2025年成人高考專升本高數(shù)練習(xí)題(附答案)一、選擇題（每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)的定義域是（）A.\((-2,2)\)B.\([-2,2]\)C.\((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)D.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)答案：A解析：要使函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\)有意義，則根號下的數(shù)大于\(0\)，即\(4-x^2>0\)，也就是\(x^2-4<0\)，因式分解得\((x+2)(x-2)<0\)，解得\(-2<x<2\)，所以定義域為\((-2,2)\)。2.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(3\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：C解析：根據(jù)重要極限\(\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，對\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)進行變形，\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\times\frac{3}{3}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\)，令\(u=3x\)，當\(x\to0\)時，\(u\to0\)，則\(3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=3\times1=3\)。3.設(shè)函數(shù)\(y=x^3+2x^2-3x+1\)，則\(y'\)為（）A.\(3x^2+4x-3\)B.\(3x^2+2x-3\)C.\(x^2+4x-3\)D.\(x^2+2x-3\)答案：A解析：根據(jù)求導(dǎo)公式\((X^n)^\prime=nX^{n-1}\)，對\(y=x^3+2x^2-3x+1\)求導(dǎo)，\(y^\prime=(x^3)^\prime+(2x^2)^\prime-(3x)^\prime+(1)^\prime\)。因為\((x^3)^\prime=3x^2\)，\((2x^2)^\prime=2\times2x=4x\)，\((3x)^\prime=3\)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為\(0\)，即\((1)^\prime=0\)，所以\(y^\prime=3x^2+4x-3\)。4.曲線\(y=e^x\)在點\((0,1)\)處的切線方程為（）A.\(y=x+1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x+1\)D.\(y=-2x+1\)答案：A解析：首先求\(y=e^x\)的導(dǎo)數(shù)，\(y^\prime=(e^x)^\prime=e^x\)。曲線在某點處的切線斜率等于該點處的導(dǎo)數(shù)值，將\(x=0\)代入\(y^\prime=e^x\)，得到切線斜率\(k=e^0=1\)。已知切線過點\((0,1)\)，斜率為\(1\)，根據(jù)直線的點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點，\(k\)為直線斜率），可得切線方程為\(y-1=1\times(x-0)\)，即\(y=x+1\)。5.設(shè)\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\intf(2x)dx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}F(2x)+C\)B.\(2F(2x)+C\)C.\(F(2x)+C\)D.\(\frac{1}{2}F(x)+C\)答案：A解析：令\(u=2x\)，則\(du=2dx\)，\(dx=\frac{1}{2}du\)。那么\(\intf(2x)dx=\frac{1}{2}\intf(u)du\)，因為\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，所以\(\frac{1}{2}\intf(u)du=\frac{1}{2}F(u)+C\)，再把\(u=2x\)代回，得到\(\intf(2x)dx=\frac{1}{2}F(2x)+C\)。6.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(3\)答案：A解析：根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)（其中\(zhòng)(F^\prime(x)=f(x)\)），對于\(\int_{0}^{1}x^2dx\)，因為\((\frac{1}{3}x^3)^\prime=x^2\)，所以\(\int_{0}^{1}x^2dx=\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3=\frac{1}{3}\)。7.設(shè)\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(x^2y\)答案：A解析：求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)時，把\(y\)看作常數(shù)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((X^n)^\prime=nX^{n-1}\)，對\(z=x^2y\)關(guān)于\(x\)求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=(x^2y)^\prime_y=y\times(x^2)^\prime=2xy\)。8.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：A解析：根據(jù)向量的數(shù)量積公式，若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)。已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(2,-1)\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-1)=2-2=0\)。9.微分方程\(y^\prime+2y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^{-2x}\)B.