高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽(yáng)市固始縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.已知向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄?，且，所以存在?shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以．故選：C．2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（）A.10 B.12 C.16 D.20【答案】D【解析】由題意得，由橢圓定義可知，，所以的周長(zhǎng)為.故選：D．3.已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)斜率為的直線(xiàn)與的右支交于點(diǎn)，若線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】由于線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，所以，由解得，則，而，所以，，兩邊除以得，解得或（舍去）.故選：D．4.已知直線(xiàn)l：的傾斜角為，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)l的傾斜角為，所以斜率，所以，解得.故選：C．5.已知在四面體中，，，，，為BC的中點(diǎn)，若.則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】因?yàn)?，為BC的中點(diǎn)，所以，又，則，，，所以.故選：B.6.已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，表示到點(diǎn)和的距離之和.又在直線(xiàn)上，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，所以，所求最小值為：.故選：B．7.年月我校組織年校慶活動(dòng)，有甲、乙、丙名志愿者負(fù)責(zé)、、、等個(gè)任務(wù)．每人至少負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)任務(wù)的分配方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】因任務(wù)有個(gè)，人只有三個(gè)，結(jié)合題意可知有人負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù).若甲負(fù)責(zé)兩個(gè)任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時(shí)的分配方法共有種；若甲負(fù)責(zé)個(gè)任務(wù)，因甲不負(fù)責(zé)任務(wù)，則有種分配方法，剩下的任務(wù)有種分配方法，則此時(shí)的分配方法共有種；綜上，滿(mǎn)足題意的分配方法共有種.故選：C.8.過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)向其一條漸近線(xiàn)作垂線(xiàn)l，垂足為P，l與另一條漸近線(xiàn)交于Q點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，漸近線(xiàn)方程為.因?yàn)?，所以直線(xiàn)的方程為.由得，即，由得，即，所以，，因?yàn)?，所以，整理得，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選：D.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離都等于1C.曲線(xiàn)與曲線(xiàn)恰有三條公切線(xiàn)，則D.已知圓，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線(xiàn)、，其中、為切點(diǎn)，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)【答案】BCD【解析】由，得，聯(lián)立，解得，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；圓心到直線(xiàn)的距離等于1，直線(xiàn)與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線(xiàn)距離為1的兩條直線(xiàn)，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于1，故B正確；兩圓有三條公切線(xiàn)，則兩圓外切，曲線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，曲線(xiàn)化為標(biāo)準(zhǔn)式，圓心距為，解得，故C正確；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線(xiàn)的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，，故D正確．故選：BCD．10.已知曲線(xiàn)：，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則是兩條直線(xiàn)B.若，則是圓，其半徑為C.若，則是橢圓D.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上【答案】AD【解析】對(duì)于A(yíng)：若，，則曲線(xiàn)：，即，表示兩條平行于軸的直線(xiàn)，故A正確；對(duì)于B：若，方程化為，則是圓，其半徑為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)滿(mǎn)足，但是曲線(xiàn)：表示焦點(diǎn)在軸的雙曲線(xiàn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故D正確；故選：AD．11.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在棱上B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段上D.當(dāng)時(shí)，平面【答案】BCD【解析】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，故點(diǎn)在上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，故點(diǎn)在棱上，由三棱柱性質(zhì)可得平面，所以點(diǎn)到平面距離為定值，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，所以且，，即，所以即，又，所以三點(diǎn)共線(xiàn)，故在線(xiàn)段上，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質(zhì)可知，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則，即，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由正方形性質(zhì)可知，又，平面，所以平面，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分）12.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是__________．【答案】【解析】方程可化，所以是以為圓心，半徑為的圓上的點(diǎn)，與的距離是，所以的最小值是.13.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則三角形的面積為_(kāi)_____.【答案】4【解析】根據(jù)橢圓定義可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面積為.14.已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)，，則，，又，兩式相減，得，即，整理得，直線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)得，故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.（1）計(jì)算：；（2）若，則x的值為_(kāi)____；（3）若，求正整數(shù)n．解：（1）.（2）依題意，，則，，整理得：，而，所以.（3），因此，即，所以.16．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)．（1）若，求m的值；（2）若點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線(xiàn)的方程．解：（1）因?yàn)?，所以，且，由，得，解得或（舍去），所?（２）因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為（），令，則，令，則，因?yàn)橹本€(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，所以，解得或，所以直線(xiàn)的方程為或.17.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．（1）寫(xiě)出橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）求的面積．解：（1）橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，則半焦距，所以，離心率.（2）由（1）知，直線(xiàn)的方程為，由消去得：，解得，所以的面積.18.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，且切點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線(xiàn)C上的點(diǎn)．（1）求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)不與軸垂直，點(diǎn)在軸上，軸，．若直線(xiàn)QP與拋物線(xiàn)和直線(xiàn)分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：．解：（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，則，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，則聯(lián)立得，，由解得，，所以直線(xiàn)的方程為.當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，滿(mǎn)足過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，故過(guò)點(diǎn)與拋物線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程為或（2）因?yàn)橹本€(xiàn)不與軸垂直，則直線(xiàn)的方程為，根據(jù)題意如圖所示：由得，因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線(xiàn)C上的點(diǎn)，設(shè)，由，則為的中點(diǎn)，則，因?yàn)檩S，且直線(xiàn)QP與拋物線(xiàn)和直線(xiàn)分別交于M，N兩點(diǎn)，則得，由得，由，所以為的中點(diǎn)，即.19.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：在中，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?（2）解：由（1）可得，，又，所以，，兩兩垂直，以，，所在的直線(xiàn)分別為軸