高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省唐山市2024-2025學年高二上學期期末考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓，則下列各點在圓上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將選項中的各點代入方程，顯然ABD均不滿足該方程，只有C選項滿足該方程.故選：C.2.在等比數(shù)列中，，則的公比為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，因為，所以，因為，所以，即，所以的公比為.故選：B.3.在雙曲線的兩支上各取一點，則的最小值為（）A.6 B.9 C.14 D.18【答案】A【解析】由得，即，所以.故選：A.4.已知圓與，則兩圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題可得，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑，且，所以兩圓外切，所以兩圓的公切線為3條.故選：C.5.設橢圓的左，右焦點分別為，過作垂直于軸的直線交于兩點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若，則，所以，可得，所以橢圓的離心率為.故選：C.6.若三棱錐的所有棱長都相等，則與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示，取中點，連接，，因為三棱錐各條棱長均相等，所以，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，即與所成的角是.故選：D.7.唐山市科技館以“探索、創(chuàng)新、夢想、共享”為主題向社會大眾免費開放，其中有一個“聲聚焦裝置”，通過兩個大的拋物鏡，演示聲音的反射和聚焦過程.如圖（1）所示：這兩個拋物鏡與軸截面的交線為拋物線，兩個拋物鏡相距.小紅站在其中一個金屬圓環(huán)處說話，小明在另一個金屬圓環(huán)處就會聽到相應的聲音.如圖（2），已知拋物鏡的口徑（直徑）為，深度為，則金屬圓環(huán)（拋物線焦點）到拋物鏡底部（拋物線頂點）的距離大致為（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】建立如圖所示平面直角坐標系：則設拋物線方程為：，因為在拋物線上，所以，解得，則，即金屬圓環(huán)（拋物線焦點）到拋物鏡底部（拋物線頂點）的距離大致為，故選：A.8.數(shù)列滿足，對于任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，由恒成立，得恒成立，令，由于，顯然關于單調遞增，所以當時，，所以.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線的方程為，則下列選項正確的有（）A.的斜率為B.的方向向量為C.在軸上的截距為5D.在軸上的截距為5【答案】ABC【解析】對于A，直線的方程為，即，所以直線的斜率為，A正確；對于B，根據(jù)直線的斜率，可以確定為直線的方向向量，B正確；對于C，根據(jù)直線的斜截式方程，可知在軸上的截距為5，C正確；對于D，令，解得，所以在軸上的截距為，D錯誤.故選：ABC.10.記等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和分別是和，已知，，則下列選項正確的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的首項為q，由，得，，，由，得方程組，解得，所以，所以，故A錯誤；B正確；，故C正確；由得或，當時，；當時，；故D錯誤.故選：BC.11.已知橢圓的左，右焦點分別為為上一點，則（）A.B.存在點使得C.內(nèi)切圓半徑的最大值為D.取值范圍為【答案】ACD【解析】，，，對于A，設Px0,y0，則，所以，故A正確；對于B，假設存在點使得，由題意可得，整理可得，因為，方程無解，故不存在點使得，故B錯誤；對于C，設內(nèi)切圓半徑為，由，即，若能構成三角形，則，顯然當取得最大值時，取得最大值為，故C正確；對于D，設Px0,y0，則，，所以，因為，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與圓交于兩點，則__________.【答案】【解析】易知圓的圓心為，半徑；顯然圓心在直線上，因此即為直徑，所以.13.若等比數(shù)列的前2項和為96，前4項和為120，則其前6項和為______.【答案】【解析】由于，故.從而，即，故.所以.14.已知為拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于兩點，若，則__________.【答案】【解析】設直線，點，由消去得，所以，所以，解得，方程，解得，于是，由余弦定理得.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過點，圓心在直線上.（1）求的標準方程；（2）過點作的切線，求的方程.解：（1）設點為線段的中點，直線為線段的垂直平分線，則點坐標為.因為，所以，則直線的方程為，即.由得，所以圓心的坐標為；圓的半徑，所以圓的標準方程為；（2）當切線的斜率不存在時，圓心到直線的距離為，等于半徑，與圓相切.當?shù)男甭蚀嬖跁r，設的方程為，即.則，解得，所以的方程為.綜上，的方程為或.16.如圖，已知棱長為1的正方體.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求平面與平面的距離.（1）證明：如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標系，則，所以.設平面的一個法向量為，則即取.所以，即.又因為平面，所以平面.（2）證明：由（1）得平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為，則即取.故，而點平面,所以平面平面.（3）解：由（2）得平面平面，所以平面與平面的距離即為到平面的距離.又，平面的一個法向量為.所以到平面的距離為，即平面與平面的距離為.17.已知數(shù)列的前項和為.（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，當時，，當時，也符合，所以.（2）由（1）可得，.18.如圖，在平行六面體中，所有棱長均為2，且.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值；（3）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖連接，與相交于點，則，且點為的中點.由題設得，連接，則，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，即.（2）解：由（1）知為二面角的平面角因為，且，得，則，則.（3）解：方法一：由，，得，則，由（1）知平面.則平面.如圖，設與相交于點，連接，則即為所求線面角.易知為正的外心，亦為其重心，則，又，則.方法二：如圖所示，以為原點，建立空間直角坐標系，則，由（2）知，且，則）.設為平面的法向量，則得取.，則.設直線與平面所成角為，則.19.已知雙曲線的焦距為4，焦點到漸近線的距離為1.（1）求的標準方程；（2）過的右焦點作兩條互相垂直的直線與的右支交于點，弦的中點為與的右支交于點，弦的中點為.（i）設，求的取值范圍；（ii）判斷：直線是否恒過定點？若