《全品高考復(fù)習方案》第55講排列與組合【課標要求】通過實例,理解排列、組合的概念;能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.1.排列與組合的概念名稱定義區(qū)別排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照排成一列

排列有序,組合無序組合作為一組2.排列數(shù)與組合數(shù)名稱定義計算公式性質(zhì)聯(lián)系排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號AnmAnm=(n,m∈N*,且m≤n)(1)Ann(2)0!=1(1)Cnm=(2)應(yīng)用時一般是先選(元素)后排,先分組后分配組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號CnmCnm==n!m!(n-m)!(n,m(1)Cnn=C(2)Cnm=(3)Cn+1m=常用結(jié)論1.解決排列、組合問題的常見策略(1)特殊元素優(yōu)先安排.(2)合理分類與準確分步.(3)排列、組合混合問題要先選后排.(4)相鄰問題捆綁處理.(5)不相鄰問題插空處理.(6)定序問題倍縮法處理.(7)分排問題直排處理.(8)“小集團”排列問題先整體后局部.(9)構(gòu)造模型.(10)正難則反,等價轉(zhuǎn)化.2.解決排列與組合問題的四大原則(1)特殊優(yōu)先原則;(2)先取后排原則;(3)正難則反原則;(4)先分組后分配原則.題組一易錯辨析判斷下列說法是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)將4本不同的書平均分成兩份,共有C42種方法. ((2)將4本不同的書平均分給2個人,共有C42種方法. ((3)安排5名志愿者完成A,B,C三項工作,其中A項工作需3人,B,C兩項工作都只需1人,則不同的安排方法共有20種. ()題組二教材改編1.某校文藝部共有4名學生,其中高一、高二年級學生各有2名,從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,要求這2名學生來自不同年級,則不同的選擇方法共有種.

2.某單位安排七位工作人員在10月1日至10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙兩人都不安排在10月1日和10月2日,則共有種不同的安排方法.

3.安排5名志愿者完成A,B,C三項工作,每人安排一項工作,其中A項工作需3人,B,C兩項工作都只需1人,則不同的安排方法共有種.

排列問題例1[2024·天津南開區(qū)模擬]6個人排成一排,按下列要求各有多少種不同的排法?(結(jié)果用數(shù)字表示)(1)其中甲、乙必須相鄰;(2)其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰;(3)其中甲不站排頭,乙不站排尾;(4)其中甲、乙中間有且只有1人;(5)其中甲、乙、丙按從左到右的順序排列(可以不相鄰).總結(jié)反思解決排列問題的注意點:(1)有些排列的問題,可以根據(jù)機會均等的關(guān)系或每個元素出現(xiàn)的機會所占整個問題的比例關(guān)系使問題得到解決.(2)間接法是解決排列問題的常用方法,即遇到直接解題步驟多,不易計算時,可以考慮先計算出總的情況種數(shù),然后計算出不滿足要求的情況種數(shù),最后用總的情況種數(shù)減去不滿足要求的情況種數(shù)即得最后答案.(3)求解排列問題往往有多個不同的思路,若選擇方法得當,則求解過程簡單,容易讓人接受,否則復(fù)雜難解且易犯“重復(fù)”或“遺漏”等錯誤,因此,可借助分類討論思想來求解.【對點演練1】(1)[2024·山東淄博期末]某同學是個數(shù)學迷,他在設(shè)置手機的數(shù)字密碼時,打算將圓周率的前六個數(shù)字3,1,4,1,5,9進行某種排列得到密碼,要求兩個1必須相鄰,那么可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為 ()A.120 B.240C.60 D.30(2)北京大興國際機場擁有世界上最大的單一航站樓,并擁有機器人自動泊車系統(tǒng),解決了停車滿、找車難的問題.現(xiàn)有3輛車停放在7個并排的泊車位上,要求4個空位必須相鄰,箭頭表示車頭朝向,則不同的泊車方案種數(shù)為 ()A.16 B.18C.24 D.32組合問題例2(1)[2024·河北石家莊期末]如圖,一只螞蟻位于點M處,去搬運位于N處的糖塊,M→N的最短路線有條.

