高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林省八校2024-2025學年高二上學期10月期中考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符題目要求的.1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，且拋物線的開口向上，焦點在軸上，所以拋物線的焦點坐標為.故選：B.2.圓與的位置關系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內切【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑．兩圓圓心距為，所以圓與圓內切．故選：D.3.若雙曲線的右支上一點到右焦點的距離為9，則到左焦點的距離為（）A.3 B.12 C.15 D.3或15【答案】C【解析】因為雙曲線方程為，所以，則，設雙曲線的左?右焦點分別為，又點在雙曲線的右支上，且，所以，則.故選：C.4.已知直線與垂直，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】因為直線與垂直，所以，解得.故選：C.5.已知直線與直線平行，且與橢圓交點為，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，即，因為，都在橢圓上，所以，，則，即，所以，所以，故選：A.6.已知直線與關于原點對稱，則恒過點（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為直線恒過點，點關于原點對稱的點的坐標為，所以直線恒過點.故選：A.7.設有一組圓，若圓上恰有兩點到原點的距離為1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓，其圓心為，半徑為．因為圓上恰有兩點到原點的距離為1，所以圓與圓有兩個交點．因為圓心距為，所以，解得．故選：B.8.如圖，某雙曲線筆簡的軸截面曲線部分為一條離心率為且焦距為的雙曲線的一部分.忽略筆筒的厚度，該筆筒中間最窄處的直徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意可得，所以，所以該筆筒中間最窄處的直徑為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為10 B.橢圓的一個頂點為C.橢圓的焦距為8 D.橢圓的離心率為【答案】ACD【解析】因為，且橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的長軸長為10，頂點為，焦距為8，離心率.故選：ACD.10.已知直線和曲線相交于兩點，下列結論正確的是（）A.曲線的長度為 B.C. D.若，則【答案】CD【解析】由，得，因為，所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓，則其周長為，A錯誤；如圖：當直線與曲線相切時，圓心到直線的距離，解得舍去）．當直線過點時，直線和曲線有2個交點，此時，解得．當直線和曲線有兩個交點時，，B錯誤；，因為，所以，C正確；線段的中垂線過圓心2,0，斜率為1，所以方程為，點在直線上，D正確。.故選：CD.11.已知拋物線準線l與圓相切，P為C上的動點，N是圓M上的動點，過P作l的垂線，垂足為Q，C的焦點為F，則下列結論正確的是（）A.點F坐標為B.的最小值為C.存在兩個P點，使得D.若為正三角形，則圓M與直線PQ相交【答案】ACD【解析】對A，準線與圓相切，可知，可得，所以F1,0，故A正確；對B，根據(jù)可得，可確定最小值為，故B錯誤；對C，若，則PM=PF，做中垂線，根據(jù)題意知，設為中點，則可得，直線斜率為，根據(jù)點斜式可確定為，與拋物線聯(lián)立得，，所以可知有兩個解，所以存在兩個P點，使得，故C正確；對D，根據(jù)為正三角形，所以，則，且，所以可得，和圓與軸交點為0,3，，所以可知圓M與直線PQ相交，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的短軸長為__________，該橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為__________.【答案】【解析】由橢圓，則，即，所以短軸長為，該橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為.13.直線的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【解析】依題意，直線的斜率，則，所以.14.若過圓外一點作圓的兩條切線，切點分別為，且，則__________．【答案】2或4【解析】如圖，記圓的圓心為與交于點，圓的半徑為r，由題意可得，，所以，即，解得或16，即或4，經檢驗，都滿足題意．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知點，且四邊形是平行四邊形．（1）求點的坐標；（2）求平行四邊形的面積．解：（1）由題意得直線的斜率為，則其方程為，直線的斜率為，因為直線與直線平行，且過點，所以直線的方程為，因為直線與直線平行，且過點，所以直線的方程為1．聯(lián)立，解得，即點的坐標為．（2）因為，又點到直線的距離，故平行四邊形的面積.16.求符合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點在軸上，實軸長為8，離心率為；（2）焦點在軸上，焦距為，漸近線方程為.解：（1）因為雙曲線焦點在軸上，實軸長為8，離心率為，所以，解得，所以，所以所求雙曲線的標準方程為.（2）依題意，可設所求雙曲線的標準方程為.因為焦距為，所以，所以.又漸近線方程為，所以，則，所以所求雙曲線的標準方程為.17.已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點，若線段的中點坐標為-3,2，求直線的方程.解：（1）由題意可知，則.因為，所以橢圓方程為.（2）設Ax1,兩式相減得，整理可得.因為線段的中點坐標為-3,2，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.直線和軸的交點為，該點在橢圓內，故直線和橢圓相交，滿足條件.18.已知動點在拋物線上，，點到的準線的距離為，且的最小值為5.（1）求的方程；（2）若過點的直線與交于兩點，且直線的斜率與直線的斜率之積為，求的斜率.解：（1）設拋物線的焦點為，由拋物線的定義可得，則，當三點共線且點在線段上時，取得最小值，則，整理得，解得或，因為，所以，故的方程為.（2）設過點1,0的直線.聯(lián)立，消元得，顯然，所以，由，得代入韋達定理得：化簡得，得或.故的斜率為4或.19.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數(shù)且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標系中，，動點滿足，設動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線與曲線交于兩點，求；（3）若曲線與