中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試題及答案(2025年河南焦作市)一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.設(shè)事件A和B滿足\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.6\)，\(P(B|A)=0.8\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.0.7B.0.8C.0.9D.1.02.已知隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(P(0.2\ltX\lt0.8)\)等于（）A.0.36B.0.48C.0.6D.0.724.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(1,2)\)，\(Y\simN(2,3)\)，則\(X+Y\)服從的分布是（）A.\(N(3,5)\)B.\(N(3,1)\)C.\(N(1,5)\)D.\(N(1,1)\)5.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，則\(\overline{X}\)服從的分布是（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)6.設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\theta\)的矩估計(jì)量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(\frac{1}{\overline{X}}\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2}\)7.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則\(S^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的（）A.無偏估計(jì)量B.有偏估計(jì)量C.一致估計(jì)量D.有效估計(jì)量8.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，對給定的置信水平\(1-\alpha\)，\(\mu\)的置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})\)9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)\(H_0\)，備擇假設(shè)\(H_1\)，則稱（）為犯第一類錯(cuò)誤。A.\(H_0\)為真，接受\(H_1\)B.\(H_0\)為真，拒絕\(H_0\)C.\(H_0\)不真，接受\(H_0\)D.\(H_0\)不真，拒絕\(H_0\)10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)為\(0.5\)，\(D(X)=1\)，\(D(Y)=4\)，則\(D(X+Y)\)等于（）A.3B.5C.7D.911.設(shè)\(X\)是離散型隨機(jī)變量，其分布律為\(P(X=k)=\frac{a}{k(k+1)}\)，\(k=1,2,\cdots\)，則常數(shù)\(a\)等于（）A.1B.2C.3D.412.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從區(qū)間\([0,2]\)上的均勻分布，則\(E(X^2)\)等于（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.1D.\(\frac{4}{3}\)13.設(shè)\(X_1,X_2,X_3\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\hat{\mu}_1=\frac{1}{2}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{6}X_3\)，\(\hat{\mu}_2=\frac{1}{3}X_1+\frac{1}{3}X_2+\frac{1}{3}X_3\)，\(\hat{\mu}_3=\frac{1}{6}X_1+\frac{1}{6}X_2+\frac{2}{3}X_3\)都是總體均值\(\mu\)的估計(jì)量，則（）是最有效的估計(jì)量。A.\(\hat{\mu}_1\)B.\(\hat{\mu}_2\)C.\(\hat{\mu}_3\)D.無法判斷14.設(shè)總體\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則\(\lambda\)的最大似然估計(jì)量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(\frac{1}{\overline{X}}\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2}\)15.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simB(10,0.3)\)，\(Y\simB(20,0.3)\)，則\(X+Y\)服從的分布是（）A.\(B(30,0.3)\)B.\(B(10,0.3)\)C.\(B(20,0.3)\)D.\(B(30,0.6)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)事件A和B滿足\(P(A)\gt0\)，\(P(B)\gt0\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若A和B互不相容，則A和B一定不獨(dú)立B.若A和B獨(dú)立，則A和B一定互不相容C.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)D.\(P(A\capB)=P(A)P(B|A)\)2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(F(x)\)是單調(diào)不減函數(shù)B.\(F(x)\)是右連續(xù)函數(shù)C.\(0\leqF(x)\leq1\)D.\(\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=1\)3.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(E(\overline{X})=E(X)\)B.\(D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}\)C.\(E(S^2)=D(X)\)D.\(S^2\)與\(\overline{X}\)相互獨(dú)立4.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)未知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，對給定的置信水平\(1-\alpha\)，\(\mu\)的置信區(qū)間為\((\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})\)，則下列說法正確的有（）A.置信區(qū)間的長度與樣本容量\(n\)有關(guān)B.置信區(qū)間的長度與置信水平\(1-\alpha\)有關(guān)C.當(dāng)樣本容量\(n\)增大時(shí)，置信區(qū)間的長度減小D.當(dāng)置信水平\(1-\alpha\)增大時(shí)，置信區(qū)間的長度增大5.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)為\(\rho_{XY}\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(|\rho_{XY}|\leq1\)B.若\(\rho_{XY}=1\)，則\(Y=aX+b\)（\(a\gt0\)）C.若\(\rho_{XY}=-1\)，則\(Y=aX+b\)（\(a\lt0\)）D.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(\rho_{XY}=0\)三、解答題（共55分）1.（10分）已知事件A和B滿足\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，求\(P(A\capB)\)，\(P(A|\overline{B})\)。2.