(2)[2024·安徽蚌埠期末]國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育,在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生,畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要按照以下要求到3所學校去任教,有多少種不同的分派方法?①其中甲學校1人、乙學校2人、丙學校3人;②其中一所學校4人,另兩所學校各1人;③每所學校至少1人.總結(jié)反思解決組合問題的注意點:(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:若“含有”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;若“不含有”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型:用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法分類復(fù)雜時,用間接法處理.(3)成雙成對的元素一般是先取雙再取單.【對點演練2】(1)已知A,B兩個公司共同承包6項工程,每個公司至少承包2項,則不同的承包方式共有 ()A.24種 B.70種 C.48種 D.50種(2)[2024·山東青島模擬]6個人分5張無座足球票,每人至多分1張,而且票必須分完,那么不同的分法種數(shù)是 ()A.C65 B.A65 C.5! 排列與組合的綜合應(yīng)用題型1相鄰、相間及特殊元素(位置)問題例3(1)[2024·河南安陽期末]某班畢業(yè)晚會有唱歌、跳舞、小品、雜技、相聲五個節(jié)目,要把這五個節(jié)目制成一個節(jié)目單,其中小品、相聲不相鄰且相聲、跳舞相鄰,這樣的節(jié)目單有 ()A.36種 B.40種 C.32種 D.42種(2)為迎接勞動節(jié),某社區(qū)編排了一場演出,其中一個節(jié)目共有7人參加,這7人中有4名男性和3名女性,要求男女相間站成一排,并且女性甲必須站在正中間,則不同的站隊方法有 ()A.144種 B.64種 C.48種 D.56種題型2定序問題例4如圖,某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉模型,從左往右的串數(shù)依次為1,2,3.到了晚上,水果店老板要收攤了,需要把這6串香蕉模型按從下往上的順序依次取下,每次只取1串,則不同取法的種數(shù)為.(結(jié)果用數(shù)字表示)

題型3相同元素分配問題例5[2024·山西臨汾模擬]將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班,每個班至少有1個名額,則不同的分配方案種數(shù)為 ()A.56 B.126 C.210 D.462題型4分組分配問題例6[2024·江蘇連云港期末]甲、乙等5人計劃去上海、蘇州及青島三個城市調(diào)查農(nóng)民工薪資情況.每個人只能去一個城市,并且每個城市都要有人去,則不同的分配方案種數(shù)為 ()A.150 B.300C.450 D.540總結(jié)反思1.(1)對于有限制條件的排列組合問題,分析問題時有位置分析法、元素分析法.在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則,即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置,對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)有限制條件的排列問題的常用方法:相鄰問題采用捆綁法,不相鄰問題采用插空法.2.定序問題用除法:對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列,然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù).3.相同元素的分配問題用隔板法:將n個相同小球放入m(m≤n)個不同的盒子里,要求每個盒子里至少有一個小球的放法,等價于將n個相同小球串成一串,從間隙里選m-1個結(jié)點,剪截成m段,共有Cn-1m4.分組分配問題分為三類:(1)平均分組時要除以組數(shù)的階乘:2n個元素平均分2組的分法種數(shù)是C2nnCnn2!,3n(2)對于部分均分問題,解題時要注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個數(shù)相等,則分組時應(yīng)除以m!.(3)對于不均勻分組問題,首先要對每組分配數(shù)量的可能情形進行一一列舉,然后再對每一種情形分類討論.【對點演練3】(1)高三(1)班從5名同學a,b,c,d,e中選取4人參加校運會的4×100米接力賽,每人只能跑一棒,其中第一棒只能從a,b中選一人跑,且a,b不相鄰,第四棒不能由d跑,則不同的選取方法有 ()A.18種 B.20種C.24種 D.28種(2)[2024·安徽馬鞍山期末]西湖小學在“六一”兒童節(jié)舉辦歡樂童年聯(lián)歡會,原定的7個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了3個新節(jié)目,如果將這3個新節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為 ()A.180 B.336C.720 D.1440(3)把8個相同的籃球分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人(可以有人沒有分得籃球),則不同的分法種數(shù)為 ()A.70 B.99C.110 D.165(4)[2025·山東濟寧模擬]某工程隊有6輛不同的工程車可以分給工地進行作業(yè),則下列結(jié)論正確的是 ()A.分給甲、乙、丙三地每地各2輛,有120種不同的分配方式B.分給甲、乙兩地每地各2輛,分給丙、丁兩地