專題第01講全等三角形的判定與性質(zhì)(1)求證：△ABE≌△ACD;【分析】(1)利用“AAS”可證明△ABE≌△ACD;(2)先利用全等三角形的性質(zhì)得到AD=AE=6,再利用勾股定理計算出AC,從而得到AB的長，然后計算AB-AD即可.【解答】(1)證明：∵CD⊥AB,BE⊥AC,(2)解：∵△ABE≌△ACD,2.(2022秋·黔江區(qū)期末)如圖，已知∠C=∠F=90°,AC=DF,AE=DB,BC與EF交于點O.(1)求證：Rt△ABC≌Rt△DEF;(2)若∠A=51°,求∠BOF的度數(shù).【分析】(1)根據(jù)HL證明兩個三角形全等；(2)根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論.【解答】(1)證明：∵AE=DB,(2)解：∵∠C=90°,∠A=51°,3.(2022秋·鼓樓區(qū)期末)如圖，點A、C、D在同一直線上，BC⊥AD,垂足為C,BC=CD,點E在BC(1)求證：△ABC≌△EDC;(2)寫出AB與DE的位置關系，并說明理由.AA【分析】(1)在Rt△ACB和Rt△ECD中，由ASA證明三角形全等；(2)根據(jù)(1)得出∠AFD=90°即可.【解答】(1)證明：∵BC⊥AD,如圖延長DE交AB于點F,4.(2023·黃石模擬)如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD與CE交于點F,且AD(2)已知BC=7,AD=5,求AF的長.【分析】(1)由ASA證明△ABD≌△COD即可；(2)理由全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；【解答】(1)證明：∵AD⊥BC,CE⊥AB,(2)解：∵△ABD≌△CFD,5.(2023春·嘉定區(qū)期末)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,點E為對角線BD上一點，∠A=∠BEC,(1)求證：△ABD≌△ECB;(2)如果∠BDC=75°,求∠ADB的度數(shù).CC【分析】(1)由“ASA”可證△ABD≌△ECB;(2)由全等三角形的性質(zhì)可得BD=BC,由等腰三角形的性質(zhì)可求解.【解答】(1)證明∵AD//BC,(2)解：∵△ABD≌△ECB,6.(2023·營口)如圖，點A,B,C,D在同一條直線上，點E,F分別在直線AB的兩側(cè)，且AE=BF,∠(1)求證：△ACE≌△BDF;【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理證明△ACE≌△DBF即可；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】(1)證明：在△ACE和△BDF中，故CD的長為4.7.(2023·朔城區(qū)一模)如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,在BD上取兩點E,F(1)若AE//CF,試說明△ABE≌△C(2)在(1)的條件下，連接AF,CE,試判斷AF與CE有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由.【分析】(1)由“ASA”可證△ABE≌△CDF;(2)由全等三角形的性質(zhì)可得AB=CD,由“SAS”可證△ABE≌△CDF,可得結(jié)論.【解答】(1)證明：∵AB//CD,在△ABE和△CDF中，(2)如圖，8.(2023春·岑溪市期末)如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,BE=DF;AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別(1)求證：△ABE≌△CDF;【分析】(1)由“ASA”可證△ABE≌△CDF;【解答】證明：(1)∵AB//CD,∴四邊形AECF是平行四邊形，9.(2023春·梅州期末)如圖，在△ABC中，AB=AC=3,∠B=42°,點D在線段BC上運動(點D不與點B、C重合),連接AD,作∠ADE=42°,DE交線段AC于點E.(3)在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是以AE為腰的等腰三角形嗎?若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由.CC【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAD=25°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠B=42°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案；AB=DC=3,證明△ABD≌△DCE;(3)分DA=DE、AE=AD、EA=ED三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算.