湖南省長沙市西雅中學(xué)2026屆九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關(guān)的動(dòng)人故事，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，前三天累計(jì)票房收入達(dá)10億元，若設(shè)增長率為，則可列方程為（）A． B．C． D．2．如圖，是的內(nèi)接正十邊形的一邊，平分交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．如圖，直徑為10的⊙A山經(jīng)過點(diǎn)C(0，5)和點(diǎn)0(0，0)，B是y軸右側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠OBC的余弦值為()A． B． C． D．4．下列是我國四大銀行的商標(biāo)，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．5．將二次函數(shù)y=2x2-4x+4的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)解析式為（）A．y=2(x+1)2+1 B．y=2(x+1)2+3 C．y=2(x-3)2+1 D．y=-2(x-3)2+36．如圖，在中，，，，，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．97．若正方形的外接圓半徑為2，則其內(nèi)切圓半徑為（）A．2 B． C． D．18．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上兩點(diǎn)，且，連接，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，垂足為，若，則的半徑為()A． B． C． D．9．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如表：利用該二次函數(shù)的圖象判斷，當(dāng)函數(shù)值y＞0時(shí)，x的取值范圍是（）A．0＜x＜8 B．x＜0或x＞8 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞410．如圖，是正方形與正六邊形的外接圓．則正方形與正六邊形的周長之比為（）A． B． C． D．11．不等式組的整數(shù)解有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)12．中國在夏代就出現(xiàn)了相當(dāng)于砝碼的“權(quán)”，此后的多年間，不同朝代有不同形狀和材質(zhì)的“權(quán)”作為衡量的量具.下面是一個(gè)“”形增砣砝碼，其俯視圖如下圖所示，則其主視圖為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．將拋物線向左平移個(gè)單位，得到新的解析式為________.14．請(qǐng)寫出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別為2，﹣2，這個(gè)方程可以是_____．15．已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m=___________．16．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________．17．直角三角形ABC中，∠B＝90°，若cosA＝，AB＝12，則直角邊BC長為___．18．點(diǎn)（-2，5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)在邊上，并且滿足.（1）求證：；（2）若的長為，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的長；（3）當(dāng)（2）中的最短時(shí)，求的面積.20．（8分）解下列方程：（1）（2）21．（8分）有四組家庭參加親子活動(dòng)，A、B、C、D分別代表四個(gè)家長，他們的孩子分別是a、b、c、d，若主持人隨機(jī)從家長、孩子中各選擇一個(gè)，請(qǐng)你用樹狀圖或列表的方法求出選中的兩人剛好是同一個(gè)家庭的概率.22．（10分）如圖，兩個(gè)班的學(xué)生分別在C、D兩處參加植樹勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路AO、OB的交叉區(qū)域內(nèi)(∠AOB的內(nèi)部)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)M，M到兩條道路的距離相等，且MC＝MD，這個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)的位置應(yīng)建在何處？請(qǐng)說明理由．(保留作圖痕跡，不寫作法)23．（10分）已知:如圖，菱形中，點(diǎn)，分別在，邊上，，連接，.求證:.24．（10分）直線y＝kx+b與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象分別交于點(diǎn)A（m，4）和點(diǎn)B（8，n），與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．（1）求直線AB的解析式；（2）觀察圖象，當(dāng)x＞0時(shí)，直接寫出的解集；（3）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△COD與△ADP相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（12分）如圖1，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，．將沿翻折得到，的延長線交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接分別交、于點(diǎn)、．若，探究與之間的數(shù)量關(guān)系．26．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在正方形的頂點(diǎn)D處，使三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，猜想CE與AF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）在（1）的條件下，若DE：AE：CE＝1：：3，求∠AED的度數(shù)；（3）若BC＝4，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，連結(jié)DM，DM與AC交于點(diǎn)O，當(dāng)三角板的邊DF與邊DM重合時(shí)（如圖2），若OF＝，求DF和DN的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據(jù)題意可得出第二天的票房為，第三天的票房為，將三天的票房相加得到票房總收入，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)增長率為，由題意可得出，第二天的票房為，第三天的票房為，因此，．故選：D．本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系式．2、C【分析】①③，根據(jù)已知把∠ABD，∠CBD，∠A角度確定相等關(guān)系，得到等腰三角形證明腰相等即可;②通過證△ABC∽△BCD,從而確定②是否正確,根據(jù)AD=BD=BC,即解得BC=AC，故④正確.【詳解】①BC是⊙A的內(nèi)接正十邊形的一邊,因?yàn)锳B=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,又因?yàn)锽D平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°=∠A,∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正確;又∵△ABD中，AD+BD＞AB∴2AD＞AB,故③錯(cuò)誤.