保額為1的離散型終身壽險(xiǎn)，其精算現(xiàn)值\(A_x=\sum_{k=1}^{\infty}v^kq_{x+k-1}\)滿足\(A_x=\sum_{k=1}^{\infty}v^kS_{x+k-1}q_{x+k-1}\)，其中\(zhòng)(S_{x+k-1}=\prod_{j=0}^{k-2}p_{x+j}\)。答案及詳細(xì)解答一、單項(xiàng)選擇題1.本題可根據(jù)復(fù)利終值公式\(F=P(1+i)^n\)來求解現(xiàn)值\(P\)，其中\(zhòng)(F=10000\)，\(i=0.05\)，\(n=10\)。\(P=\frac{F}{(1+i)^n}=\frac{10000}{(1+0.05)^{10}}\approx6139.13\)，答案選A。2.若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，其概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)。已知\(\lambda=2\)，\(k=3\)，則\(P(X=3)=\frac{2^3e^{-2}}{3!}\)，答案選A。3.已知\(X\simN(500,100^2)\)，則\(Z=\frac{X-500}{100}\simN(0,1)\)。\(P(400\ltX\lt600)=P(\frac{400-500}{100}\lt\frac{X-500}{100}\lt\frac{600-500}{100})=P(-1\ltZ\lt1)=2\varPhi(1)-1=2\times0.8413-1=0.6826\)，答案選A。4.已知\(n=100\)，\(p=0.1\)，則\(\lambda=np=10\)。\(P(X\geq2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-e^{-10}-10e^{-10}\)，答案選A。5.根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\)，已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(Cov(X,Y)=1\)，則\(E[(X-2)(Y-3)]=Cov(X,Y)=1\)，答案選B。6.年初支付的年金為期初年金，其現(xiàn)值公式為\(PV=A\times\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\times(1+i)\)，其中\(zhòng)(A=100\)，\(i=0.06\)，\(n=10\)，答案選A。7.年末給付的壽險(xiǎn)保單精算現(xiàn)值為\(APV=\sum_{k=1}^{\infty}v^kq_{x+k-1}\times\)保額，已知保額為1000，則該保單精算現(xiàn)值為\(1000\sum_{k=1}^{\infty}v^kq_{x+k-1}\)，答案選A。8.已知生存函數(shù)\(S(x)=1-\frac{x}{100}\)，\(0\leqx\leq100\)，概率密度函數(shù)\(f(x)=-S^\prime(x)\)，對\(S(x)\)求導(dǎo)得\(f(x)=\frac{1}{100}\)，答案選A。9.\(E(Z)=vq_x\)，已知\(i=0.05\)，則\(v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}\)，\(q_x=0.02\)，所以\(E(Z)=0.02v\)，答案選A。10.完全連續(xù)型年金精算現(xiàn)值公式為\(\overline{a}_x=\frac{1}{\mu+\delta}\)，答案選A。11.若\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布，\(\lnX\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\)，\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)\)。由\(E(X)=1000\)得\(e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}=1000\)，由\(Var(X)=250000\)得\(e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)=250000\)，解方程組可得\(\mu=\ln1000-\frac{1}{2}\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)，\(\sigma^2=\ln(1+\frac{250000}{1000^2})\)，答案選A。12.\(1-A_{x:\overline{n}|}^1\)表示被保險(xiǎn)人在\(n\)年內(nèi)生存的概率對應(yīng)的精算現(xiàn)值，即\(n\)年期生存保險(xiǎn)的精算現(xiàn)值，答案選A。13.若\(X\simU(a,b)\)，其方差\(Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)，已知\(a=0\)，\(b=100\)，則\(Var(X)=\frac{100^2}{12}\)，答案選A。14.\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}x\times2xdx=\int_{0}^{1}2x^2dx=\frac{2}{3}x^3|_0^1=\frac{2}{3}\)，答案選B。15.年末支付的年金終值公式為\(FV=A\times\frac{(1+i)^n-1}{i}\)，其中\(zhòng)(A\)為年金支付額，答案選A。二、多項(xiàng)選擇題1.