§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=.

若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)的向量，叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a+b=，ab=，λa=，|a|=.

(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=，|AB|=.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底.()(2)設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b，則λ1=λ2，μ1=μ2.()(3)設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b與x1x2=y1y(4)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a=b?x1=x2且y1=y2.()2.設(shè)平面向量a=(1，0)，b=(0，2)，則2a3b等于()A.(6，3) B.(2，6)C.(2，1) D.(7，2)3.在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若AE=λAB+μAC(λ，μ∈R)，則λ+μ的值為()A.12B.B12 C.1D.4.已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

1.熟記以下常用結(jié)論(1)如果對(duì)于一個(gè)基底{e1，e2}，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，那么可以得到λ1=μ1，λ2=μ2，即基底給定，同一向量的分解形式唯一.特別地，若λ1e1+λ2e(2)已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則G點(diǎn)坐標(biāo)為x12.謹(jǐn)防三個(gè)易誤點(diǎn)(1)基底{e1，e2}必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚圆荒茏鳛榛字械南蛄?(2)a∥b的充要條件不能表示為x1x2=y1y2，因?yàn)閤2(3)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)(2025·鹽城模擬)若{a，b}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是()A.ab，ba B.2a+b，a+12C.2b3a，6a4b D.a+b，ab(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G.若CG=λCD+μCB(λ，μ∈R)，則λμ=思維升華(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA.記CA=m，CD=n，則CB等于()A.3m2n B.2m+3nC.3m+2n D.2m+3n(2)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，AB=2BD，CB=mCA+nCD，m，n∈R，則()A.m=23，n=12 B.m=13，C.m=23，n=13 D.m=13，題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)在平行四邊形ABCD中，AD=(3，7)，AB=(2，3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則CO的坐標(biāo)為()A.-12，5 C.-12，-5 (2)如圖，在7×5正方形網(wǎng)格中，向量a，b滿足a⊥b，則ABAD+BC等于()A.2a+32b B.2a3C.3a+12b D.3a1

思維升華(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解.(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知點(diǎn)A(0，1)，B(2，3)，向量BC=(3，1)，則向量AC等于()A.(1，2) B.(1，2)C.(1，3) D.(1，3)(2)(2025·成都模擬)在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn).若AC=λAM+μBD(λ，μ∈R)，則λ+μ的值為()A.43 B.53 C.題型三向量共線的坐標(biāo)表示例3(1)(2024·臨沂模擬)已知向量a=(3，m)，b=-1，13，若a∥b，則m等于A.1B.B1 C.9D.D9(2)已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2=x2y1.(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R).跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·景德鎮(zhèn)模擬)已知向量a=(2，3)，b=(2，sinα3)，c=(2，cosα)，若(a+b)∥c，則tanα的值為()A.2 B.2C.12 D.(2)已知向量a=(1，4)，b=(2，3)，若c∥(ab)，且|c|=1，則c的坐標(biāo)為.

定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式定比分點(diǎn)是中點(diǎn)、三等分點(diǎn)的延伸拓展，在解決平面向量和解析幾何題目中都有應(yīng)用.如圖，線段P1P2的端點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點(diǎn)P是直線P1P2上異于P1，P2的點(diǎn)，當(dāng)P1P＝λPP2(λ≠0且λ≠－1)時(shí)，OP＝11＋λOP1＋λ1＋λOP2，點(diǎn)P的坐標(biāo)是x1＋λx21＋典例(1)若過兩點(diǎn)P1(－1，2)，P2(5，6)的直線與x軸相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比λ的值為A.－13 B.－15 C.15(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且PN＝－2PM，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(－14，16) B.(22，－11)C.(6，1) D.(2，4)答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.不共線λ1e1+λ2e22.互相垂直3.(1)(x1+x2，y1+y2)(x1x2，y1y2)(λx1，λy1)x(2)①終點(diǎn)②(x2x1，y2y1)(4.x1y2x2y1=0自主診斷1.(1)×(2)√(3)√(4)√2.B3.A4.(1，5)探究核心題型例1(1)D[A選項(xiàng)，ba=(ab)，所以ab，ba共線，不能作為基底.B選項(xiàng)，2a+b=2a+12b，所以2a+b，a+C選項(xiàng)，6a4b=2(2b3a)，所以2b3a，6a4b共線，不能作為基底.D選項(xiàng)，易知a+b，ab不共線，可以作為基底.](2)1解析由題圖可設(shè)CG=xCE(0<x<1)，則CG=x(CB+BE)=xCB+12CD=x因?yàn)镃G=λCD+μCB，CD與所以λ=x2，μ=x，所以λμ=跟蹤訓(xùn)練1(1)B[因?yàn)锽D=2DA，所以AB=3AD，所以CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CDCA)=2CA+3CD=2m+3n.](2)B[因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，AB=2BD，所以AB=2BD，即CBCA=2(CDCB)，所以CB=13CA+23CD.又CB=mCA+nCD，由平面向量基本定理可得m=13，例2(1)C[因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，AD=(3，7)，AB=(2，3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以CO=AO=12(AD+AB)=(2)C[以圖中向量a，b的始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，a所在直線為x軸，b所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則a=(1，0)，b=(0，2)，C(2，5)，D(5，4).ABAD+BC=DB+BC=DC=(3，1).令DC=xa+yb，得到(3，1)=x(1，0)+y(0，2)=(x，2y)，解得x=3，y=12所以ABAD+BC=3a+12b.跟蹤訓(xùn)練2(1)D[因?yàn)锳(0，1)，B(2，3)，所以AB=(2，2)，所以AC=AB+BC=(2，2)+(3，1)=(1，3).](2)B[在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令A(yù)B=2，則B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC=(2，2)，AM=(2，1)，BD=(2，2)，λAM+μBD=(2λ2μ，λ+2μ)，因?yàn)锳C=λAM+μBD，所以2解得λ=43，μ=13，λ+μ=所以λ+μ的值為53.例3(1)B[因?yàn)橄蛄縜=(3，m)，b=-1，若a∥b，則3×13=m，即m=1.(2)(3，3)解析方法一OA=(4，0)，OB=(4，4)，OC=(2，6)，由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)OP=λOB=(4λ，4λ)，λ∈R，則AP=OPOA=(4λ4，4λ).又AC=OCOA=(2，6)，由AP與AC共線，得(4λ4)×64λ×(2)=0，解得λ=34所以O(shè)P=34OB=(3，3所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).方法二設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則OP=(x，y)，因?yàn)镺B=(4，4)，且OP與OB共線，所以x4=y4，即x=y.又AP=(x4，y)，AC=(2，6)，且AP與AC共線，所以(x4)×6y×(2)=0，解得x=y=3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3跟蹤訓(xùn)練3(1)A[因?yàn)閍=(2，3)，b=(2，sinα3)，所以a+b=(4，sinα)，又c=(2，cosα)且(a+b)