②根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似易證△ABC∽△BCD,∴,又AB=AC,故②正確,根據(jù)AD=BD=BC,即,解得BC=AC,故④正確,故選C．本題主要考查圓的幾何綜合,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和幾何圖形的性質(zhì).3、C【分析】連接CD，由直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得CD是直徑；由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠OBC=∠ODC，在Rt△OCD中，由OC和CD的長可求出sin∠ODC.【詳解】設(shè)⊙A交x軸于另一點(diǎn)D，連接CD，∵∠COD=90°，∴CD為直徑，∵直徑為10，∴CD=10，∵點(diǎn)C（0，5）和點(diǎn)O（0，0），∴OC=5，∴sin∠ODC==，∴∠ODC=30°，∴∠OBC=∠ODC=30°，∴cos∠OBC=cos30°=．故選C.此題考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的知識(shí).注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4、A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和的概念和各圖形特點(diǎn)解答即可．【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A．本題考查了軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖象沿對(duì)稱軸折疊后可重合．5、A【分析】先配方成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“上加下減，左加右減”解答即可．【詳解】由“上加下減，左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2-4x+4配方成的圖象向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得以新的拋物線的表達(dá)式是y=2(x+1)2+1，故選：A．本題主要考查的是函數(shù)圖象的平移，由y=ax2平移得到y(tǒng)=a（x-h）2+k，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式即可．6、C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性質(zhì)求EC和AE的值即可【詳解】∵，∴，即，∴，∴．故選C．此題考查平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵在于求出AE7、B【解析】試題解析：如圖所示，連接OA、OE，∵AB是小圓的切線，∴OE⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AE=OE，∴△AOE是等腰直角三角形，故選B.8、D【分析】根據(jù)已知條件可知、都是含角的直角三角形，先利用含角的直角三角形的性質(zhì)求得，再結(jié)合勾股定理即可求得答案．【詳解】解：連接、，如圖：∵∴∴∴在中，∵是的直徑∴∴在中，，即∴∴∴∴的半徑為．故選：D本題考查了圓的一些基本性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線可以更順利地解決問題．9、C【分析】觀察表格得出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，9)，對(duì)稱軸為直線x=1，而當(dāng)x=-2時(shí)，y=0，則拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為(1，0)，由表格即可得出結(jié)論．【詳解】由表中的數(shù)據(jù)知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，9)，對(duì)稱軸為直線x=1.當(dāng)x＜1時(shí)，y的值隨x的增大而增大，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x的增大而減小，則該拋物線開口方向向上，所以根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)知，點(diǎn)(﹣2，0)關(guān)于直線直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，0)．所以，當(dāng)函數(shù)值y＞0時(shí)，x的取值范圍是﹣2＜x＜1．故選：C．本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是要認(rèn)真觀察，利用表格中的信息解決問題．10、A【解析】計(jì)算出在半徑為R的圓中，內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形的邊長即可求出周長之間的關(guān)系；【詳解】設(shè)此圓的半徑為R，

則它的內(nèi)接正方形的邊長為，

它的內(nèi)接正六邊形的邊長為R，

內(nèi)接正方形和外切正六邊形的邊長比為R：R=：1．正方形與正六邊形的周長之比=：6=

故答案選：A；考查了正多邊形和圓，解決圓的相關(guān)問題一定要結(jié)合圖形，掌握基本的圖形變換．找出內(nèi)接正方形與內(nèi)接正六邊形的邊長關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．11、B【分析】先解出不等式組的解集，然后再把所有符合條件的整數(shù)解列舉出來即可.【詳解】解：解得，解得，∴不等式組的解集為：，整數(shù)解有1、2、3共3個(gè)，故選：B.本題考查了一元一次不等式組的的解法，先分別求出各不等式的解集，注意化系數(shù)為1時(shí)，如果兩邊同時(shí)除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變；再求各個(gè)不等式解集的公共部分，必要時(shí)，可用數(shù)軸來求公共解集.12、A【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．【詳解】從正面看中間的矩形的左右兩邊是虛的直線，故選：A.本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】先求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式拋物線解析式寫出即可．【詳解】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），向左平移2個(gè)單位后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣3），所以，平移后的拋物線的解析式為．故答案為：．本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用根據(jù)規(guī)律利用點(diǎn)的變化確定函數(shù)解析式．14、x2﹣4＝0【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出答案【詳解】設(shè)方程x2﹣mx+n＝0的兩根是2，﹣2，∴2+（﹣2）＝m，2×（﹣2）＝n，∴m＝0，n＝﹣4，∴該方程為：x2﹣4＝0，故答案為：x2﹣4＝0本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根x1，x2與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=，x1x2=，是解題的關(guān)鍵.15、【解析】試題分析：根據(jù)拋物線解析式可知其對(duì)稱軸為x=，根據(jù)其與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，可知其頂點(diǎn)在x軸上，因此可知x=時(shí)，y=0，代入可求得m=.