\(y=Ce^{2x}\)C.\(y=Cxe^{-2x}\)D.\(y=Cxe^{2x}\)答案：A解析：這是一階線性齊次微分方程\(y^\prime+P(x)y=0\)的形式，其中\(zhòng)(P(x)=2\)。它的通解公式為\(y=Ce^{-\intP(x)dx}\)。對\(P(x)=2\)求積分\(\intP(x)dx=\int2dx=2x\)，則通解\(y=Ce^{-\int2dx}=Ce^{-2x}\)。10.冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)的收斂半徑\(R\)為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(+\infty\)D.無法確定答案：C解析：對于冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，其收斂半徑\(R\)的計算公式為\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)（當極限存在時）。在冪級數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\)中，\(a_n=\frac{1}{n!}\)，\(a_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}\)，則\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)!}{n!}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}(n+1)=+\infty\)。二、填空題（每小題4分，共24分）11.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,x<0\\e^x,x\geq0\end{cases}\)，則\(f(-1)=\)______。答案：\(0\)解析：因為\(-1<0\)，所以將\(x=-1\)代入\(f(x)=x+1\)，可得\(f(-1)=-1+1=0\)。12.若\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-ax+6}{x-2}=b\)（\(b\)為常數(shù)），則\(a=\)______。答案：\(5\)解析：因為\(\lim\limits_{x\to2}(x-2)=0\)，且\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-ax+6}{x-2}=b\)存在，所以當\(x\to2\)時，分子\(x^2-ax+6\)的值為\(0\)，即\(2^2-2a+6=0\)，\(4-2a+6=0\)，\(10-2a=0\)，解得\(a=5\)。13.函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)的二階導(dǎo)數(shù)\(y''=\)______。答案：\(\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\)解析：先求一階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則\((\lnu)^\prime=\frac{1}{u}\cdotu^\prime\)，令\(u=1+x^2\)，則\(y^\prime=\frac{1}{1+x^2}\cdot(1+x^2)^\prime=\frac{2x}{1+x^2}\)。再求二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)除法求導(dǎo)公式\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)，這里\(u=2x\)，\(v=1+x^2\)，\(u^\prime=2\)，\(v^\prime=2x\)，則\(y''=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\)。14.\(\int_{-1}^{1}(x^3+\sinx)dx=\)______。答案：\(0\)解析：設(shè)\(f(x)=x^3+\sinx\)，\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-(x^3+\sinx)=-f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函數(shù)。根據(jù)定積分的性質(zhì)，若\(f(x)\)是奇函數(shù)，且在關(guān)于原點對稱的區(qū)間\([-a,a]\)上可積，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)，所以\(\int_{-1}^{1}(x^3+\sinx)dx=0\)。15.設(shè)\(z=e^{xy}\)，則\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=\)______。答案：\(e^{xy}(1+xy)\)解析：先求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，把\(y\)看作常數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=(e^{xy})^\prime_x=ye^{xy}\)。再求\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)，即對\(\frac{\partialz}{\partialx}=ye^{xy}\)關(guān)于\(y\)求偏導(dǎo)數(shù)，根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，這里\(u=y\)，\(v=e^{xy}\)，\(u^\prime=1\)，\(v^\prime=xe^{xy}\)，則\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=e^{xy}+y\cdotxe^{xy}=e^{xy}(1+xy)\)。16.已知平面\(\pi\)過點\((1,-1,2)\)且與向量\(\vec{n}=(2,-1,3)\)垂直，則平面\(\pi\)的方程為______。答案：\(2(x-1)-(y+1)+3(z-2)=0\)（或\(2x-y+3z-9=0\)）解析：若平面過點\((x_0,y_0,z_0)\)，其法向量為\(\vec{n}=(A,B,C)\)，則平面方程為\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)。已知平面\(\pi\)過點\((1,-1,2)\)，法向量\(\vec{n}=(2,-1,3)\)，所以平面\(\pi\)的方程為\(2(x-1)-(y+1)+3(z-2)=0\)，展開得\(2x-2-y-1+3z-6=0\)，即\(2x-y+3z-9=0\)。