高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省2026屆高三上學(xué)期綜合能力測試一數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合A={x2<x<4},B=x3≤x≤5，則A．2,5 B．2,5 C．3,4 D【答案】C【解析】由題意有A∩B=x故選：C.2．設(shè)-iz=2-i，則z=A．1-2i B．1+2i C．-1-2i【答案】B【解析】解：因?yàn)?iz=2-i故選：B3．已知an是無窮數(shù)列，設(shè)甲：存在常數(shù)q，使得a2a1=q且aA．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】數(shù)列an為等比數(shù)列設(shè)其公比為q，則a若a2a1所以甲是乙的必要條件但不是充分條件，故選：B.4．已知α∈0,π2,tanA．210 B．25 C．32【答案】D【解析】由tanα=sinαcosα又α∈0,π2，所以cos所以sinα+故選：D.5．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S4=2SA．-20 B．-15 C．-10 D．-5【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由題意有S4所以S15故選：B.6．某生物科研小組培育了甲、乙兩種固氮菌，其數(shù)量（單位：個(gè)）分別記為y1和y2.設(shè)培育時(shí)間為t（單位：天），據(jù)統(tǒng)計(jì)，兩者數(shù)量滿足以下關(guān)系：y1=3×A．3天 B．4天 C．5天 D．6天【答案】B【解析】由題意y1>y2，當(dāng)t=3時(shí)，43t=6427函數(shù)y=(43)t在(0,+∞)故選：B.7．已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1,F2A．3+1 B．2 C．3+12【答案】C【解析】由題意設(shè)F1因?yàn)锽為線段AF1的中點(diǎn)，所以又|BF2|=c，所以|B根據(jù)雙曲線定義知|AF1|=|A解得ca=3故選：C.8．一個(gè)盒子里有3個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，若每次不放回地從盒子中隨機(jī)取出一個(gè)球，直到取出的所有球的數(shù)字之積大于或等于8為止.記此時(shí)取出的所有球的數(shù)字之和為X，則EX=（A．223 B．7 C．254 D【答案】A【解析】由題意，X的值可以為：6,7,9X=6表示取出的兩個(gè)球上的數(shù)字為2,4，相當(dāng)于將三個(gè)球排序，2,4排在前兩位，所以PX=6X=7表示取出的兩個(gè)球上的數(shù)字為3,4，相當(dāng)于將三個(gè)球排序，3,4排在前兩位，所以PX=7X=9表示三個(gè)球全部取出，相當(dāng)于將三個(gè)球排序，2，3排在前兩位，所以PX=9所以X的分布列為：所以EX故選：A.二、多選題9．設(shè)F1,F2為橢圓C:x2+2y2=2的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓A．△PF1F2的周長為2+22C．點(diǎn)P的坐標(biāo)為12,144 D【答案】ACD【解析】已知橢圓C的方程為x2+2y2=2由此，a2=2，a=2，b2=1，b=1，c對于A，根據(jù)橢圓的定義，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和等于2a，因此△PF1F2的周長為對于B，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x則S△P將yp=144代入橢圓方程得xp22解得xp=12或xpF1,F2兩點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，可得以將P的坐標(biāo)(12,因此以F1F2為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn)P對于C，由選項(xiàng)B的分析過程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為12,14對于D，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,144則直線PF1的斜率為144-0故選：ACD.10．如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B//ED，AB=ED=2FB=2，則下列說法正確的是（A．AF//平面EDC B．點(diǎn)D到平面AEC的距離為C．平面ACE⊥平面ACF D．三棱錐A-CEF的體積為3【答案】AC【解析】對于A，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB//又∵FB//ED，且AB∩FB=B，ED∩CD=D，AB,FB在平面FBA內(nèi)，ED,CD在平面∴平面EDC//平面FBA，又∵AF?平面FBA，∴AF//平面EDC，A正確對于B，三棱錐E-ADC的體積VE-ADC易知△ACE為正三角形，且邊長為22，故S∵VE-ADC=VD-AEC，∴D到平面AEC解得：d=233對于C，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，F(xiàn)O，取DE中點(diǎn)G，則△EFG為直角三角形，易知DO=BO=2∴EF=222+1=3∴EO2∵△ACE為等邊三角形，且O為AC中點(diǎn)，∴EO⊥AC，又∵FO∩AC=O，且FO,AC都在平面ACF內(nèi)，∴EO⊥平面ACF，又∵EO在平面ACE內(nèi)，∴平面ACE⊥平面ACF，C正確；對于D，易知AC=22，又FO=3，△ABF與∴AF=FC，∴△AFC為等腰三角形，∴AC⊥FO，∴S∴棱錐A-CEF的體積VA-CEF=VE-AFC故選：AC.11．記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若SnA．a(chǎn)1+B．a(chǎn)1+C．存在數(shù)列an，使得D．存在數(shù)列an，使得【答案】ABD【解析】由Sn=n?Sn=±n，當(dāng)n=1時(shí)，a所以an=±1或?qū)τ贏：當(dāng)an=±1時(shí)，a1+a對于B：當(dāng)an=±2n-1所以a1+a2+?+對于C：由題意有a1=S1=±1為奇數(shù)，當(dāng)n≥2由Sn與n的奇偶性相同，同理Sn-1與n-1的奇偶性相同，又n與所以Sn與Sn-1的奇偶性也相反，所以an=所以a1+a3+所以不存在數(shù)列an，使得a1+對于D：存在數(shù)列an，a且a1+a故選：ABD.