§8.3圓的方程課標(biāo)要求1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．知識(shí)梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．3．圓心在任一弦的垂直平分線上．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(√)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)為圓心，a為半徑的圓．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)2．(選擇性必修第一冊(cè)P85T1改編)以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝eq\r(2)答案B3．(選擇性必修第一冊(cè)P102T7改編)若曲線C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)答案B解析由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由該曲線表示圓，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.4．(選擇性必修第一冊(cè)P85T2改編)下列各點(diǎn)中，在圓(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是()A．(0,2)B．(3,3)C．(－2,2)D．(4,1)答案B解析由(0－1)2＋(2＋2)2＝17<25知(0,2)在圓內(nèi)；由(3－1)2＋(3＋2)2＝29>25知(3,3)在圓外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圓上；由(4－1)2＋(1＋2)2＝18<25知(4,1)在圓內(nèi)．題型一圓的方程例1(2022·全國甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析方法一設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b－1＝0，,3－a2＋b2＝r2，,a2＋1－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r2＝5，))∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二設(shè)⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)))－1＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－3，))∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三設(shè)A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半徑為r，則kAB＝eq\f(1－0,0－3)＝－eq\f(1,3)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，∴AB的垂直平分線方程為y－eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，即3x－y－4＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－4＝0，,2x＋y－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.思維升華求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·鄭州模擬)已知點(diǎn)A(－2,1)，B(－1,0)，C(2,3)，M(a,2)四點(diǎn)共圓，則a＝________.答案±eq\r(5)解析設(shè)過A，B，C的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋1－2D＋E＋F＝0，,1－D＋F＝0，,4＋9＋2D＋3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝－4，,F＝－1，))所以過A，B，C的圓的方程為x2＋y2－4y－1＝0.又因?yàn)辄c(diǎn)M在此圓上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，所以a＝±eq\r(5).(2)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且圓心在直線y＝－2x＋3上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑最小時(shí)，圓的方程為__________________________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,5)))2＝eq\f(9,5)解析設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－2a＋3)，則圓的半徑r＝eq\r(a－02＋－2a＋3－02)＝eq\r(5a2－12a＋9)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(6,5)))2＋\f(9,5)).當(dāng)a＝eq\f(6,5)時(shí)，rmin＝eq\f(3\r(5),5).故所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,5)))2＝eq\f(9,5).題型二與圓有關(guān)的軌跡問題命題點(diǎn)1直接法例2已知A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝2|MB|，則點(diǎn)M的軌跡方程是________．答案x2＋y2－eq\f(20,3)x＋4＝0解析設(shè)M(x，y)，則|MA|＝eq\r(x＋22＋y2)，|MB|＝eq\r(x－22＋y2).因?yàn)閨MA|＝2|MB|，所以eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理可得，3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－eq\f(20,3)x＋4＝0.所以點(diǎn)M的軌跡是圓，方程為x2＋y2－eq\f(20,3)x＋4＝0.命題點(diǎn)2定義法例3(2023·茂名模擬)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AM與圓相切，且|AM|＝2，則點(diǎn)A的軌跡方程是()A．y2＝4xB．x2＋y2－2x－2y－3＝0C．x2＋y2－2y－3＝0D．y2＝－4x答案B解析因?yàn)閳AC：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心C(1,1)，半徑r＝1，因?yàn)辄c(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以|MC|＝1，又AM與圓相切，且|AM|＝2，則|AC|＝eq\r(|MC|2＋|AM|2)＝eq\r(5)，設(shè)A(x，y)，則(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以點(diǎn)A的軌跡方程為x2＋y2－2x－2y－3＝0.命題點(diǎn)3相關(guān)點(diǎn)法例4已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．解設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，∵四邊形MONP為平行四邊形，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，即(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋x0，,y＝4＋y0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4，))又N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4，易知直線OM的方程為y＝－eq\f(4,3)x，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(4,3)x，,x＋32＋y－42＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(9,5)，,y＝\f(12,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,5)，,y＝\f(28,5)，))∴點(diǎn)P的軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4除去點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．