第01講全等三角形的概念與性質(zhì)全等形的概念全等形的概念全等形全等三角形的性質(zhì)全等三角形的概念知識點(diǎn)01全等形的概念1.全等形的概念： 形狀和大小完全一樣的兩個圖形叫做全等形。即能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。題型考點(diǎn)：①概念理解。②全等形判斷。【即學(xué)即練1】1.下列選項(xiàng)中表示兩個全等的圖形的是()A.形狀相同的兩個圖形B.周長相等的兩個圖形C.面積相等的兩個圖形D.能夠完全重合的兩個圖形【解答】解：A、形狀相同的兩個圖形，不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、周長相等的兩個圖形，不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、面積相等的兩個圖形，不一定是全等圖形，故此選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形，故此選項(xiàng)正確，符合題意；【即學(xué)即練2】2.下列各項(xiàng)中，兩個圖形屬于全等圖形的是()【解答】解：A、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；B、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；D、兩個圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；故選：C.知識點(diǎn)02全等三角形1.全等三角形的概念： 形狀和大小完全一樣的兩個三角形叫做全等三角形。即能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2.全等三角形的相關(guān)概念：B如圖，若△ABC能夠重合的點(diǎn)叫做全等三角形的對應(yīng)點(diǎn)o能夠重合的邊叫做全等三角形的對應(yīng)邊o能夠重合的角叫做全等三角形的對應(yīng)角o用符號“≌”連接，讀作全等于。表示△ABC≌△DEF。對應(yīng)點(diǎn)必須寫在對應(yīng)的位置。題型考點(diǎn)：①判斷全等三角形的對應(yīng)關(guān)系?！炯磳W(xué)即練1】3.如圖，已知△ABC≌△DEF,點(diǎn)A與點(diǎn)D,點(diǎn)B與點(diǎn)E,點(diǎn)C與點(diǎn)F是對應(yīng)頂點(diǎn).寫出這兩個三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.∴這兩個三角形的對應(yīng)邊是：BC和EF,AB和DE,AC和DF;【即學(xué)即練2】4.如圖所示，已知△ABE≌△ACD,指出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.【解答】解：∵△ABE≌△ACD,∴AB的對應(yīng)邊是AC,BE的對應(yīng)邊是CD,AE的對應(yīng)邊是AD,知識點(diǎn)03全等三角形的性質(zhì)1.全等三角形的性質(zhì)：由全等三角形的性質(zhì)及其相關(guān)概念可知：①全等三角形的對應(yīng)邊相等。對應(yīng)角也相等o②全等三角形對應(yīng)邊上的中線、高線、角平分線分別對應(yīng)相等_o③全等的兩個三角形它們的周長和面積分別對應(yīng)相等_□【即學(xué)即練1】5.如圖，已知△ABE≌△ACD,下列選項(xiàng)中不能被證明的等式是()A.AD=AEB.DB=AEC.DF=EFD.DB=EC【解答】解：在△BDF和△CEF中【即學(xué)即練2】故答案為：10.【即學(xué)即練3】7.如圖，△ABC≌△DEF,點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，AC、DF交于點(diǎn)M,∠ACB=30°,則∠AMF的度數(shù)是【解答】解：∵△ABC≌△DEF,故答案為：60.【即學(xué)即練4】8.已知△ABC的三邊長分別為3,4,5,△DEF的三邊長分別為3,3x-2,2x+1,若這兩個三角形全等，【解答】解：∵△ABC與△DEF全等，題型01利用全等三角形的性質(zhì)求線段【典例1】A.2.5B.3C.3.5【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AC=5,BC=DE=2,結(jié)合圖形計算即可.【典例2】A.1B.2C.5【分析】利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可求得答案.【解答】解：∵△ABC≌△DEF,BC=4,AC=2,CF=5,【典例3】A.6B.7【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CD=AB,AC=DE,根據(jù)AD=AC-CD,即可求解.故選：B.【典例4】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm,一條線段PQ=AB,P,Q兩點(diǎn)分別在線段AC和AC的垂線AX上移動，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形全等，則AP的【分析】分兩種情況，由全等三角形對應(yīng)邊相等，即可解決問題.