極限函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂實(shí)錄一、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課旨在引導(dǎo)學(xué)生從直觀感知過渡到初步理解函數(shù)極限的概念，并掌握簡單函數(shù)極限的求解方法。極限是高等數(shù)學(xué)的基石，是研究函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等概念的前提。學(xué)生在此前已學(xué)習(xí)過數(shù)列的極限，對(duì)“無限逼近”思想有了初步接觸，本課將此思想遷移到函數(shù)領(lǐng)域，重點(diǎn)探討當(dāng)自變量趨于有限值和無窮大時(shí)函數(shù)的極限。教學(xué)的核心在于幫助學(xué)生建立“當(dāng)自變量在某一變化過程中，函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定常數(shù)”的清晰表象，并初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言描述這一過程，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)ε-δ定義奠定基礎(chǔ)。（二）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：*理解函數(shù)極限的直觀含義，能描述當(dāng)x趨于x?（x?可為有限值或無窮大）時(shí)函數(shù)f(x)的極限；*初步掌握當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，形如1/x?（n為正整數(shù)）等簡單函數(shù)極限的結(jié)論；*掌握函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則，并能運(yùn)用法則求簡單函數(shù)的極限。2.過程與方法：*通過觀察函數(shù)圖像、分析函數(shù)值變化趨勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納和抽象概括能力；*通過類比數(shù)列極限，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)遷移，培養(yǎng)邏輯思維能力；*在解決問題的過程中，體驗(yàn)從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)知過程。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：*通過對(duì)極限思想的探討，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與抽象性，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的探究興趣；*在合作與交流中，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力。（三）教學(xué)重難點(diǎn)*重點(diǎn)：函數(shù)極限的直觀理解；簡單函數(shù)極限的計(jì)算（利用已知結(jié)論及四則運(yùn)算法則）。*難點(diǎn)：函數(shù)極限概念的準(zhǔn)確把握，特別是自變量趨于有限值時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義與極限是否存在的關(guān)系；對(duì)“無限接近”這一抽象描述的具象化理解。（四）教學(xué)方法與策略本課采用“問題引導(dǎo)-探究發(fā)現(xiàn)-合作交流-總結(jié)提升”的教學(xué)模式。*情境創(chuàng)設(shè)與問題驅(qū)動(dòng)：通過具體函數(shù)圖像和數(shù)值例子，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考。*類比遷移與直觀感知：類比數(shù)列極限，引導(dǎo)學(xué)生將“項(xiàng)數(shù)n無限增大”遷移到“自變量x的變化”，借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，增強(qiáng)直觀性。*啟發(fā)講授與互動(dòng)研討：教師通過設(shè)問、引導(dǎo)，幫助學(xué)生梳理思路，學(xué)生通過小組討論、代表發(fā)言等形式參與概念的建構(gòu)過程。