【解答】解：(1)∵AB=AC,故答案為：20;62;理由：∵AB=3,DC=3,在△ABD和△DCE中，(3)當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，此時，點D與點B重合，不合題意；綜上所述，當∠BDA的度數(shù)為112°或84°時，△ADE的形狀是等腰三角形.10.(2023春·甘州區(qū)校級期末)已知△ABC,點D、F分別為線段AC、AB上兩點，連接BD、CF交于點E.(3)在(2)的條件下，若∠BAC=60°,試說明：EF=ED.【分析】(1)根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DEC=∠BAC,由于∠DEC+∠BEC=180°,即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到,于是得到結(jié)論；(3)作∠BEC的平分線EM交BC于M,由∠BAC=60°,得到∠BEC=90°°,求得∠FEB=∠DEC=60°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BEM=60°,推出△FBE≌△EBM,根據(jù)全等三角【解答】解：(1)∵BD⊥AC,CF⊥AB,故答案為：180.(3)作∠BEC的平分線EM交BC于M,∴EF=EM,同理DE=E11.(2023春·佛山月考)已知，如圖1,在△ABC中，AD為△ABC的中線，E為AD上一個動點(不與點A,D重合).分別過點E和點C作AB與AD的平行線交于點F,連AF.(1)求證：AF=BE;(2)如圖2,延長BE交AC于點G,若BG⊥AC,理由.CC【分析】(1)過點D作DM//ABCC交FC于點M,連接AM,證明△ABD≌△MDC(ASA),推出AB=MD,再證明四邊形EDMF和四邊形ABEF是平行四邊形，可得結(jié)論；(2)過點D作DN//BG交AC于點N,根據(jù)平行線分線段的性質(zhì)得CN=GN,根據(jù)三角形中位線定理得,再根據(jù)直角三角形邊角的關系得∠DAN=30°,可得結(jié)論.【解答】(1)證明：如圖1中，CC∴四邊形EDMF是平行四邊形，【分析】(1)根據(jù)AB//CD可證明∠B=∠C,根據(jù)BF=CE可證明BE=CF,再依據(jù)AAS證明△ABE≌△DCF即可得到結(jié)論；(2)①證明CD=CF即可得出結(jié)論；②由平行線的性質(zhì)得出∠C=30°,再根據(jù)△CDF是等腰三角形求底角的度數(shù)即可解答.【解答】解：(1)∵AB//CD,(2)①△CDF是等腰三角形；理由：∵△ABE≌△DCF,∵△CDF是等腰三角形，13.(2023春·漳州期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,點D,E分別在邊AC,BC上，連接AE,BD交于(1)說明：∠EAC=∠ABD;(3)判斷EF,BF,AF之間的數(shù)量關系，并加以說明.(2)過點F作FG⊥BC于點G,求出∠ABE+∠AEB=90°,得出∠BAE=180°-90°=90°,證明FA(3)在BD上截取BH=AE,連接AH,證明△ABH≌△CAE(SAS),得出∠AHB=∠AEC,∠C=∠BAH,(2)解：過點F作FG⊥BC于點G,如圖所示：(3)解：2AF=BF-EF;理由如下：在BD上截取BH=AE,連接AH,如圖所示：在△ABH和△CAE中，根據(jù)解析(2)可知，∠BAE=90°,∴AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,14.(2023春·宣漢縣校級期末)已知：∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CM,BE⊥CM,垂足分別為D,E,(1)如圖1,把下面的解答過程補充完整，并在括號內(nèi)注明理由.②請寫出線段AD,BE,DE之間的數(shù)量關系并證明.(2)如圖2,上述結(jié)論②還成立嗎?如果不成立，請寫出線段AD,BE,DE之間的數(shù)量關系.并說明理【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)即可解決問題；(2)結(jié)論：DE-BE=AD,只要證明△ACD≌△CB【解答】解：(1)∵AD⊥CM,BE⊥CM,(2)不成立，結(jié)論：DE-BE=AD.在△ACD和△CBE中，15.(2022秋·鄒城市校級期末)(1)如圖①,在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分別是邊BC,CD上的點，且請直接寫出線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關系：(2)如圖②,在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分別是邊BC,CD上的點，且∠,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請寫出證明過程；(3)在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分別是邊BC,CD所在直線上的點，且∠請直接寫出線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關系：__·圖①圖②備用圖備用圖【分析】(1)如圖1,延長EB到G,使BG=DF,連接AG,即可證明△ABG≌△ADF,可得AF=AG,再證明△AEF≌△AEG,可得EF=EG,即可解題；(2)如圖2,同理可得：EF=BE+DF;(3)如圖3,作輔助線，構(gòu)建△ABG,同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF.可得新的結(jié)論：EF=BE-DF.【解答】解：(1)如圖1,延長EB到G,使BG=DF,連接AG.∵在△ABG與△ADF中，故答案為：(1)EF=BE+FD;(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE.16.(2023春·榮成市期末)已知在△ABC中，AC=BC,分別過A,B兩點作互相平行的直線AM,BN,過點C的直線分別交直線AM,BN于點D,E.(2)如圖2,∠ABC=∠DEB=60°,判斷線段AD,DC與BE之間的關系，并說明理由.【分析】(1)延長AC交BN于點F,證明△ADC≌△FEC(ASA),即可得出結(jié)論；(2)在EB上截取EH=EC,連接C(AAS),得出AD=CH,DC=BH,即可得出結(jié)論.【解答】(1)證明：如圖1,延長AC交BN于點F,圖1圖1在△ADC和△FEC中，∴△ABC為等邊三角形，∴△CHE是等邊三角形，即AD+DC=BE.(1)若點P在線段BC上以3厘米/秒的速度從點B向終點C運動，同時點Q在線段CA上從點C向終點A運動，若點Q的速度與點P的速度相等，經(jīng)1秒鐘后，請說明△BPD≌△CQP;(2)若點P以3厘米/秒的速度從點B向點C運動，同時點Q以5厘米/秒的速度從點C向點A運動，它們都依次沿△ABC三邊運動，則經(jīng)過多長時間，點Q第一次在△ABC的哪條邊上追上點P?【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C,再加上BP=CQ=3,PC=BD=5,則可判斷△BPD(2)設經(jīng)過x秒后，點Q第一次追上點P,由題意得5x-3x=2×10,解方程得到點P運動的路程為3×10=30,得到此時點P在BC邊上，于是得到結(jié)果.【解答】解：(1)∵BP=3×1=3,CQ=3×1=3,(2)設經(jīng)過x秒后，點Q第一次追上點P,由題意得5x-3x=2×10,∴點P運動的路程為3×10=30,∴此時點P在BC邊上，∴經(jīng)過10秒，點Q第一次在BC邊上追上點P.18.(2022秋·葫蘆島期末)在等腰△ABC中，AB=AC,D為AB上一點，E為CD的中點.CC圖1圖2(SAS),再證明：△ABF≌△GBC(AAS)即可.(2)證明：如圖2,延長BE至G,使EG=BE,連接CG,圖2即：∠ABF+∠CBF=∠ACB,在△ABF和△GBC中，19.(2022秋·萊州市期末)在△ABC中，AB=AC,D是邊BC上一點，點E在AD的右側(cè)，線段AE=AD,(1)如圖1,若α=60°,連接CE,DE.則∠ADE的度數(shù)為;BD與CE的數(shù)量關系是.(2)如圖2,若α=90°,連接EC、BE.試判斷△BCE的形狀，并說明理由.圖1【分析】(1)根據(jù)已知條件證明△ADE是等邊三角形，然后證明△ABD≌△ACE(SAS),即可解決問題；(1)當點D在線段BA上時，如圖所示，求證：DF=EF.(2)過點D作DH⊥BC交直線BC于點H.若BC=4,CF=1,求BH的長是多少?備用圖【分析】(1)過點D作DG//AC,交BC于點G,利用平行線的性質(zhì)和等邊對等角證明∠DGB=∠B,得到BD=GD,進而推出GD=CE,再證明△DGF≌△ECF,即可證明DF=EF;(2)分當點D在線段AB上時，過點E作EO⊥BC,交BC延長線于0,當點D在BA的延長線上時，過點E作EO⊥BC交BC的延長線于點O,先證明△DHB≌△EOC,得到BH=CO,進而求出HO=4,【解答】(1)證明：過點D作DG//AC,交BC于點G.EE∵DG//AC,在△DGF和△ECF中(2)解：如圖所示，當點D在線段AB上時，過點E作EO⊥BC,交BC延長線于0,綜上所述，BH的長為1或3.21.(2023春·東源縣期末)如圖，AE與BD相交于點C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,點P從點出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運動，點Q從點D出發(fā)，沿D→E方向以Lcm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為t(s).(2)寫出線段AP的長(用含t的式子表示).(3)連接PQ,當線段PQ經(jīng)過點C時，求t的值.-8)=(16-2t)cm,進而可以解決問題；(3)先證△ACP≌△ECQ(ASA),得AP=EQ,再分兩種情況列方程求解即可.【解答】(1)證明：在△ABC和△EDC中，(2)解：當0≤t≤4時，AP=2tcm,∴線段AP的長為2tcm或(16-2t)cm;(3)解：根據(jù)題意得DQ=tcm,由(1)得：∠A=∠E,ED=AB=8cm,當O≤t≤4時，2t=8-t,解得：當4<t≤8時，16-2t=8-t,22.