/江蘇省2026屆高三上學(xué)期模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）....2.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.若是的焦距的倍，則的離心率為（）....3.是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等差數(shù)列，則的公比的值為（）....4.已知角滿足，，則（）....5.若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的最小值為（）....6.“”是“圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的（）條件.充分不必要.必要不充分.充要.既不充分也不必要7.滿足，的有序?qū)崝?shù)組可以是（）....8.是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，都有，且當(dāng)時(shí)，.若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程至少有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）....二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題是假命題的是（）.命題“”的否定是“”.函數(shù)最小值為.函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù).若不等式的解集為，則不等式的解集為10.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）.的取值范圍為..若，則或.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線上11.已知棱長(zhǎng)為1的正方體的所有頂點(diǎn)都在以為球心的球面上，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng).則下列說(shuō)法正確的有（）.若是棱的中點(diǎn)，則平面.點(diǎn)到直線的距離的最小值為.棱上存在點(diǎn)，使得.若是棱的三等分點(diǎn)，則過(guò)的平面截球所得的截面面積最小為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的第三項(xiàng)為.13.已知角的正切，則.14.2025年五四青年節(jié)，某高中學(xué)校為了表彰工作認(rèn)真負(fù)責(zé)，業(yè)務(wù)能力強(qiáng)的優(yōu)秀團(tuán)干部，學(xué)校給高中三個(gè)年級(jí)共分配9個(gè)優(yōu)秀團(tuán)員干部名額，每個(gè)年級(jí)至少一個(gè)名額.從所有可能的分配方案中隨機(jī)選擇一種，用表示這三個(gè)年級(jí)中分配的最少名額數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（15分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且，漸近線方程為.（1）求的方程；（2）設(shè)軸上方的點(diǎn)分別在的左支與右支上，若，求四邊形的面積.17.（15分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.（1）求證：平面平面；（2）若為棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；（3）若二面角大小為60°，求的長(zhǎng).18.（17分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若，且，求證.19.（17分）某實(shí)驗(yàn)室對(duì)某二進(jìn)制數(shù)碼串傳輸進(jìn)行測(cè)試，初始二進(jìn)制數(shù)碼串是長(zhǎng)度為的且全部由0組成的數(shù)碼串.傳輸過(guò)程中，每位數(shù)碼以概率傳輸記為0，以概率傳輸記為1，其中，每位數(shù)碼的傳輸相互獨(dú)立，并設(shè)事件為“傳輸結(jié)果各位數(shù)字之和為偶數(shù)”的事件.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，有；（3）在傳輸結(jié)果中任取一位數(shù)碼，記“取到1”的事件為，問(wèn)：是否存在最大值？若存在，求出使取到最大值的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案解析一、選擇題1.C解析：由，則，∴.2.B解析：設(shè)橢圓的半焦距為，而，，又，則，整理得，因此，∴橢圓的離心率為.3.D解析：由成等差數(shù)列，得，即，整理得，∴，即.4.A解析：∵，∴，即，又，兩式聯(lián)立可得：，∴5.D解析：由，都有，轉(zhuǎn)化為：，構(gòu)造在上單調(diào)遞減，求導(dǎo)在上恒成立，則，解得，故，即的最小值為.6.B解析：如圖所示：設(shè)與平行且與的直線方程為，則，解得或，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，由圖可知，圓與直線相交，與直線相離，∴，即，故“”是“圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1”的必要不充分條件.7.D解析：記，則，，，∵，∴，∴，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.8.C解析：由，可得.又∵是定義在上的偶函數(shù)，則，且函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱.∴，即的周期為4.作出函數(shù)在上的圖象，根據(jù)對(duì)稱性及周期為4，可得出在上的圖象.令，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程至少有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，至多有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)在上至少有2個(gè)不同的交點(diǎn)，至多有3個(gè)不同的交點(diǎn).∴，即，解得.二、選擇題9.ACD解析：對(duì)于A，原命題的否定是“”故A為假命題；對(duì)于B，令，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，故B為真命題；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不是一個(gè)函數(shù)，故C為假命題；對(duì)于D，由題意，方程的解為，，且，由韋達(dá)定理可得，，解得，，則不等式，即，由，則不等式變?yōu)?，解得，故D為假命題.10.ABD解析：由題意得，準(zhǔn)線方程為，則點(diǎn)，設(shè)直線，對(duì)于A，由，得，依題意，解得且，∴的取值范圍為，A正確；對(duì)于B，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，，，因此，即，B正確；對(duì)于C，由，得，設(shè)，，則，而，，聯(lián)立解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線的斜率，直線的斜率，則，令點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的斜率，而直線與直線有公共點(diǎn)，因此點(diǎn)在直線上，D正確.11.ACD解析：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，∴，且，對(duì)于A，若是棱的中點(diǎn)，∴，且，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面，A正確；對(duì)于B，根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，以直線所在方向分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，則，，∴點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，∴，，則，當(dāng)時(shí)，，即，∴棱上存在點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)是棱的三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)或，球心，∴，又正方體外接球半徑，∴截面所得圓的最小半徑，其面積為，故D正確.三、填空題12.解析：根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式得.13.解析：.14.解析：若三個(gè)年級(jí)人數(shù)分別為，則，又每個(gè)年級(jí)至少一個(gè)名額，∴相當(dāng)于9個(gè)球分成3份，且每份至少有一個(gè)球，即用2個(gè)隔板插入8個(gè)空，由種，由題意，則，且各年級(jí)人數(shù)為，其中的情況有一種情況，即，的情況有九種情況，即，∴，綜上，.四、解答題15.解：（1）∵，，∴，即，兩邊同時(shí)除以可得，，∴，∵，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，∴.∴，，∴∴.16.解：（1）雙曲線的漸近線方程為，依題意，，半焦距，而，解得，，∴雙曲線的方程為.（2）設(shè)，而，由，得，依題意，，解得，即，，，，等腰底邊上的高，又四邊形為梯形，則，∴四邊形的面積為.17.解：（1）證明：∵，，為的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，即，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵，為的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，且平面平面，∴面，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，∵為棱的中點(diǎn)，∴，∴，，設(shè)異面直線與所成角為，則，∴異面直線與所成角的余弦值為.（3）由（2）知平面的法向量為，由，且，得，又，設(shè)平面法向量為，則，可取，∵二面角大小為60°，∴，∴，∴.18.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，∵，，∴在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），令，則，①當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，單調(diào)遞減，不符合；②若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，單調(diào)遞增，不符合；③若，則在有兩個(gè)解，不妨設(shè)（），列表如下：當(dāng)時(shí)，，則在上沒有零點(diǎn).要使在上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，則在上有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，則需要，即，解得，又∵，∴.當(dāng)時(shí)，，，又零點(diǎn)存在定理知，存在唯一零點(diǎn)，使得，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，∴為的極小值點(diǎn).綜上所述，的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，，∴，由，可得，即，又，兩邊同時(shí)除以，得，因此，∴，記，則，因此，令，則，∴在上為減函數(shù)，故，即時(shí)，.∵，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，則，即.19.解：（1）.（2）傳輸結(jié)果各位數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為，傳輸