期初年金現(xiàn)值\(PV_{期初}=A\times\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\times(1+i)\)，期末年金現(xiàn)值\(PV_{期末}=A\times\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\)，所以期初年金現(xiàn)值大于期末年金現(xiàn)值，A正確；期初年金終值大于期末年金終值，B錯誤；年金現(xiàn)值和終值都與利率有關(guān)，C正確；年金支付期數(shù)越多，在利率大于0時(shí)，現(xiàn)值越大，D正確。答案選ACD。2.\(Cov(X,Y)=0\)等價(jià)于\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，也等價(jià)于\(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\)，這三種情況都說明\(X\)和\(Y\)不相關(guān)；若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則一定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定相互獨(dú)立，ABCD都正確。3.生存函數(shù)\(S(x)\)性質(zhì)：\(S(0)=1\)，\(S(x)\)是非增函數(shù)，\(\lim_{x\rightarrow\infty}S(x)=0\)，\(S(x)\)是右連續(xù)的，ABCD都正確。4.常見的損失分布有正態(tài)分布、泊松分布、對數(shù)正態(tài)分布、均勻分布等，ABCD都正確。5.精算現(xiàn)值考慮了時(shí)間價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)因素，不同保險(xiǎn)產(chǎn)品精算現(xiàn)值計(jì)算方法不同，是保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)的重要依據(jù)，精算現(xiàn)值既與利率有關(guān)，也與死亡率等風(fēng)險(xiǎn)因素有關(guān)，ABC正確，D錯誤。答案選ABC。三、簡答題1.生存函數(shù)\(S(x)\)表示剛出生的嬰兒活到年齡\(x\)的概率，即\(S(x)=P(X\gtx)\)，其中\(zhòng)(X\)表示新生兒的未來壽命。死亡力\(\mu(x)\)定義為\(\mu(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{S(x)-S(x+h)}{hS(x)}=-\frac{S^\prime(x)}{S(x)}\)。它們之間的關(guān)系為：\(S(x)=e^{-\int_{0}^{x}\mu(t)dt}\)，\(\mu(x)=-\fracp911bxz{dx}\lnS(x)\)。生存函數(shù)描述了個(gè)體在不同年齡存活的概率情況，而死亡力則刻畫了在某一時(shí)刻個(gè)體死亡的瞬時(shí)速率，二者相互關(guān)聯(lián)，可以通過積分或求導(dǎo)相互推導(dǎo)。2.在保險(xiǎn)精算中使用精算現(xiàn)值是因?yàn)楸ｋU(xiǎn)業(yè)務(wù)具有時(shí)間跨度長和風(fēng)險(xiǎn)不確定性的特點(diǎn)。保險(xiǎn)金的給付往往在未來的某個(gè)時(shí)間點(diǎn)，而保費(fèi)的收取通常是在當(dāng)前或未來的一系列時(shí)間點(diǎn)。貨幣具有時(shí)間價(jià)值，不同時(shí)間點(diǎn)的貨幣價(jià)值不同，同時(shí)保險(xiǎn)事件的發(fā)生具有隨機(jī)性，所以需要綜合考慮時(shí)間價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)因素來評估保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的價(jià)值。精算現(xiàn)值在保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)中的作用至關(guān)重要。它是確定保險(xiǎn)產(chǎn)品價(jià)格的基礎(chǔ)，通過計(jì)算保險(xiǎn)金給付的精算現(xiàn)值和保費(fèi)收入的精算現(xiàn)值，使得兩者相等（在公平原則下），從而確定合理的保費(fèi)水平。同時(shí)，精算現(xiàn)值還可以用于評估保險(xiǎn)產(chǎn)品的盈利能力和風(fēng)險(xiǎn)狀況，幫助保險(xiǎn)公司進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理和決策。四、計(jì)算題1.（1）設(shè)\(X\)表示500個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位中發(fā)生損失的個(gè)數(shù)，\(X\simB(n,p)\)，其中\(zhòng)(n=500\)，\(p=0.03\)。根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)，則\(P(X=15)=C_{500}^{15}\times0.03^{15}\times(1-0.03)^{500-15}\)\(C_{500}^{15}=\frac{500!}{15!(500-15)!}\)，通過計(jì)算器或軟件計(jì)算可得\(P(X=15)\approx0.1029\)。（2）用泊松近似，\(\lambda=np=500\times0.03=15\)。根據(jù)泊松分布概率公式\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，則\(P(X=15)=\frac{15^{15}e^{-15}}{15!}\approx0.1024\)。2.（1）完全連續(xù)型終身壽險(xiǎn)精算現(xiàn)值\(\overline{A}_x=\frac{\mu}{\mu+\delta}\)，已知\(\mu=0.02\)，\(\delta=0.03\)，則\(\overline{A}_x=\frac{0.02}{0.02+0.03}=0.4\)。（2）設(shè)年繳均衡凈