三、填空題12．直線y=m與函數(shù)y=tan3x的圖象的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離是【答案】π【解析】由正切函數(shù)的圖象的特點(diǎn)，直線y=m與函數(shù)y=tan因?yàn)樽钚≌芷谑荰=π3，所以直線y=m與函數(shù)y=tan故答案為：π313．已知向量a,b滿足a+b【答案】1【解析】如圖：設(shè)OA=a，OB=b，作平行四邊形OACB，則因?yàn)閍+b=a-b又OC=2b=2所以cosa故答案為：1214．已知函數(shù)fx=-12x3-5x,x≤0ln【答案】0,1【解析】由題意有：gx恰有4個(gè)零點(diǎn)，令gx=0，即fx=kx-1，所以y=kx-1當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)y=kx-1與fx=ln即k=1x0即y=x-1與fx當(dāng)x≤0時(shí)，fx=-1令f'x=0，解得x=-所以fx在-153所以fx的極小值為f設(shè)y=kx-1與fx=-1所以k=-1所以切線方程為：y-y0=kx-x所以-1+12x03所以y=x-1與fx作出fx由圖可知：當(dāng)k=0時(shí)，y=-1與fx有3當(dāng)k=1時(shí)，y=x-1與fx所以y=kx-1與fx的函數(shù)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，即0<k<1故答案為：0,1.四、解答題15．記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知3a=2c,csin（1）求cosC（2）設(shè)c=6，求AB邊上的高.解：（1）由csinB=37因?yàn)閟inB≠0，所以sin兩邊取平方，可得sin2解得cos2C=164，因（2）由（1）可得sinC=由3a=2c和正弦定理，可得3sinA=2sin又a=23c<c，故A所以sinB=因c=6，則a=2AB邊上的高為asin16．如圖，四邊形ABCD為正方形，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn).（1）證明：BM⊥ED；（2）若AB=2，E，A，C，D在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為O，求直線DO與平面ECD所成角的正弦值.（1）證明：連接CM，因?yàn)镸是線段ED的中點(diǎn)，所以CM⊥ED.因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,BC⊥CD，所以BC⊥平面ECD.又因?yàn)镋D?平面ECD，所以BC⊥ED.又因?yàn)锽C∩CM=C,BC,CM?平面BCM，所以ED⊥平面BCM.又因?yàn)锽M?平面BCM，所以BM⊥ED.（2）解：取CD中點(diǎn)F，連接EF.因?yàn)椤鱁CD為正三角形，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，所以EF⊥CD.又因?yàn)槠矫鍱CD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD=CD,EF?平面ECD，所以EF⊥平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：取AC中點(diǎn)N，則N為△ACD外接圓的圓心.又因?yàn)镋,A,C,D在同一個(gè)球面上，所以O(shè)N⊥平面ACD.因?yàn)锳BCD為正方形，△ECD為正三角形，AB=2，所以EF=3設(shè)ON=a，則E0,0,3，因?yàn)镺D=OE，所以解得a=33，所以DO=平面ECD的法向量為n=因?yàn)閏osDO所以直線DO與平面ECD所成角正弦值為21717．在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列，信號的傳輸相互獨(dú)立.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α0<α<1，收到0的概率為1-α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β0<β<1，收到1的概率為1-β.假設(shè)發(fā)送信號0和1（1）若α=0.1，β=0.05，求接收的信號為0的概率；（2）現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸，單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.（i）若采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，求依次收到1，0，1的概率；（ii）若發(fā)送的信號為1，譯碼為1，則選用單次傳輸和三次傳輸哪種傳輸方案更好，請說明理由.解：（1）設(shè)A=“發(fā)送的信號為0”，B=“接收的信號為0”，則A=“發(fā)送的信號為1”，B=“由題意可得PAPB（2）（i）三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，此時(shí)依次收到1，0，1的概率為P=（ii）記三次傳輸，發(fā)送1，依次收到0，1，1為M1，依次收到1，0，1為M依次收到1，1，0為M3，依次收到1，1，1為M4，且事件MPP對于三次傳輸，記發(fā)送1，譯碼為1為事件M，P記單次傳輸發(fā)送1，譯碼為1為事件N，則PNP因?yàn)?<β<1，所以β>0,1-β>0.當(dāng)0<β<12時(shí)，有PM-P當(dāng)β=12時(shí)，有PM-P當(dāng)12<β<1時(shí)，有PM-P18．已知函數(shù)fx（1）求fx（2）證明：當(dāng)x<12時(shí)，（3）若gx=fx-k0<k<1有兩個(gè)零點(diǎn)x（1）解：fx定義域?yàn)閤∣x≠1由f'x>0可得x>32或x<0，由f所以fx的單調(diào)增區(qū)間為-∞,0（2）證明：當(dāng)x<12時(shí)，有原不等式fx<-4e2x-1等價(jià)于設(shè)gx=ex+4ex-1于是gx<g（3）證明：構(gòu)造函數(shù)FxF'因?yàn)?<x<12，所以e2x所以e2x2x-3x+12+2x+3x-12因?yàn)閒12=0，所以x即fx因?yàn)閤1,x2是即fx1=f由（1）可知fx在-∞,0單調(diào)遞增，所以x19．已知曲線C:x（1）證明：曲線C關(guān)于y軸對稱；（2）求直線y=x+1與曲線C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）若直線y=kx-2k>0與曲線C有三個(gè)不同的交點(diǎn)Ax1,y1（1）證明：設(shè)x,y是曲線C上任意一點(diǎn)，則有x2容易知道-x2+y2y