（10分）設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}Ax^2,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)（1）求常數(shù)\(A\)；（2）求\(P(-1\ltX\lt\frac{1}{2})\)；（3）求\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)。3.（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為\(f(x,y)=\begin{cases}e^{-(x+y)},&x\gt0,y\gt0\\0,&\text{其他}\end{cases}\)（1）求\(X\)和\(Y\)的邊緣概率密度函數(shù)\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)；（2）判斷\(X\)和\(Y\)是否相互獨(dú)立。4.（10分）設(shè)總體\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1},&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，求\(\theta\)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量。5.（15分）設(shè)總體\(X\simN(\mu,1)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_{16}\)是來自總體\(X\)的樣本，樣本均值\(\overline{X}=5\)。（1）求\(\mu\)的置信水平為\(0.95\)的置信區(qū)間；（2）在顯著性水平\(\alpha=0.05\)下，檢驗(yàn)假設(shè)\(H_0:\mu=5.5\)，\(H_1:\mu\neq5.5\)。答案一、單項(xiàng)選擇題1.答案：A-解析：根據(jù)條件概率公式\(P(B|A)=\frac{P(A\capB)}{P(A)}\)，可得\(P(A\capB)=P(B|A)P(A)=0.8\times0.5=0.4\)。再根據(jù)概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)=0.5+0.6-0.4=0.7\)。2.答案：B-解析：已知隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，其分布律為\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。由\(P(X=1)=P(X=2)\)可得\(\frac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!}\)，即\(\lambda=\frac{\lambda^2}{2}\)，因?yàn)閈(\lambda\gt0\)，所以解得\(\lambda=2\)。3.答案：B-解析：\(P(0.2\ltX\lt0.8)=\int_{0.2}^{0.8}2xdx=x^2\big|_{0.2}^{0.8}=0.8^2-0.2^2=0.64-0.04=0.48\)。4.答案：A-解析：若隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)\)，\(Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)\)，則\(X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)。已知\(X\simN(1,2)\)，\(Y\simN(2,3)\)，所以\(X+Y\simN(1+2,2+3)=N(3,5)\)。5.答案：A-解析：設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)的樣本，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\simN(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)。6.答案：A-解析：總體\(X\)的一階矩\(E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdot\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}}dx\)，令\(t=\frac{x}{\theta}\)，則\(x=\thetat\)，\(dx=\thetadt\)，\(E(X)=\int_{0}^{+\infty}\thetat\cdote^{-t}\cdot\thetadt=\theta\int_{0}^{+\infty}te^{-t}dt=\theta\)。用樣本一階矩\(\overline{X}\)代替總體一階矩\(E(X)\)，可得\(\theta\)的矩估計(jì)量為\(\hat{\theta}=\overline{X}\)。7.答案：A-解析：可以證明\(E(S^2)=D(X)\)，所以\(S^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的無偏估計(jì)量。8.答案：A-解析：當(dāng)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知時(shí)，\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為\((\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)。9.答案：B-解析：在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)\(H_0\)為真，拒絕\(H_0\)稱為犯第一類錯(cuò)誤；原假設(shè)\(H_0\)不真，接受\(H_0\)稱為犯第二類錯(cuò)誤。10.答案：C-解析：根據(jù)方差的性質(zhì)\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}\)，已知相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0.5\)，\(D(X)=1\)，\(D(Y)=4\)，則\(D(X+Y)=1+4+2\times0.5\times\sqrt{1\times4}=1+4+2=7\)。11.答案：A-解析：因?yàn)閈(\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k)=1\)，即\(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{a}{k(k+1)}=a\sum_{k=1}^{+\infty}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=a\lim_{n\rightarrow+\infty}(1-\frac{1}{n+1})=a=1\)。12.答案：D-解析：若隨機(jī)變量\(X\)服從區(qū)間\([a,b]\)上的均勻分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a\ltx\ltb\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)，\(D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\)。已知\(X\)服從區(qū)間\([0,2]\)上的均勻分布，\(E(X)=\frac{0+2}{2}=1\)，\(D(X)=\frac{(2-0)^2}{12}=\frac{1}{3}\)。又因?yàn)閈(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，所以\(E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\)。13.答案：B-解析：若\(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2,\cdots,\hat{\theta}_n\)都是總體參數(shù)\(\theta\)的無偏估計(jì)量，方差越小越有效。\(D(\hat{\mu}_1)=\frac{1}{4}D(X_1)+\frac{1}{9}D(X_2)+\frac{1}{36}D(X_3)=\frac{1}{4}D(X)+\frac{1}{9}D(X)+\frac{1}{36}D(X)=\frac{9+4+1}{36}D(X)=\frac{14}{36}D(X)\)；\(D(\hat{\mu}_2)=\frac{1}{9}D(X_1)+\frac{1}{9}D(X_2)+\frac{1}{9}D(X_3)=\frac{1}{3}D(X)\)；\(D(\hat{\mu}_3)=\frac{1}{36}D(X_1)+\frac{1}{36}D(X_2)+\frac{4}{9}D(X_3)=\frac{1+1+16}{36}D(X)=\frac{18}{36}D(X)\)。