跟蹤訓(xùn)練2已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．解(1)方法一設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，且M是線段BC的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．題型三與圓有關(guān)的最值問題命題點(diǎn)1利用幾何性質(zhì)求最值例5(2024·泉州模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．由eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k2＝3，∴kmax＝eq\r(3)，kmin＝－eq\r(3).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\r(3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))min＝－eq\r(3).(2)設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，當(dāng)且僅當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切于第四象限時(shí)，截距b取最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(|2＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，即b＝－2±eq\r(6)，故(y－x)min＝－2－eq\r(6).(3)x2＋y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，設(shè)圓與x軸相交于點(diǎn)B和C′(點(diǎn)B在點(diǎn)C′左側(cè))，則(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).圓的參數(shù)方程圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ，))其中θ為參數(shù)．典例利用圓的參數(shù)方程解決例5(2)(3)．解x2＋y2－4x＋1＝0可化為(x－2)2＋y2＝3，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ.))(2)y－x＝eq\r(3)sinθ－(2＋eq\r(3)cosθ)＝eq\r(6)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－2，∴(y－x)min＝－eq\r(6)－2.(3)x2＋y2＝(2＋eq\r(3)cosθ)2＋(eq\r(3)sinθ)2＝7＋4eq\r(3)cosθ，∵cosθ∈[－1,1]，∴(x2＋y2)max＝7＋4eq\r(3)，(x2＋y2)min＝7－4eq\r(3).命題點(diǎn)2利用函數(shù)求最值例6(2023·湘潭質(zhì)檢)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．答案12解析由題意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12.思維升華與圓有關(guān)的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題．(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對(duì)稱性解決．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．4B．5C．6D．7答案A解析設(shè)圓心C(x，y)，則eq\r(x－32＋y－42)＝1，化簡得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心，1為半徑的圓，所以|OC|＋1≥|OM|＝eq\r(32＋42)＝5，所以|OC|≥5－1＝4，當(dāng)且僅當(dāng)O，C，M三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范圍為________．答案[－2,0]解析將x2＋y2＋x＋y＝0化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))為圓心，eq\f(\r(2),2)為半徑的圓，令x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由題可知，直線和圓有公共點(diǎn)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)－t)),\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0，即x＋y的取值范圍為[－2,0]．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)＝0的圓心坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，則半徑為()A．2B．3C．4D．5答案A解析圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－1,4)，所以其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(\r(D2＋E2－1),2).又已知圓心坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，所以D＝1，E＝－4，半徑為eq\f(\r(D2＋E2－1),2)＝2.2．(2023·北京海淀模擬)若直線2x＋y－1＝0是圓x2＋(y＋a)2＝1的一條對(duì)稱軸，則a等于()A．－1B．1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案A解析圓x2＋(y＋a)2＝1的圓心為(0，－a)，因?yàn)橹本€2x＋y－1＝0是圓的一條對(duì)稱軸，所以圓心(0，－a)在直線2x＋y－1＝0上，所以2×0＋(－a)－1＝0，解得a＝－1.3．(2023·寧德模擬)已知點(diǎn)M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則k的取值范圍為()A．－6<k<eq\f(1,2) B．k<－6或k>eq\f(1,2)C．k>－6 D．k<eq\f(1,2)答案A解析∵圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，∴圓心坐標(biāo)為(1，－2)，半徑r＝eq\r(1－2k).若點(diǎn)M(3,1)在圓C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，則滿足eq\r(3－12＋1＋22)>eq\r(1－2k)，且1－2k>0，即13>1－2k且k<eq\f(1,2)，即－6<k<eq\f(1,2).4．若圓C：x2＋y2－(m－2)x＋(m－2)y＋m2－3m＋2＝0過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．1 B．2C．2或1 D．－2或－1答案A解析將(0,0)代入圓的方程，得m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2，當(dāng)m＝1時(shí)，x2＋y2＋x－y＝0，滿足題意；當(dāng)m＝2時(shí)，x2＋y2＝0，不滿足題意．5．(2023·酒泉統(tǒng)考)若直線eq\r(3)x－y－3＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)最大值為P在圓x2＋(y－1)2＝1上，則△ABP面積的最大值為()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．3eq\r(2)答案C解析因?yàn)橹本€eq\r(3)x－y－3＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A(eq\r(3)，0)，B(0，－3)，則|AB|＝eq\r(3＋9)＝2eq\r(3)，圓x2＋(y－1)2＝1的圓心C(0,1)，半徑為r＝1，則圓心C(0,1)到直線eq\r(3)x－y－3＝0的距離為d＝eq\f(|－1－3|,\r(3＋1))＝2，所以圓x2＋(y－1)2＝1上的點(diǎn)P到直線eq\r(3)x－y－3＝0的最大距離為d＋r＝2＋1＝3，所以△ABP面積的最大值為eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3).6．