8.2二項(xiàng)式定理（精講）一．二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理：（a＋b）n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn①項(xiàng)數(shù)為n＋1②各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n③字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，

從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.2.通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Cnkan－kbk=g（r）·xh（r）它表示第k＋①h（r）＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)；②h（r）是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)；③h（r）是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)；④h（r）是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng).3.二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為Cn0，Cn1，二.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)一．形如(a＋b)n(n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量(常數(shù)項(xiàng)、參數(shù)值、特定項(xiàng)等)的步驟①寫出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tk＋1＝Cnkan－kbk，常把字母和系數(shù)分離開(kāi)來(lái)(注意符號(hào)不要出錯(cuò)②根據(jù)題目中的相關(guān)條件列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出r；③把k代入通項(xiàng)公式中，即可求出Tk＋1，有時(shí)還需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．二．求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式中與特定項(xiàng)相關(guān)的量的步驟①根據(jù)二項(xiàng)式定理把(a＋b)m與(c＋d)n分別展開(kāi)，并寫出其通項(xiàng)公式；②根據(jù)特定項(xiàng)的次數(shù)，分析特定項(xiàng)可由(a＋b)m與(c＋d)n的展開(kāi)式中的哪些項(xiàng)相乘得到；③把相乘后的項(xiàng)合并即可得到所求特定項(xiàng)或相關(guān)量．三.求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)1.如果n是偶數(shù)，那么中間一項(xiàng)第n2，如果n是奇數(shù)，那么中間兩項(xiàng)第n+1四.求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)求（a＋bx）n（a，b∈R）的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用Ak≥A求三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）的方法方法一：通過(guò)變形把三項(xiàng)式化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解方法二：兩次利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求解方法三：利用排列組合的基本原理去求，把三項(xiàng)式看作幾個(gè)因式之積，得到特定項(xiàng)有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量六．二項(xiàng)式定理應(yīng)用1．用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，只考慮后面一、二項(xiàng)(或者是某些項(xiàng))就可以了．2．利用二項(xiàng)式定理近似運(yùn)算時(shí)，首先將冪的底數(shù)寫成兩項(xiàng)和或差的形式，然后確定展開(kāi)式中的保留項(xiàng)，使其滿足近似計(jì)算的精確度．考點(diǎn)一二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式【例1】（2023廣西柳州）化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A．128 B．129 C．47 D．02．（2023·重慶九龍坡）A． B． C． D．考點(diǎn)二二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)【例2-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．28 B．56 C．70 D．112【例2-2】（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．40 B．-40 C．20 D．-20【例2-3】（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．270 B．240 C．210 D．180【例2-4】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）展開(kāi)式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【一隅三反】1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（

）A．5 B． C．10 D．2．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A．－112 B．－48 C．48 D．1123．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）在的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B．7 C． D．考點(diǎn)三三項(xiàng)式指定項(xiàng)系數(shù)【例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）A．-252 B．-220 C．220 D．252【一隅三反】1．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．302．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．3．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.（答案用數(shù)字作答）4．（2023秋·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則．考點(diǎn)四二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)【例4】（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．160 B．240 C． D．【一隅三反】1．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且常數(shù)項(xiàng)是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024C．D．各項(xiàng)的系數(shù)之和為10242．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知的展開(kāi)式中第四項(xiàng)和第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中x的系數(shù)為3．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比該項(xiàng)的系數(shù)大18，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．考法五系數(shù)最大項(xiàng)和系數(shù)和【例5-1】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測(cè)）的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.【例5-2】．（2023·遼寧朝陽(yáng)·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)（，）的定義域?yàn)?，則（

）A． B．C． D．被8整除余數(shù)為1【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（

）A．70 B．56 C．或 D．2．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第（

）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)3．（2023春·山東青島）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．的最大值為4．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）若，，則（

）A．B．C．D．考法六二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例6-1】（2023春·課時(shí)練習(xí)）設(shè)為奇數(shù)，那么除以13的余數(shù)是（

）A． B．2 C．10 D．11【例6-2】（2023北京）今天是星期二，經(jīng)過(guò)7天后還是星期二，那么經(jīng)過(guò)天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【例6-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值