【解答】解：當(dāng)△BCA≌△PAQ時，∴AP的值是6cm或12cm.題型02利用全等三角形的性質(zhì)求角度【典例1】A.77°B.62°C.57°【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠D=∠B=28°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EAD,進(jìn)而【典例2】如圖，圖中的兩個三角形全等，則∠α等于()A.71°B.59°C.49°【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可知∠α是a、b邊的夾角，然后寫出即可.【解答】解：∵三角形內(nèi)角和是180°,∴∠α等于59°,【典例3】已知△AEC≌△ADB,若∠A=50°,∠ABD=40°,則∠1的度數(shù)為()A.40°B.25°C.15°D.無法確定【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得AB=AC,由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ABC的度數(shù)，即可求解.【解答】解：∵△AEC≌△ADB,【典例4】如圖，已知△ABC≌△DEF,CD平分∠BCA,DF與BC交于點(diǎn)G.若∠A=26°,∠CGF=83°,則∠E的度數(shù)是()A.34°B.36°C.38°【分析】根據(jù)角平分線的定義得到根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠D=∠A=26°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)解答即可.【解答】解：∵CD平分∠BCA,題型03全等三角形的面積與周長【分析】利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題.【解答】解：∵△ABC≌△DEF,∴△ABC與△DEF的面積相等，周長相等，∵△ABC的周長為12cm,面積為6cm2,∴△DEF的周長為12cm,面積為6cm2,故答案為12,6.如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=6,DO=2,平移距離為4,則陰影部分面積為()A.20B.24【分析】根據(jù)平移性質(zhì)得到陰影部分面積等于梯形ABEO的面積，然后利用梯形面積公式求解即可.【解答】解：由平移性質(zhì)得△ABC≌△DEF,BE=4,DE=AB=6,AB//DE,【典例3】如圖，若△ABC≌△EBD,且BD=4,AB=8,則陰影部分的面積S△ACE=_【分析】根據(jù)“全等三角形的對應(yīng)邊相等”推知AB=EB=8,BC=BD=4,然后結(jié)合三角形的面積公式作答.故答案為：8.【典例4】如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D,E是BD上一點(diǎn)，若△BAD≌△CED,AB=10,AC=14,則△CED的周長為()【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出AB=EC,AD=ED,BD=DC,進(jìn)而得出答案.【解答】解：∵△BAD≌△CED,∴△CED的周長為：ED+DC+EC=AC+EC=10+14=24.故選：C.【典例5】A'A'【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C′,A′C′=7,B′C′=5,∴AC=A'C′=7,BC=B′C′=5,故答案為：15.【典例6】FF【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.【解答】解：∵△ABC≌△DEF,故答案為：12.題型04方格中的全等【典例1】如圖，在2×3的正方形方格中，每個正方形方格的邊長都為1,則∠1和∠2的關(guān)系是()【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.【解答】解：如圖，【典例2】如圖所示的2×2的小正方形方格中，連接AB、AC、AD.則下列結(jié)論錯誤的是()【分析】根據(jù)題意知，△ACT≌△ABE,△ACF≌△BAE,所以由全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推理論證即可.【解答】解：如圖，△ACT≌△ABE,△ACF≌△BAE,則∠4=∠2,∠1=∠5.A、∠1+∠2=∠1+∠4=90°>∠3,故符合題意.B、∠1+∠2=2∠3=90°,故不符合題意.C、∠1+∠2=∠1+∠4=90°>∠3,故不符合題意.D、∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠3=90°+45°=135°,故不符合題意.【典例3】如圖是由4個相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中∠1+∠2等于(A.180°B.150°C.90°【分析】根據(jù)SAS可證得△ABC≌△EDC,可得出∠BAC=∠DEC,繼而可得出答案.