/2024-2025學(xué)年河南省周口市太康縣高一上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則等于（

）A． B．C． D．2．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，則角是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒ta的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．5．已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知的值域?yàn)镽，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．二、選擇題；本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．下列函數(shù)中，定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是（

）A． B．C． D．10．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則11．已知是第一象限角，且，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．12．設(shè)函數(shù)，對(duì)關(guān)于的方程，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根B．當(dāng)時(shí)，方程有5個(gè)不等實(shí)根C．若方程有2個(gè)不等實(shí)根，則D．若方程有6個(gè)不等實(shí)根，則三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知，則的值為．14．已知函數(shù)的最小正周期是，且的圖象過點(diǎn)，則的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.15．如圖，在中，，以為圓心、為半徑作圓弧交于點(diǎn)．若圓弧等分的面積，且弧度，則=.16．對(duì)任意，一元二次不等式都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______．四、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．在平面直角坐標(biāo)系中,角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為的非負(fù)半軸,終邊經(jīng)過點(diǎn).(1)求的值;(2)求的值.18．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求的最大值和對(duì)應(yīng)的取值；(3)求在的單調(diào)遞增區(qū)間.19．已知定義在上的奇函數(shù)，在時(shí)，且．(1)求在上的解析式；(2)若，常數(shù)，解關(guān)于的不等式．20．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求a，b的值；(2)證明函數(shù)在上是增函數(shù).21．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，對(duì)任意，恒有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．22．若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)：，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的最大值.1．B化簡(jiǎn)集合，求出補(bǔ)集，再根據(jù)交集的概念運(yùn)算求解可得結(jié)果.【詳解】，或，所以.故選：B2．D【分析】根據(jù)三角函數(shù)角的范圍和符號(hào)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，∴0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x為第四象限角，故選D．本題主要考查三角函數(shù)中角的象限的確定，根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)去判斷象限是解決本題的關(guān)鍵．3．A【分析】首先求出當(dāng)時(shí)，的值域，再根據(jù)已知條件可求出時(shí)的范圍，得出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，的值域應(yīng)包含，所以時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，且，即解得，所以a的取值范圍是：，故選：A思路點(diǎn)睛：分段函數(shù)的值域應(yīng)為兩段值域的并集，根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為時(shí)的范圍，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得滿足條件的不等式組.4．C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)及指數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】，所以.故選：C.5．A【分析】探討給定函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)脫去法則“f”，再借助一次函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又是定義在上的偶函數(shù)，即有在上單調(diào)遞減，且它的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)，，于是得，兩邊平方整理得，令，因此，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A6．B【分析】利用函數(shù)單調(diào)性建立不等式組，然后求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有成立，所以在上單調(diào)遞減，由題意，得，解得，故選：B．7．A【分析】求出函數(shù)在上的取值集合，再根據(jù)給定的值域確定函數(shù)在上的取值集合，列式求解作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其取值集合為，而函數(shù)的值域?yàn)镽，因此函數(shù)在上的取值集合包含，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的值為常數(shù)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，取值集合是，不符合要求，于是得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，取值集合是，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A8．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的定義求出的值域即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以；綜上，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：A.9．AC【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的定義域逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，不符合題意對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)镽，不符合題意.故選：AC.10．AD【分析】通過不等式性質(zhì)證明選項(xiàng)正確或通過反例判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤即可.【詳解】對(duì)于A，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，當(dāng)，，，時(shí)，有，，但此時(shí)，，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，，時(shí)，有，，但此時(shí)，，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵，∴，∴，∴，∴，由不等式的同向可加性，由和可得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11．BC【分析】由題意可知，利用特殊值可以排除AD選項(xiàng)，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷BC即可.【詳解】是第一象限角，且，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤；易知，，所以，又因?yàn)?，即，所以，即C正確；又因?yàn)?，所以，因此，即，故B正確；取，則，所以D不成立.故選：BC.12．ABD【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式可畫出函數(shù)圖象，再利用一元二次方程根的分布情況研究的根的個(gè)數(shù)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由函數(shù)可知，圖象如下：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程即為，即，所以而，由圖可知與有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有3個(gè)不同的實(shí)根.