三、解答題（共86分。解答應(yīng)寫出推理、演算步驟）17.（本題滿分10分）求極限\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}\)。解：本題可先對分子分母進行因式分解，然后約去公因式，再求極限。-步驟一：對分子分母因式分解根據(jù)立方差公式\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)，可得\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\)。根據(jù)平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，可得\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)。則原式可化為\(\lim\limits_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x+1)(x-1)}\)。-步驟二：約去公因式并求極限約去分子分母的公因式\(x-1\)，得到\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2+x+1}{x+1}\)。將\(x=1\)代入\(\frac{x^2+x+1}{x+1}\)，可得\(\frac{1^2+1+1}{1+1}=\frac{3}{2}\)。所以，\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{3}{2}\)。18.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)\(y=x\lnx\)，求\(y^\prime\)及\(y^{\prime\prime}\)。解：本題可根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則求一階導(dǎo)數(shù)，再對一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)得到二階導(dǎo)數(shù)。-步驟一：求一階導(dǎo)數(shù)\(y^\prime\)根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，對于\(y=x\lnx\)，令\(u=x\)，\(v=\lnx\)。\(u^\prime=(x)^\prime=1\)，\(v^\prime=(\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)。則\(y^\prime=(x\lnx)^\prime=(x)^\prime\lnx+x(\lnx)^\prime=1\times\lnx+x\times\frac{1}{x}=\lnx+1\)。-步驟二：求二階導(dǎo)數(shù)\(y^{\prime\prime}\)對\(y^\prime=\lnx+1\)求導(dǎo)，\(y^{\prime\prime}=(\lnx+1)^\prime=(\lnx)^\prime+(1)^\prime\)。因為\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為\(0\)，即\((1)^\prime=0\)，所以\(y^{\prime\prime}=\frac{1}{x}\)。綜上，\(y^\prime=\lnx+1\)，\(y^{\prime\prime}=\frac{1}{x}\)。19.（本題滿分10分）計算不定積分\(\intx\cosxdx\)。解：本題可使用分部積分法來計算不定積分。分部積分公式為\(\intudv=uv-\intvdu\)。-步驟一：選擇\(u\)和\(dv\)令\(u=x\)，\(dv=\cosxdx\)。-步驟二：求\(du\)和\(v\)對\(u=x\)求導(dǎo)，\(du=(x)^\primedx=dx\)。對\(dv=\cosxdx\)積分，\(v=\int\cosxdx=\sinx\)。-步驟三：根據(jù)分部積分公式計算積分根據(jù)\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx\)。又因為\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)，所以\(\intx\cosxdx=x\sinx-(-\cosx)+C=x\sinx+\cosx+C\)（\(C\)為任意常數(shù)）。20.（本題滿分10分）求由曲線\(y=x^2\)與\(y=2-x^2\)所圍成的平面圖形的面積。解：本題可先求出兩曲線的交點，確定積分區(qū)間，再根據(jù)定積分的幾何意義計算所圍成圖形的面積。-步驟一：求兩曲線的交點聯(lián)立兩曲線方程\(\begin{cases}y=x^2\\y=2-x^2\end{cases}\)，可得\(x^2=2-x^2\)，移項得\(2x^2=2\)，即\(x^2=1\)，解得\(x=\pm1\)。所以兩曲線的交點為\((-1,1)\)和\((1,1)\)。-步驟二：確定被積函數(shù)和積分區(qū)間在區(qū)間\([-1,1]\)上，\(2-x^2\geqx^2\)，根據(jù)定積分的幾何意義，所求圖形的面積\(S=\int_{-1}^{1}[(2-x^2)-x^2]dx=\int_{-1}^{1}(2-2x^2)dx\)。-步驟三：計算定積分根據(jù)定積分的運算法則\(\int_{-1}^{1}(2-2x^2)dx=\int_{-1}^{1}2dx-2\int_{-1}^{1}x^2dx\)。因為\(\int_{-1}^{1}2dx=2x\big|_{-1}^{1}=2\times(1-(-1))=4\)，\(2\int_{-1}^{1}x^2dx=2\times\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{1}=2\times\left(\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times(-1)^3\right)=\frac{4}{3}\)。所以\(S=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}\)。綜上，所圍成的平面圖形的面積為\(\frac{8}{3}\)。21.（本題滿分10分）設(shè)\(z=f(x^2-y^2,e^{xy})\)，其中\(zhòng)(f\)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。解：本題可根據(jù)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的鏈式法則來求解。