*分層練習(xí)與及時(shí)反饋：設(shè)計(jì)不同層次的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)，并通過師生互評(píng)、生生互評(píng)及時(shí)反饋學(xué)習(xí)效果。（五）教學(xué)準(zhǔn)備*多媒體課件（PPT）：包含函數(shù)圖像、例題、練習(xí)題等。*幾何畫板軟件：用于動(dòng)態(tài)演示函數(shù)圖像隨自變量變化的趨勢(shì)。*學(xué)生預(yù)習(xí)任務(wù)單：回顧數(shù)列極限的概念及常見數(shù)列的極限。（六）教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.復(fù)習(xí)引入，溫故知新（約5分鐘）*回顧數(shù)列極限的概念：提問學(xué)生數(shù)列極限描述的是何種變化過程？（當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列{a?}的項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù)A）。*引出問題：對(duì)于函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量x發(fā)生變化時(shí)（比如x越來越大，或x越來越接近某個(gè)固定值），函數(shù)值f(x)的變化趨勢(shì)如何？是否也會(huì)“無限趨近于”某個(gè)常數(shù)？由此導(dǎo)入新課——函數(shù)的極限。2.新知探究，概念建構(gòu)（約20分鐘）*探究一：當(dāng)x趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限*出示函數(shù)f(x)=1/x，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)x取正值且越來越大時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)?？赏ㄟ^列表計(jì)算x=1,10,100,1000,...時(shí)的f(x)值，并結(jié)合幾何畫板動(dòng)態(tài)展示圖像向右延伸的趨勢(shì)。*師生共同總結(jié)：當(dāng)x無限增大時(shí)，f(x)=1/x的值無限接近于0。類比數(shù)列極限，給出記號(hào)：lim?→+∞(1/x)=0。*類似地，引導(dǎo)學(xué)生思考x取負(fù)值且絕對(duì)值無限增大時(shí)，f(x)=1/x的變化趨勢(shì)，引出lim?→-∞(1/x)=0。進(jìn)而說明，當(dāng)x趨于正無窮和負(fù)無窮時(shí)，函數(shù)極限都存在且相等，則稱x趨于無窮大時(shí)函數(shù)極限存在，記為lim?→∞(1/x)=0。*拓展舉例：y=C(常數(shù)函數(shù))，y=x，y=e?等，引導(dǎo)學(xué)生討論其當(dāng)x趨于無窮大時(shí)是否有極限。*探究二：當(dāng)x趨于有限值x?時(shí)函數(shù)的極限*出示函數(shù)f(x)=(x2-4)/(x-2)(x≠2)。引導(dǎo)學(xué)生思考：雖然函數(shù)在x=2處無定義，但當(dāng)x無限接近2（但不等于2）時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)。*方法：通過約分化簡（x≠2時(shí)，f(x)=x+2），并列表計(jì)算x=1.9,1.99,1.999,...及x=2.1,2.01,2.001,...時(shí)的函數(shù)值，結(jié)合圖像觀察。*總結(jié)：當(dāng)x無限接近于2（無論從左側(cè)還是右側(cè)）時(shí)，f(x)的值無限接近于4。給出記號(hào)：lim?→?(x2-4)/(x-2)=4。*強(qiáng)調(diào)：函數(shù)在x?處的極限是否存在，與函數(shù)在x?處是否有定義無關(guān)。*引導(dǎo)學(xué)生嘗試描述：當(dāng)x趨于x?時(shí)，f(x)極限為A的直觀含義。3.歸納總結(jié)，初步應(yīng)用（約15分鐘）*函數(shù)極限的直觀定義（描述性定義）：*當(dāng)x→∞時(shí)：如果當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無限增大時(shí)，函數(shù)f(x)的值無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于無窮大時(shí)的極限。*當(dāng)x→x?時(shí)：如果當(dāng)自變量x無限接近于x?（x≠x?）時(shí)，函數(shù)f(x)的值無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x?時(shí)的極限。