點(diǎn)睛：此題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)的位置是拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，因此可求出對(duì)稱軸代入即可.16、【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．【詳解】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍.，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，.故答案為：．本題考查了根的判別式．總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．17、1【分析】先利用三角函數(shù)解直角三角形，求得AC＝20，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵在直角三角形ABC中，∠B＝90°，cosA＝，AB＝12，∴cosA＝＝＝，∴AC＝20，∴BC＝＝＝1．故答案是：1．此題主要考查勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．18、（2，－5）【解析】點(diǎn)（-2，5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，-5）.故答案為（2，-5）.點(diǎn)睛：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，-y）.三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，進(jìn)而可證得結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得CE與x的關(guān)系，進(jìn)一步即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)（2）題的結(jié)果，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得AE最短時(shí)x的值，即BD的長，進(jìn)而可得AD的長和△ADC的面積，進(jìn)一步利用所求三角形的面積與△ADC的面積之比等于AE與AC之比即得答案.【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴；（3）∵，∴時(shí)，的值最小為6.4，此時(shí)，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴.本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積等知識(shí)，屬于中檔題型，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.20、（1）；（2）【分析】（1）把方程右邊的項(xiàng)作為整體移到左邊，利用因式分解的方法解方程即可；（2）利用配方法把方程化為：再利用直接開平方法解方程即可．【詳解】解：（1）原方程可化為：解得：（2）∵∴解得：．本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解與配方法解方程是本題的解題關(guān)鍵．21、概率為.【分析】選擇用列表法求解，先列出隨機(jī)選擇一個(gè)家長和一個(gè)孩子的所有可能的結(jié)果，再看兩人恰好是同一個(gè)家庭的結(jié)果，利用概率公式求解即可.【詳解】依題意列表得：孩子家長abcdA（A，a）（A，b）（A，c）（A，d）B（B，a）（B，b）（B，c）（B，d）C（C，a）（C，b）（C，c）（C，d）D（D，a）（D，b）（D，c）（D，d）由上表可得，共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，選中的兩個(gè)人剛好是一個(gè)家庭的有4組：（A，a）、（B，b）、（C，c）、（D，d）故所求的概率為.本題考查了用列舉法求概率，根據(jù)題意列出所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵.22、作圖見解析，理由見解析.【分析】因?yàn)镸到兩條道路的距離相等，且使MC=MD，所以M應(yīng)是∠O的平分線和CD的垂直平分線的交點(diǎn)．【詳解】如圖，∠O的平分線和CD的垂直平分線的交點(diǎn)即為茶水供應(yīng)點(diǎn)的位置．理由是：因?yàn)镸是∠O的平分線和CD的垂直平分線的交點(diǎn)，所以M到∠O的兩邊OA和OB的距離相等，M到C、D的距離相等，所以M就是所求．此題考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．23、見解析【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：連接，如圖，四邊形是菱形，，在和中，，(SAS)，．本題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．24、（1）；（2）2<x<8；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（0，0）時(shí)，△COD與△ADP相似.【解析】（1）首先確定A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）觀察圖象，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可確定．（3）分兩種情形討論求解即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A（m,4）和點(diǎn)B（8,n)在圖象上，∴，即A（2，4），B（8，1）把A（2，4），B（8，1）兩點(diǎn)代入得解得：，所以直線AB的解析式為：（2）由圖象可得，當(dāng)x>0時(shí)，的解集為2<x<8.（3）由（1）得直線AB的解析式為，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，當(dāng)y=0時(shí)，x=10，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），D點(diǎn)坐標(biāo)為（10，0）∴OC=5，OD=10，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），由題可以，點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)，則PD=10-a由∠CDO＝∠ADP可得①當(dāng)時(shí)，△COD∽△APD，此時(shí)AP∥CO，,解得a=2,故點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0）②當(dāng)時(shí)，△COD∽△PAD，即，解得a=0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（0，0）時(shí)，△COD與△ADP相似.本題是反比例函數(shù)綜合題，還考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．25、（1）詳見解析；（2）．【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)矩形的判定可得四邊形和四邊形是矩形，從而得出，，，然后證出，列出比例式，再利用等量代換即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則，先證出，可得，然后證出，可得，即可求出EF和AC的關(guān)系，從而求出與之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1所示：則四邊形和四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即；（2）解：∵，