§8.8拋物線課標(biāo)要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率).3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過(guò)點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝1常用結(jié)論1．通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．3．設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)與x軸相交于點(diǎn)P，過(guò)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直線l與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，α為AB與對(duì)稱軸正向所成的角，則有如下的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝eq\f(2p,sin2α).自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．(×)(2)方程y＝4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)．(×)(3)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．(√)(4)焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫(xiě)成y＝ax2，這與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式是一致的．(√)2．(選擇性必修第一冊(cè)P133T2改編)拋物線x2＝eq\f(1,4)y的準(zhǔn)線方程為()A．y＝－eq\f(1,16) B．x＝－eq\f(1,16)C．y＝eq\f(1,16) D．x＝eq\f(1,16)答案A解析由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，拋物線的焦點(diǎn)位于y軸正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,16).3．(選擇性必修第一冊(cè)P133T3改編)拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(3，y)到焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x答案B解析由題意可得|MF|＝xM＋eq\f(p,2)，則3＋eq\f(p,2)＝4，即p＝2，故拋物線方程為y2＝4x.4．若拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1，則p的值為()A．0B．1C．2D．3答案C解析由拋物線的定義可知，拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，則最短距離為eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1(1)(2024·南昌模擬)設(shè)圓O：x2＋y2＝4與y軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A．x2＝8y B．x2＝16yC．y2＝8x D．y2＝16x答案A解析因?yàn)閳AO：x2＋y2＝4與y軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，所以A(0,2)，B(0，－2)，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)B作圓O的切線l，所以切線l的方程為y＝－2，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為(0,2)，準(zhǔn)線為y＝－2，所以P的軌跡方程為x2＝8y.(2)已知A(4，－2)，F(xiàn)為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)|MA|＋|MF|取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A．(0,0) B．(1，－2eq\r(2))C．(2，－2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))答案D解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E，由拋物線定義，知|MF|＝|ME|.當(dāng)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，|ME|＋|MA|的值在變化，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M′，顯然當(dāng)M移動(dòng)到M′時(shí)，A，M，E三點(diǎn)共線，|ME|＋|MA|最小，此時(shí)AM∥x軸，把y＝－2代入y2＝8x，得x＝eq\f(1,2)，所以當(dāng)|MA|＋|MF|取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)).思維升華“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問(wèn)題均可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(diǎn)(x0,2)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為eq\f(11,4)，則m等于()A．4B．3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)答案D解析由題意知，拋物線y＝mx2(m>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,4m)，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)(x0,2)到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線y＝－eq\f(1,4m)的距離，可得2＋eq\f(1,4m)＝eq\f(11,4)，解得m＝eq\f(1,3).(2)已知點(diǎn)P為拋物線y2＝－4x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C．2D.eq\r(2)答案B解析直線l：x＝1為拋物線y2＝－4x的準(zhǔn)線，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過(guò)焦點(diǎn)F作直線x＋y－4＝0的垂線，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P為所作直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，d1＋d2的值最小，為點(diǎn)F到直線x＋y－4＝0的距離．∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)拋物線過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________________．答案y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y解析∵點(diǎn)(3，－4)在第四象限，∴拋物線開(kāi)口向右或向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把點(diǎn)(3，－4)的坐標(biāo)分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，則2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，AD⊥l于D.若AF＝2，∠DAF＝60°，則拋物線C的方程為_(kāi)_______．答案y2＝2x解析如圖，連接DF，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線l：x＝－eq\f(p,2)，由拋物線的定義可得|AF|＝|AD|，又∠DAF＝60°，所以△DAF為等邊三角形，所以|DF|＝|AF|＝2，∠DFM＝60°，所以在Rt△DFM中，|DF|＝2|MF|＝2p＝2，則p＝1，所以拋物線C的方程為y2＝2x.思維升華求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法．(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2023·臨汾統(tǒng)考)拋物線C的焦點(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線對(duì)稱的點(diǎn)為(0，－9)，則拋物線C的方程為()A．x2＝6y B．x2＝12yC．x2＝18y D．x2＝36y答案B解析由題可知，拋物線開(kāi)口向上，設(shè)方程為x2＝2py(p>0)，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，則準(zhǔn)線為y＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(\f(p,2)＋－9,2)＝－eq\f(p,2)，解得p＝6，所以拋物線C的方程為x2＝12y.