比較可得\(D(\hat{\mu}_2)\)最小，所以\(\hat{\mu}_2\)是最有效的估計(jì)量。14.答案：B-解析：總體\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x;\lambda)=\lambdae^{-\lambdax}\)，\(x\gt0\)，似然函數(shù)\(L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\lambdae^{-\lambdax_i}=\lambda^ne^{-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i}\)，取對數(shù)得\(\lnL(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i\)。令\(\frac{d\lnL(\lambda)}{d\lambda}=\frac{n}{\lambda}-\sum_{i=1}^{n}x_i=0\)，解得\(\lambda=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}x_i}=\frac{1}{\overline{x}}\)，所以\(\lambda\)的最大似然估計(jì)量為\(\hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{X}}\)。15.答案：A-解析：若\(X\simB(n_1,p)\)，\(Y\simB(n_2,p)\)，且\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(X+Y\simB(n_1+n_2,p)\)。已知\(X\simB(10,0.3)\)，\(Y\simB(20,0.3)\)，所以\(X+Y\simB(10+20,0.3)=B(30,0.3)\)。二、多項(xiàng)選擇題1.答案：ACD-解析：若A和B互不相容，則\(P(A\capB)=0\)，而\(P(A)P(B)\gt0\)，所以\(P(A\capB)\neqP(A)P(B)\)，A和B一定不獨(dú)立，A正確；若A和B獨(dú)立，則\(P(A\capB)=P(A)P(B)\gt0\)，所以A和B一定不是互不相容的，B錯(cuò)誤；根據(jù)概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)，C正確；根據(jù)條件概率公式\(P(A\capB)=P(A)P(B|A)\)，D正確。2.答案：ABCD-解析：分布函數(shù)\(F(x)\)具有以下性質(zhì)：\(F(x)\)是單調(diào)不減函數(shù)；\(F(x)\)是右連續(xù)函數(shù)；\(0\leqF(x)\leq1\)；\(\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=1\)。3.答案：ABC-解析：\(E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=E(X)\)，A正確；\(D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)=\frac{D(X)}{n}\)，B正確；\(E(S^2)=D(X)\)，C正確；只有當(dāng)總體\(X\)服從正態(tài)分布時(shí)，\(S^2\)與\(\overline{X}\)才相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤。4.答案：ABCD-解析：置信區(qū)間\((\overline{X}-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}})\)的長度\(L=2t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\)。可以看出置信區(qū)間的長度與樣本容量\(n\)有關(guān)，當(dāng)樣本容量\(n\)增大時(shí)，\(\frac{S}{\sqrt{n}}\)減小，置信區(qū)間的長度減小；置信區(qū)間的長度與置信水平\(1-\alpha\)有關(guān)，當(dāng)置信水平\(1-\alpha\)增大時(shí)，\(t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)增大，置信區(qū)間的長度增大。5.答案：ABCD-解析：相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)滿足\(|\rho_{XY}|\leq1\)；若\(\rho_{XY}=1\)，則\(Y\)與\(X\)存在正線性關(guān)系，即\(Y=aX+b\)（\(a\gt0\)）；若\(\rho_{XY}=-1\)，則\(Y\)與\(X\)存在負(fù)線性關(guān)系，即\(Y=aX+b\)（\(a\lt0\)）；若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，則\(Cov(X,Y)=0\)，所以\(\rho_{XY}=0\)。三、解答題1.-（1）根據(jù)概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)，可得\(P(A\capB)=P(A)+P(B)-P(A\cupB)=0.4+0.3-0.6=0.1\)。-（2）\(P(A|\overline{B})=\frac{P(A\cap\overline{B})}{P(\overline{B})}\)，\(P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\capB)=0.4-0.1=0.3\)，\(P(\overline{B})=1-P(B)=1-0.3=0.7\)，所以\(P(A|\overline{B})=\frac{0.3}{0.7}=\frac{3}{7}\)。2.-（1）因?yàn)閈(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，即\(\int_{0}^{1}Ax^2dx=1\)，\(\frac{A}{3}x^3\big|_{0}^{1}=1\)，解得\(A=3\)。-（2）\(P(-1\ltX\lt\frac{1}{2})=\int_{0}^{\frac{1}{2}}3x^2dx=x^3\big|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}\)。-（3）當(dāng)\(x\leq0\)時(shí)，\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=0\)；當(dāng)\(0\ltx\lt1\)時(shí)，\(F(x)=\int_{0}^{x}3t^2dt=x^3\)；當(dāng)\(x\geq1\)時(shí)，\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}3t^2dt=1\)。所以\(F(x)=\begin{cases}0,&x\leq0\\x^3,&0\ltx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}\)。3.-（1）\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f_X(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-(x+y)}dy=e^{-x}\int_{0}^{+\infty}e^{-y}dy=e^{-x}\)；當(dāng)\(x\leq0\)時(shí)，\(f_X(x)=0\)。所以\(f_X(x)=\begin{cases}e^{-x},&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)。同理可得\(f_Y(y)=\begin{cases}e^{-y},&y\gt0\\0,&y\leq0\end{cases}\)。-（2）因?yàn)閈(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)，所以\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立。4.-（1）總體\(X\)的一階矩\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot\thetax^{\theta-1}dx=\int_{0}^{1}\thetax^{\theta}dx=\fr