*極限的四則運(yùn)算法則（初步介紹，不嚴(yán)格證明，結(jié)合實(shí)例理解）：若limf(x)=A，limg(x)=B，則：*lim[f(x)±g(x)]=A±B*lim[f(x)·g(x)]=A·B*lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)*例題講解：*例1：求lim?→∞(1+1/x2)。（利用lim?→∞1/x2=0及四則運(yùn)算法則）*例2：求lim?→?(2x+1)。（可直接代入，因?yàn)楹瘮?shù)在x=3處連續(xù)，為后續(xù)鋪墊）*例3：求lim?→?(x3-1)/(x-1)。（先因式分解，約去零因子，再求極限）4.鞏固練習(xí)，深化理解（約10分鐘）*練習(xí)1：判斷下列極限是否存在，若存在，求出其值。*lim?→∞(3+1/x)*lim?→-∞e?*lim?→?(1-cosx)/x（提示學(xué)生觀察圖像或代入近似值感受，暫不要求精確計(jì)算）*練習(xí)2：計(jì)算lim?→?(x2-5x+6)/(x-2)。*學(xué)生獨(dú)立完成，小組內(nèi)交流答案，教師巡視指導(dǎo)，對(duì)共性問題進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。5.課堂小結(jié)，布置作業(yè)（約5分鐘）*小結(jié)：*本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些類型的函數(shù)極限？（x→∞和x→x?）*如何直觀理解函數(shù)極限的含義？*求簡單函數(shù)極限的常用方法有哪些？（利用已知結(jié)論、四則運(yùn)算法則、約分化簡等）*作業(yè)：*閱讀教材中關(guān)于函數(shù)極限的相關(guān)內(nèi)容，嘗試用自己的語言復(fù)述概念。*完成課后習(xí)題中關(guān)于函數(shù)極限計(jì)算的基礎(chǔ)題部分。*思考：當(dāng)x從左側(cè)和右側(cè)趨于x?時(shí)，函數(shù)極限是否一定相同？（為下節(jié)課左、右極限埋下伏筆）二、課堂實(shí)錄(上課鈴響，師生問好)師：同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限。誰能回憶一下，數(shù)列極限描述的是一種什么樣的變化過程？（目光掃視全班，期待學(xué)生回應(yīng)）生1：數(shù)列極限就是當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大的時(shí)候，數(shù)列的項(xiàng)a?無限地靠近一個(gè)固定的數(shù)。師：很好，“無限增大”、“無限靠近”，這兩個(gè)詞用得很關(guān)鍵。（板書：n→∞，a?→A）那么，對(duì)于函數(shù)y=f(x)來說，當(dāng)自變量x發(fā)生變化時(shí)，比如x變得越來越大，或者x越來越接近某個(gè)特定的值，函數(shù)值f(x)會(huì)不會(huì)也有類似的“無限靠近某個(gè)固定常數(shù)”的現(xiàn)象呢？這就是我們今天要探討的主題——函數(shù)的極限。（板書課題：函數(shù)的極限）師：我們先來看一個(gè)大家比較熟悉的函數(shù)，f(x)=1/x。請(qǐng)大家打開幾何畫板，我們一起觀察當(dāng)x取正值并且越來越大的時(shí)候，函數(shù)圖像有什么特點(diǎn)，函數(shù)值又有什么變化趨勢(shì)。（教師操作電腦，在大屏幕上展示f(x)=1/x的圖像，并動(dòng)態(tài)演示x值增大的過程）師：大家看，當(dāng)x的值從10到100，再到1000，圖像是不是越來越靠近x軸了？對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)呢？生2：f(x)的值越來越小，好像要跑到0那里去了。師：“跑到0那里去”，這個(gè)說法很形象，但數(shù)學(xué)上我們通常說“無限接近于0”。也就是說，只要x足夠大，|f(x)-0|，也就是|1/x|，可以變得任意小。我們就說，當(dāng)x趨于正無窮大時(shí)，函數(shù)f(x)=1/x的極限是0。（板書：lim?→+∞(1/x)=0）那如果x是負(fù)的，并且絕對(duì)值越來越大呢？生3：應(yīng)該也是無限接近于0吧，因?yàn)閤是負(fù)的，1/x也是負(fù)的，但它的絕對(duì)值還是越來越小，靠近0。師：非常正確。所以當(dāng)x的絕對(duì)值無限增大，也就是x趨于無窮大時(shí)，1/x的極限也是0。（板書：lim?→∞(1/x)=0）師：接下來，我們看另一種情況：當(dāng)自變量x無限接近于一個(gè)有限的值x?時(shí)，函數(shù)值的變化。