(2)如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝3x答案D解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a，由拋物線的定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴eq\f(1,p)＝eq\f(2,3)，∴p＝eq\f(3,2)，因此拋物線的方程為y2＝3x.題型三拋物線的幾何性質(zhì)例3(1)(2023·蘭州一中模擬)已知圓x2＋y2＝1與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是矩形，則p等于()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(5\r(2),2)D.eq\f(2\r(5),5)答案D解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以由拋物線與圓的對(duì)稱性知，弦AB為拋物線y2＝2px(p>0)的通徑，因?yàn)閳A的半徑為1，拋物線的通徑為2p，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＋p2＝1，解得p＝eq\f(2\r(5),5).(2)(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D.若|AF|＝8，則以下結(jié)論正確的是()A．p＝4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4答案ABC解析如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，M，連接EF.設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)P，則|PF|＝p.因?yàn)橹本€l的斜率為eq\r(3)，所以其傾斜角為60°.因?yàn)锳E∥x軸，所以∠EAF＝60°，由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，則△AEF為等邊三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，則∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正確；因?yàn)閨AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F為AD的中點(diǎn)，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，故B正確；因?yàn)椤螪AE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正確；因?yàn)閨BD|＝2|BF|，所以|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，故D錯(cuò)誤．思維升華應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，常結(jié)合圖形思考，通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____．答案x＝－eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).方法二(應(yīng)用射影定理法)由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(3,2).(2)已知F是拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)，M是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，若3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，則|NF|＝________.答案16解析易知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－4，如圖，拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，作MB⊥l于點(diǎn)B，NC⊥l于點(diǎn)C，AF∥MB∥NC，則eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(|BM|－|CN|,|OF|)，由3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，得eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(3,5)，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以eq\f(|BM|－4,4)＝eq\f(3,5)，|BM|＝eq\f(32,5)，|MF|＝|BM|＝eq\f(32,5)，eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(2,5)，所以|NF|＝16.課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．在平面內(nèi)，已知定點(diǎn)A及定直線l，記動(dòng)點(diǎn)P到l的距離為d，則“|PA|＝d”是“點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案C解析“點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線”?“|PA|＝d”，反之不成立，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A時(shí)，軌跡不是拋物線．因此“|PA|＝d”是“點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線”的必要不充分條件．2．(2024·榆林模擬)已知拋物線x2＝2py(p>0)上的一點(diǎn)M(x0,1)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為()A．6B．4C．3D．2答案D解析由題可知，拋物線準(zhǔn)線為y＝－eq\f(p,2)，可得1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，所以該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為p＝2.3．(2023·福州質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(diǎn)(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝－4x D．y2＝－8x答案D解析由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)到直線x＝2的距離與到定點(diǎn)(－2,0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2,0)為焦點(diǎn)，x＝2為準(zhǔn)線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.4．(2023·北京模擬)設(shè)M是拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OFM＝120°，則|FM|等于()A．3B．4C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)答案B解析過(guò)點(diǎn)M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接FN，如圖所示，因?yàn)椤螼FM＝120°，MN∥x軸，則∠FMN＝60°，由拋物線的定義可得|MN|＝|FM|，所以△FNM為等邊三角形，則∠FNM＝60°，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)直線x＝－1交x軸于點(diǎn)E，則∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，則|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5．A，B是拋物線x2＝2y上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為12eq\r(3)，則∠AOB等于()A．30°B．45°C．60°D．120°答案C解析如圖，∵|OA|＝|OB|，∴A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,2)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,2)＝12eq\r(3)，解得a＝2eq\r(3)，∴B(2eq\r(3)，6)，∴tanθ＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.6．