【解答】解：由題意得：AB=ED,BC=DC,∠D=∠B=90°,【典例4】如圖，是一個4×4的正方形網(wǎng)格，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于()A.585°B.540°C.270°【分析】根據(jù)正方形的軸對稱性得∠1+∠7=180°,∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°,∠4=45°.【解答】解：由圖可知，△ABO≌△CDO(SAS),同理得，∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°.又∠4=45°,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=585°.1.與如圖全等的圖形是()A.D、圖形與題干圖形形狀不一樣，故不符合題意.2.下列說法中，正確的有()【分析】根據(jù)全等形的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)判斷即可.【解答】解：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，即形狀和大小相同的兩個圖形是全等形，故①②說若△ABC≌△DEF,∠A的對應(yīng)角為∠D,所以∠A=∠D,AB的對應(yīng)邊為DE,所以AB=DE,故④說法說法正確的有③,共1個.3.如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為()A.90°B.105°C.120【分析】根據(jù)對稱性可得∠1+∠3=90°,∠2=45°.【解答】解：觀察圖形可知，∠1所在的三角形與∠3所在的三角形全等，又∠2=45°,4.如圖，△ABC≌△EFD,則下列說法錯誤的是()A.FC=BDB.EF平行且等于ABC.AC平行且等于DED.CD=ED【分析】利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理即可.即FC=BD,故此選項(xiàng)不合題意；∴EF//AB,故此選項(xiàng)不合題意；∴AC//DE,AC=DE,故此選項(xiàng)不合題意；D、不能證明CD=ED,故此選項(xiàng)符合題意；5.如圖，在△ABC中，在邊BC上取一點(diǎn)D,連接AD,在邊AD上取一點(diǎn)E,連接CE.若△ADB≌△CDE,A.αB.α-45°C.45°-αA.10°B.20°C.30°A.84°B.42°C.48°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=AD,∠BAC=∠DAE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABD=∠求出∠BAC=∠ADB即可.【解答】解：∵△ABC≌△ADE,故選：B.8.如圖，△ABC≌△ADE,D在BC上，連接CE,則以下結(jié)論：①AD平分∠BDE;②∠CDE=∠BAD;其中正確的個數(shù)有()【分析】由△ABC≌△ADE,推出AB=AD,AC=AE,∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE,再由等腰三角形的性質(zhì)，可以求解.由條件不能推出AD=DC,∴①②③正確.故選：C.【分析】設(shè)AC=b,BC=a且b>a,根據(jù)Rt△ABC≌Rt△EDC得EC=AC=b,DC=BC=a,則BE=EC+BC=b+a=7,由△ABC的面積為6得ab=12進(jìn)一步得到(b-a)2=1,即可得到答案.∵△ABC的面積為6,故答案為：1.10.如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=7,DP=3,平移距離為4,則陰影部分的面積為·【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)分別求出BE、DE,根據(jù)題意求出PE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、梯形的面積公式計算，得到答案.【解答】解：由平移的性質(zhì)知，BE=4,DE=AB=7,故答案為：22.11.如圖，點(diǎn)E是CD上的一點(diǎn)，Rt△ACD≌Rt△EBC,則下結(jié)論：成立的有個.【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=BE,CD=BC,∠ACD=∠CBE,∠D=∠BCE,根據(jù)以上結(jié)【解答】解：∴AD和BE不平行，∴②錯誤；故答案為：1.12.如圖，CA⊥AB于點(diǎn)A,AB=8,AC=4,射線BM⊥AB于點(diǎn)B,一動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2個單位/秒沿射線AB運(yùn)動，點(diǎn)D為射線BM上一動點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，且始終保持ED=CB,若點(diǎn)E經(jīng)過t秒(t>0),△DEB與△BCA全等，則t的值為秒.【分析】此題要分兩種情況：①當(dāng)E在線段AB上時，②當(dāng)E在BN