設(shè)\(u=x^2-y^2\)，\(v=e^{xy}\)，則\(z=f(u,v)\)。-步驟一：求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)根據(jù)鏈式法則\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{\partialz}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialz}{\partialv}\cdot\frac{\partialv}{\partialx}\)。對\(u=x^2-y^2\)關(guān)于\(x\)求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialu}{\partialx}=2x\)。對\(v=e^{xy}\)關(guān)于\(x\)求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialv}{\partialx}=ye^{xy}\)。所以\(\frac{\partialz}{\partialx}=f_1^\prime\cdot2x+f_2^\prime\cdotye^{xy}\)（其中\(zhòng)(f_1^\prime\)表示\(f\)對第一個中間變量\(u\)的偏導(dǎo)數(shù)，\(f_2^\prime\)表示\(f\)對第二個中間變量\(v\)的偏導(dǎo)數(shù)）。-步驟二：求\(\frac{\partialz}{\partialy}\)根據(jù)鏈式法則\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{\partialz}{\partialu}\cdot\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialz}{\partialv}\cdot\frac{\partialv}{\partialy}\)。對\(u=x^2-y^2\)關(guān)于\(y\)求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=-2y\)。對\(v=e^{xy}\)關(guān)于\(y\)求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialv}{\partialy}=xe^{xy}\)。所以\(\frac{\partialz}{\partialy}=f_1^\prime\cdot(-2y)+f_2^\prime\cdotxe^{xy}\)。綜上，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xf_1^\prime+ye^{xy}f_2^\prime\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=-2yf_1^\prime+xe^{xy}f_2^\prime\)。22.（本題滿分12分）求微分方程\(y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0\)的通解。解：本題可先寫出該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程，求出特征根，再根據(jù)特征根的情況寫出通解。-步驟一：寫出特征方程對于二階常系數(shù)線性齊次微分方程\(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\)（其中\(zhòng)(p\)，\(q\)為常數(shù)），其特征方程為\(r^2+pr+q=0\)。對于方程\(y^{\prime\prime}-3y^\prime+2y=0\)，其中\(zhòng)(p=-3\)，\(q=2\)，則特征方程為\(r^2-3r+2=0\)。-步驟二：求解特征方程對\(r^2-3r+2=0\)進行因式分解，得\((r-1)(r-2)=0\)，解得\(r_1=1\)，\(r_2=2\)。-步驟三：根據(jù)特征根寫出通解因為特征方程有兩個不相等的實根\(r_1\)和\(r_2\)，所以該二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)（\(C_1\)，\(C_2\)為任意常數(shù)）。將\(r_1=1\)，\(r_2=2\)代入，得到通解\(y=C_1e^x+C_2e^{2x}\)（\(C_1\)，\(C_2\)為任意常數(shù)）。23.（本題滿分12分）已知向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(2,1,-1)\)，求：（1）\(\vec{a}\cdot\vec\)；（2）\(\vec{a}\times\vec\)；（3）向量\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角\(\theta\)（精確到\(0.1^{\circ}\)）。解：本題可根據(jù)向量的數(shù)量積、向量積的定義及夾角公式來求解。-（1）求\(\vec{a}\cdot\vec\)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算公式，若\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)。已知\(\vec{a}=(1,-2,3)\)，\(\vec=(2,1,-1)\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec=1\times2+(-2)\times1+3\times(-1)=2-2-3=-3\)。-（2）求\(\vec{a}\times\vec\)根據(jù)向量積的坐標運算公式，若\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，則\(\vec{a}\times\vec=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}\)（其中\(zhòng)(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)，\(\vec{k}\)分別為\(x\)，\(y\)，\(z\)軸正方向的單位向量）。\(\vec{a}\times\vec=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-2&3\\2&1&-1\end{vmatrix}=\vec{i}\begin{vmatrix}-2&3\\1&-1\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix}1&-2\\2&1\end{vmatrix}\)\(=\vec{i}((-2)\times(-1)-3\times1)-\vec{j}(