已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，則當(dāng)eq\f(|PA|,|PF|)最大時(shí)，|PF|等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)，y0))，拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，所以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,2)，因此|PF|＝eq\f(y\o\al(2,0),2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(y\o\al(2,0),2)＋eq\f(1,2)，令|PF|＝eq\f(y\o\al(2,0),2)＋eq\f(1,2)＝t，則yeq\o\al(2,0)＝2t－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t≥\f(1,2)))，eq\f(|PA|,|PF|)＝eq\f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2)＋\f(1,2)))2＋y\o\al(2,0)),\f(y\o\al(2,0),2)＋\f(1,2))＝eq\f(\r(t2＋2t－1),t)＝eq\r(1＋\f(2,t)－\f(1,t2))＝eq\r(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－1))2＋2)，當(dāng)eq\f(1,t)＝1，即t＝1時(shí)，eq\f(|PA|,|PF|)有最大值，此時(shí)|PF|＝1.二、多項(xiàng)選擇題7．(2023·南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)F是拋物線C：y2＝ax(a>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))，B(a，b)(b>0)在拋物線C上，則下列結(jié)論正確的是()A．C的準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(\r(2),4)B．b＝eq\r(2)C．eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2D．eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(16\r(2),15)答案BD解析點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))(a>0)，B(a，b)(b>0)在拋物線C上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＝\f(a2,2)，,b2＝a2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝\r(2)，))則拋物線C：y2＝eq\r(2)x，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，B(eq\r(2)，eq\r(2))，拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(\r(2),4)，故A錯(cuò)誤，B正確；eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＋1×eq\r(2)＝1＋eq\r(2)，故C錯(cuò)誤；拋物線C的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，0))，則|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)－\f(\r(2),2)))2＋0－12)＝eq\f(3\r(2),4)，|BF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)－\r(2)))2＋0－\r(2)2)＝eq\f(5\r(2),4)，則eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2\r(2),3)＋eq\f(2\r(2),5)＝eq\f(16\r(2),15)，故D正確．8.(2023·東北育才模擬)如圖，拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)M(3,1)射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)P(x1，y1)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)Q(x2，y2)反射，沿直線l2射出，則下列結(jié)論中正確的是()A．x1x2＝1 B．kPQ＝－eq\f(4,3)C．|PQ|＝eq\f(25,2) D．l1與l2之間的距離為5答案ABD解析由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線PQ過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又MP是水平的，所以可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，因此kPQ＝kPF＝eq\f(1－0,\f(1,4)－1)＝－eq\f(4,3)，故B正確；易知直線PQ的方程為y＝－eq\f(4,3)(x－1)，聯(lián)立直線PQ和拋物線方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)x－1，,y2＝4x，))消去y可得4x2－17x＋4＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1＋x2＝eq\f(17,4)，x1x2＝1，故A正確；由x1＝eq\f(1,4)可得x2＝4，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(4，－4)，利用拋物線定義可知|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋x2＋p＝eq\f(17,4)＋2＝eq\f(25,4)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閘1與l2平行，所以l1與l2之間的距離d＝|y1－y2|＝5，故D正確．三、填空題9．(2024·錦州模擬)南宋晩期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時(shí)茶水的深度為3cm，則該杯盞的高度為_(kāi)__________．答案eq\f(11,3)cm解析以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，3))，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，則eq\f(81,4)＝6p，解得p＝eq\f(27,8)，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(27,4)y，可設(shè)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，t))，代入拋物線方程得eq\f(9,4)＝eq\f(27,4)t，可得t＝eq\f(1,3)，所以該杯盞的高度為3－eq\f(1,3)＋1＝eq\f(11,3)(cm)．10．(2024·通化模擬)直線y＝eq\r(3)(x－1)與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，且A在第一象限，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則eq\f(|AF|,|BF|)＝______.答案3解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線和拋物線的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x))?3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，由于直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且A在第一象限，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(x1＋\f(p,2),x2＋\f(p,2))＝3.四、解答題11．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與點(diǎn)F(2,0)的距離與其到直線x＝－2的距離相等．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)求點(diǎn)M與點(diǎn)A(6,0)的距離的最小值，并指出此時(shí)M的坐標(biāo)．解(1)由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M到F(2,0)的距離與它到直線x＝－2的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以F(2,0)為焦點(diǎn)，以直線x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝8x.(2)設(shè)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,8)，m))，由兩點(diǎn)間的距離公式得|MA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,8)－6))2＋m2)＝eq\r(\f(m4,64)－\f(m2,2)＋36)＝eq\r(\f(1,64)m2－162＋32)，當(dāng)m2＝16，即m＝±4時(shí)，|MA|min＝4eq\r(2)，即當(dāng)M(2,4)或M(2，－4)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離最小，最小值為4eq\r(2).12．已知P為拋物線C：x2＝－16y上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)H，若△PFH的周長(zhǎng)不小于30，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，則m2＝－16n，準(zhǔn)線y＝4與y軸的交點(diǎn)為A，則|PF|＝|PH|＝4－n，|FH|＝eq\r(|AF|2＋|AH|2