(2023春·梅江區(qū)期末)如圖，在△ABC中，AB=AC=8,BC=12,點D從B出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段BC上從點B向點C運動，點E同時從C出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段CA上向點A運動，連接AD、DE,設D、E兩點運動時間為t秒(0<t<4)(2)運動多少秒時，△ABD≌△DCE能成立，并說明理由；(3)若△ABD≌△DCE,∠BAC=α,則∠ADE=(用含α的式子表示).【分析】(1)依據(jù)BD=CE=2t,可得CD=12-2t,AE=8-2t,再根據(jù)當,時，(12-2t),可得t的值；(2)當△ABD≌△DCE成立時，AB=CD=8,得到∠ADE=∠B,再根據(jù)∠BAC=α,AB=AC,即可得出∠ADE.【解答】解：(1)由題可得，BD=CE=2t,解得t=3,故答案為：3;解得t=2,∴運動2秒時，△ABD≌△DCE能成立；(3)當△ABD≌△DCE時，∠CDE=∠BAD,α23.(2022秋·通川區(qū)期末)已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB,0°<∠ACB≤90°.點M在邊AC上，點N在邊BC上(點M、點N不與所在線段端點重合),BN=AM,連接AN,BM,射線AG//BC,延長BM交射線AG于點D,點E在直線AN上，且AE=DE.(1)如圖，當∠ACB=90°時；(2)當∠ACB=α,其它條件不變時，∠BDE的度數(shù)是.(用含α的代數(shù)式表示)備用圖備用圖【分析】(1)①首先證明CM=CN,再利用SAS證明△BCM≌△ACN;②由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可知∠BDE=∠CAN+∠EAD,從而解決問題；(2)由②同理可解決問題.【解答】(1)①證明：∵CA=CB,BN=AM,∵AG//BC,(2)解：當點E在直線AG上方時，由②同理可得∠BDE=∠CAN+∠EAD,當點E在直線AG下方時，故答案為：180°-α或α.24.(2023春·菏澤月考)如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,E為CD的中點，交BC的延長線于點F.(1)△DAE和△CFE全等嗎?說明理由；(3)在(2)的條件下，若EF=6,CE=5,∠D=90°,求E到AB的距離.FF【分析】(1)根據(jù)AD//BC可知∠ADC=∠ECF,再根據(jù)E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE;(3)在(2)的條件下有△ABE≌△FBE,得到∠ABE=∠FBE,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)果.∵AD//BC(已知),∴∠ADC=∠ECF(兩直線平行，內(nèi)錯角相等),∵E是CD的中點(已知),∴DE=EC(中點的定義).(2)由(1)知△ADE≌△FCE,∴△ABE≌△FBE(SSS),(3)在(2)的條件下有△ABE≌△FBE,∴點E到AB的距離為5.25.(2023·寧陽縣一模)已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=45°,CH⊥AB于點H,點D為CH上的一點，且DH=AH,連結(jié)BD并延長BD交AC于點E,連結(jié)EH.(2)判斷BD與AC的數(shù)量關系和位置關系，并給出證明；(2)利用SAS證明△AHC≌△DHB,得BD=AC,∠1=∠2,從而說明BD與AC垂直且相等；(3)過點H作HF⊥HE交BE于點F,利用ASA證明△CHE≌△BHF,得EH=FH,即可證明結(jié)論.【解答】(1)證明：∵CH⊥AB,∠ABC=45°,(3)證明：過點H作HF⊥HE交BE于點F,即∠4+∠5=90°.又∵∠3+∠4=∠BHC=90°,∴△CHE≌△BHF(ASA),26.(2023春·榆林期末)如圖，小明和小華家中間隔了一個辦公樓，他們想要測量這個辦公樓的高OM,AF⊥OM于F,BE⊥OM于E.小明在自家陽臺A處測得辦公樓頂部O的視線與水平線的夾角∠OAF=α,小華在自家陽臺B處測得辦公樓頂部O的視線與水平線的夾角∠OBE=β.已知C,M,D三點共線，α【分析】根據(jù)余角的定義可得∠OAF+∠OBE=90°,再根據(jù)垂直定義可得∠AFO=∠OEB=90°,從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠OAF+∠AOF=90°,進而可得∠AOF=∠OBE,然后利用AAS證明△AFO≌△OEB,從而利用全等三角形的性質(zhì)可得OE=AF=8m,最后利用線段的和差關系進行計算，即可解答.【解答】解：∵a與β互余，∴辦公樓的高度OM為11m.27.(2023春·分宜縣期末)如圖，已知B(-1,0),C(1,0),A為y軸正半軸上一點，點D為第二象限(1)求證：DA平分∠CDE;(2)若在D點運動的過程中，始終有DC=DA+DB,