比如這個(gè)函數(shù)，f(x)=(x2-4)/(x-2)，大家注意到這個(gè)函數(shù)的定義域了嗎？生4：x不能等于2，因?yàn)榉帜覆荒転榱?。師：?duì)。那當(dāng)x不等于2的時(shí)候，這個(gè)函數(shù)能不能化簡一下？生5：可以因式分解分子，x2-4等于(x-2)(x+2)，然后分子分母的(x-2)就可以約掉了，所以f(x)=x+2，但x不等于2。師：非常好。所以，這個(gè)函數(shù)的圖像其實(shí)就是一條直線y=x+2，但在點(diǎn)(2,4)處有一個(gè)“空洞”，對(duì)吧？（展示該函數(shù)圖像）現(xiàn)在，我們來看看當(dāng)x無限接近于2的時(shí)候，不管是從2的左邊還是右邊靠近，f(x)的值會(huì)怎么變？大家可以在草稿紙上算一下，當(dāng)x=1.9，1.99，1.999，或者x=2.1，2.01，2.001時(shí)，f(x)大概是多少。(學(xué)生開始計(jì)算，小聲討論)生6：x=1.9時(shí)，f(x)=3.9；x=1.99時(shí)，f(x)=3.99；x=2.01時(shí)，f(x)=4.01……越來越接近4了！師：是的。雖然函數(shù)在x=2處沒有定義，但當(dāng)x無限接近于2（但不等于2）時(shí)，f(x)的值無限接近于4。我們就說，當(dāng)x趨于2時(shí)，函數(shù)f(x)=(x2-4)/(x-2)的極限是4。（板書：lim?→?(x2-4)/(x-2)=4）這就告訴我們一個(gè)重要的事實(shí)：函數(shù)在x?處的極限是否存在，與函數(shù)在x?處有沒有定義，有沒有函數(shù)值，是沒有關(guān)系的。關(guān)鍵在于自變量趨近過程中函數(shù)值的變化趨勢(shì)。師：結(jié)合這兩個(gè)例子，我們可以嘗試用自己的話來描述一下函數(shù)極限的含義。當(dāng)x→x?時(shí)，f(x)→A，是什么意思？（引導(dǎo)學(xué)生組織語言）生7：就是x越來越靠近x?的時(shí)候，f(x)越來越靠近A。師：嗯，“越來越靠近”，這個(gè)描述比較直觀。更精確一點(diǎn)說，是“無限接近于A”。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)用更嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言來刻畫這個(gè)“無限接近”，也就是ε-δ語言，但今天我們先建立這種直觀的理解。(接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)函數(shù)極限的描述性定義，并介紹極限的四則運(yùn)算法則)師：知道了極限的概念，我們來看看怎么求一些簡單函數(shù)的極限。和數(shù)列極限類似，函數(shù)極限也有四則運(yùn)算法則。如果當(dāng)x在某個(gè)變化過程中，limf(x)=A，limg(x)=B，那么lim[f(x)+g(x)]就等于A+B，差、積、商（除數(shù)極限不為零）也有類似的結(jié)論。我們來看例題1：lim?→∞(3+1/x)。這個(gè)怎么求？生8：可以拆開來，lim?→∞3加上lim?→∞1/x。3的極限還是3，1/x的極限是0，所以結(jié)果就是3+0=3。師：思路非常清晰！完全正確。再看例3：lim?→?(x3-1)/(x-1)。這個(gè)函數(shù)在x=1處有定義嗎？生9：沒有，分母是x-1，x=1時(shí)分母為0。師：那怎么辦呢？是不是和我們剛才講的那個(gè)例子有點(diǎn)像？生10：可以把分子因式分解！x3-1可以分解成(x-1)(x2+x+1)，然后和分母約掉(x-1)，就變成了x2+x+1，x不等于1。然后極限就是當(dāng)x趨于1時(shí)，x2+x+1的極限，把x=1帶進(jìn)去，就是1+1+1=3。師：太棒了！（贊許地點(diǎn)頭）這位同學(xué)已經(jīng)完全掌握了這種“先化簡再求極限”的方法。關(guān)鍵在于處理掉那個(gè)導(dǎo)致分母為零的“零因子”。(隨后進(jìn)行鞏固練習(xí)，學(xué)生積極思考，教師巡視答疑。在處理練習(xí)2時(shí)，有學(xué)生提出不同解法)生11：老師，對(duì)于lim?→?(x2-5x+6)/(x-2)，我把分子分解成(x-2)(x-3)，然后約掉(x-2)，得到x-3，當(dāng)x趨于2時(shí)，極限就是2-3=-1。師：完全正確！方法很規(guī)范。大家在做題的時(shí)候，遇到這種“0/0”型的極限（雖然我們還沒正式定義），首先要想到的就是看看分子分母有沒有公因式可以約去。(課堂接近尾聲)師：好了同學(xué)們，今天這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了函數(shù)極限的兩種基本情形：當(dāng)x趨于無窮大和x趨于有限值x?時(shí)的