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0答案D解析由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖所示．設(shè)P(x，y)，由題意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0.二、多項(xiàng)選擇題7．圓M與y軸相切，且經(jīng)過A(1,0)，B(2,1)兩點(diǎn)，則圓M可能是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝4B．(x－5)2＋(y＋3)2＝25C．(x－1)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y＋1)2＝9答案BC解析設(shè)圓M的圓心為M(a，b)，則半徑r＝|a|.又點(diǎn)A(1,0)，B(2,1)在圓上，所以有|MA|＝|MB|，即eq\r(a－12＋b2)＝eq\r(a－22＋b－12)，整理可得a＋b＝2.又|MA|＝r＝|a|，即eq\r(a－12＋b2)＝|a|，整理可得b2－2a＋1＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,b2－2a＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3，))所以圓心坐標(biāo)為(1,1)或(5，－3)．當(dāng)圓心坐標(biāo)為(1,1)時(shí)，r＝1，圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1；當(dāng)圓心坐標(biāo)為(5，－3)時(shí)，r＝5，圓M的方程為(x－5)2＋(y＋3)2＝25.綜上所述，圓M的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y＋3)2＝25.8．(2024·福州模擬)已知點(diǎn)P(a，b)是圓C：x2＋y2＝4上的點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．P(a，b)到直線x－y＋eq\r(2)＝0的距離的最大值為5B.eq\f(b,a＋4)的最大值為eq\f(\r(3),3)C．(a－3)2＋(b－4)2的最小值為9D．2a＋b的最小值為－2答案BC解析由已知可得，圓心C(0,0)，半徑r＝2.對(duì)于A項(xiàng)，圓心C(0,0)到直線x－y＋eq\r(2)＝0的距離的d＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1，所以P(a，b)到直線x－y＋eq\r(2)＝0的距離的最大值為d＋r＝3，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)B(－4,0)，當(dāng)PB與圓C相切時(shí)，斜率k＝eq\f(b,a＋4)取得最大值或最小值．直線PB的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.因?yàn)橹本€PB與圓C相切，所以圓心C(0,0)到直線kx－y＋4k＝0的距離等于半徑，即eq\f(|4k|,\r(k2＋1))＝2，整理可得k2＝eq\f(1,3)，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(b,a＋4)的最大值為eq\f(\r(3),3)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，圓心C(0,0)到點(diǎn)(3,4)的距離為eq\r(3－02＋4－02)＝5>r，所以圓上的點(diǎn)P(a，b)到點(diǎn)(3,4)的距離的最小值為5－r＝3，即eq\r(a－32＋b－42)≥3，所以(a－3)2＋(b－4)2≥9，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)直線l的方程為y＝－2x＋m，即2x＋y－m＝0，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，m有最大值或最小值，則eq\f(|m|,\r(5))＝r＝2，所以m＝±2eq\r(5).所以2x＋y的最小值為－2eq\r(5)，即2a＋b的最小值為－2eq\r(5)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．三、填空題9．(x－2)2＋(y＋3)2＝2上的點(diǎn)與點(diǎn)(0，－5)距離的最大值是________．答案3eq\r(2)解析結(jié)合圓的性質(zhì)可知圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2上的點(diǎn)與點(diǎn)(0，－5)距離的最大值等于圓心與點(diǎn)(0，－5)的距離加半徑，而(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心為(2，－3)，半徑為eq\r(2)，則圓心(2，－3)與點(diǎn)(0，－5)的距離為eq\r(2－02＋－3＋52)＝2eq\r(2)，因此圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2上的點(diǎn)與點(diǎn)(0，－5)距離的最大值等于2eq\r(2)＋eq\r(2)＝3eq\r(2).10．已知等腰△ABC，其中頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,0)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1)，則另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為______________________．答案x2＋y2＝2(除去點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(－1，－1))解析設(shè)C(x，y)，根據(jù)在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考慮到A，B，C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，因此點(diǎn)C不能為(1,1)和(－1，－1)．所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2＝2(除去點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(－1，－1))．四、解答題11．(2024·鹽城模擬)已知圓C的圓心在x軸上，并且過A(1,3)，B(3,3)兩點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)若P為圓C上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)M(8,0)，點(diǎn)Q滿足eq\o(PM,\s\up6(→))＝3eq\o(QM,\s\up6(→))，求點(diǎn)Q的軌跡方程．解(1)由題意可知，AB的中點(diǎn)為(2,3)，kAB＝0，所以AB的中垂線方程為x＝2，它與x軸的交點(diǎn)為圓心C(2,0)，又半徑r＝|AC|＝eq\r(10)，所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.(2)設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，由eq\o(PM,\s\up6(→))＝3eq\o(QM,\s\up6(→))，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3x－16，,y0＝3y，))又點(diǎn)P在圓C上，故(x0－2)2＋yeq\o\al(2,0)＝10，所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，化簡得Q的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝eq\f(10,9).12．已知以點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,t)，t))(t>0)為圓心的圓與x軸交于兩點(diǎn)O，A，與y軸交于兩點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求證：△OAB的面積為定值；(2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程．(1)證明圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,