高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省滄州市獻縣2024-2025學年高二上學期期末考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于直線的斜率為，故該直線的傾斜角為.故選：D.2.已知向量，，若，則的值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】因為向量，，所以，因為，所以，即，解得，故D正確.故選：D.3.若直線與直線平行，則實數a的值為（

）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】由題意得，，解得，當時，兩直線均為（重合），經檢驗滿足題意.故選：B.4.記為等差數列的前項和，若，，則數列的公差為（）A.3 B. C. D.6【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，所以，所以公差.故選:A.5.已知定點，（），動點滿足（），則動點的軌跡是（）A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一支C.拋物線的一部分 D.直線【答案】A【解析】設，因為（），所以，即（），因為，則，所以動點的軌跡是橢圓的一部分.故選：A.6.在數列中，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，，同理，，，，，所以數列是以6為周期的周期數列，所以.故選：C.7.已知為橢圓的上焦點，是橢圓上一點，為圓上一點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑，設橢圓的下焦點為，如圖，由橢圓的定義知，所以，所以，當且僅當，，三點共線，且點在線段的延長線上時取等號，因為，，所以，故，故選：D.8.已知雙曲線（，）的右焦點為，點，是雙曲線上關于原點對稱的兩點，點在第一象限，且以為直徑的圓經過點，直線交雙曲線于另一點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設雙曲線的左焦點為，，連接，，，則，，，，依題意，，由雙曲線的對稱性知四邊形為矩形，在中，由，得，化簡得，即，，在中，由，得，化簡得，所以雙曲線的離心率.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.構成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞（UnitCell），其形狀、大小與空間格子的平行六面體單位相同，保留了整個晶格的所有特征.晶胞是能完整反映晶體內部原子或離子在三維空間分布的化學結構特征的最小單元.晶胞具體形狀大小由它的三組棱長，，及棱間交角，，（合稱為“晶胞參數”）來表征.如圖，某晶胞的形狀為平行六面體，，，且.設，，，則下列說法正確的是（）A.與的夾角為 B.C.的長為 D.平面【答案】BC【解析】對于選項A，因為，所以與的夾角是與的夾角，由題意得該夾角為，由題意得，得到，即與的夾角為，故A錯誤；對于選項B，由空間向量加法法則得，故B正確；對于選項C，，解得，即的長為，故C正確；對于選項D，由已知條件得，，，，，，，，故D錯誤.故選：BC.10.已知數列，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A.為等差數列B.為等比數列C.的前項和為D.的最小值為1【答案】ABC【解析】對于選項A，由于，所以，即，且，所以是以1為首項，3為公差的等差數列，故A正確；對于選項B，由得，又，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數列，故B正確；對于選項C，由B知，，故，得到的前項和，故C正確；對于選項D，由A知，，故，設，令，解得，故當時，，而，，所以的最小值為，故D錯誤.故選：ABC.11.已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩動點，為坐標原點，則下列說法正確的有（）A.拋物線的準線方程為B.若，則線段的中點到軸的距離為C.若直線經過點，過，分別作拋物線的切線交于點，則D.若直線與軸正半軸交于點，在軸負半軸上存在點，滿足，則【答案】BCD【解析】對于A，拋物線的標準方程為，其準線方程為，焦點，故A錯誤；對于B，設，在準線上的投影分別為，，Ax1,y1，B根據拋物線定義，由，可得，即，所以，所以線段的中點到軸的距離為，故B正確；對于C，設直線，與拋物線聯(lián)立，得，所以，由于，所以，設拋物線在Ax1,4x12代入，得，由得，即，同理可得，所以，所以，故C正確；對于D，設，則，直線，與拋物線聯(lián)立，得，所以，，，又，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若1，，成等比數列，則______.【答案】2或7【解析】由于1，，成等比數列，故，解得或.13.已知空間四點，，，，則向量在向量上的投影向量的坐標為______.【答案】【解析】由題意得O0,0,0，，，，則，，，設兩向量所成的角為θ，則向量在向量上的投影向量為，14.若關于的方程有兩個不相等的實根，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】由，可得，由，得，因為關于的方程有兩個不相等的實根所以直線與曲線有2個公共點，如圖，當直線經過點時，，恰好有兩個交點；當時，最多有一個交點，舍去；當直線與曲線相切時，得到，解得（舍），或，由圖可知，當直線與曲線有2個公共點時，實數的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，點為圓上一動點，點，線段的中點為，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）求曲線與的公共弦長.解：（1）設Px0,y0，，因為，所以得又因為點在圓上，所以，所以，化簡得，所以曲線的方程為.（2）圓①，圓②，①②得，即公共弦所在的直線方程為，因為圓心到直線的距離，而圓的半徑為2，所以曲線與的公共弦長為.16.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，，.（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取的中點，連接，因為，所以，由于平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以，以為坐標原點，以平行于的直線為軸，以，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，所以，故，，，P0,0,1，所以，，，設平面的法向量為，則，即，令，得，所以點到平面的距離為.（2）由（1）知，，設平面的法向量為，則，即，令，得，由（1）可知，平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.17.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，漸近線方程為，點到漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線經過點，且與雙曲線相交于兩點，若的面積為3，求直線的方程.解：（1）由題意可得，，點到漸近線的距離，且，解得，，，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率不為0，如圖，設直線的方程為，Ax1,y1聯(lián)立消去，得，由3m2-1≠0,Δ所以，所以的面積，，由的面積為3，得，整理得，解得，所以，所以直線的方程為或.18.已知數列的前項和為，對任意正整數，滿足.（1）令，求；（2）求數列的前項和.解：（1）由題意得，，兩式相減得，，即.此時，即所以，所以，又時，，解得，故，所以.（2）由（1）可得，，所以，令，則①，②，①②得，，所以.19.已知橢圓（）的右焦點為，過點作與軸垂直的直線交橢圓于，兩點，，且橢圓經過點.（1）求橢圓的方程；（2）若分別是橢圓的左、右頂點，過點且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點，直線與直線交于點.記，，的斜率分別為，，，證明：為定值.（1）解：因為過點作與軸垂直的直線交橢圓于，兩點，所以設，，因，所以，解得，故，將代入方程，得