故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程為，即解得或；時(shí)，由圖可知與有三個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)方程有3個(gè)不同的實(shí)根，時(shí)，由圖可知與有兩個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)方程有2個(gè)不同的實(shí)根；綜合可知，當(dāng)時(shí)，方程有5個(gè)不等實(shí)根；即B正確；對(duì)于C，令，則方程等價(jià)成；由圖可知，若方程有2個(gè)不等實(shí)根，包括以下三種情況，①方程只有一根，且則，即或由A可知，時(shí)不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程只有一根，不合題意；②方程只有一根，且，由①知，此時(shí)也不符合題意；③方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且或或令若，需滿足解得，不合題意；若，需滿足，解得,即若，需滿足，解得，不合題意；綜上可知，若方程有2個(gè)不等實(shí)根，則；故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若方程有6個(gè)不等實(shí)根，則需滿足方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且；則需滿足解得即可得；故D正確.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)畫出分段函數(shù)的圖象，由方程根的個(gè)數(shù)并結(jié)合函數(shù)圖象從而確定根的分布情況，確定根的取值范圍，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.13．【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦、余弦公式展開后將弦化切即可求解.【詳解】.故答案為.14．【分析】根據(jù)周期確定的值，再由的圖象過點(diǎn)確定值，從而函數(shù)解析式確定，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱中心可解得答案.【詳解】由題意函數(shù)的最小正周期是，可知，再由的圖象過點(diǎn)，可得，則,故,所以由知：，所以，令，可得，所以的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為，故15．【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積為，直角三角形中，，，面積為，由題意得，∴，∴，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查扇形的面積公式及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題；設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的面積，再在直角三角形中求出高，計(jì)算直角三角形的面積，由條件建立等式，解此等式求出與的關(guān)系，即可得出結(jié)論.16．【分析】由二次不等式恒成立結(jié)合圖象即可求解【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，一元二次不等式都成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為17．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)角終邊經(jīng)過點(diǎn),得出的值,即可求出;(2)根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),代入角的三角函數(shù)值即可.【詳解】（1）解:由題知角終邊經(jīng)過點(diǎn),,,,,;（2）由(1)知,則原式.18．(1)；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；(3).【分析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式即得；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得；（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以的最小正周期為；（2）因?yàn)?，由，可得，?dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；（3）由，可得，又，函數(shù)的單增區(qū)間為.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義以及函數(shù)在上的解析式，結(jié)合即可寫出在上的解析式；（2）將不等式轉(zhuǎn)化成，再利用換元法以及，解出的取值范圍即可得不等式的解集.【詳解】（1）∵是上的奇函數(shù)且時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，又由于為奇函數(shù)，∴，∴，又，，∴，綜上所述，當(dāng)時(shí)，（2）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，即，所以，設(shè)，不等式變?yōu)?，∵，∴，∴．而?dāng)時(shí)，，且，又在上單調(diào)遞增，所以，所以，∴，即所以．綜上可知，不等式的解集是．20．(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，可求出b的值，再利用可求出a的值.（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴.（2）由（1）得，任取，，且，∴，∵，∴，，，∴，即，∴函數(shù)在上是增函數(shù).21．(1)(2)【分析】（1）將函數(shù)有唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程有唯一解的問題，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論即可；（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)為上的減函數(shù)，將恒成立轉(zhuǎn)化成在上恒成立，討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，求出其在區(qū)間上的最小值，使最小值大于等于0即可求得正實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即①有唯一零點(diǎn)，即有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，其當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，；若為①的解，則，解得；若為①的解，則，解得；要使①有唯一實(shí)數(shù)解，則．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．（2）函數(shù)，其中內(nèi)部函數(shù)在上為減函數(shù)，外部函數(shù)為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)知為上的減函數(shù)，，，不等式轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為，即令，，即．二次函數(shù)對(duì)稱軸為，由，開口向上（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，不符合題意，舍去；（ii）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，解得，即；（iii）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得，即；綜上可知，正實(shí)數(shù)的取值范圍．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二小問的關(guān)鍵是將“對(duì)任意，恒有成立”進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，只需滿足，再利用函數(shù)的單調(diào)性，即可將問題轉(zhuǎn)化成不等式在上恒成立的問題，再討論二次函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系即可求得參數(shù)的取值范圍.22．（1）不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）最大值為.（1）由“依賴函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）先根據(jù)題意得到，解得：，再由，解出，根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意分，，考慮在上單調(diào)性，再根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義即可求得的值，代入得恒成立，由判別式，即可得到，再令函數(shù)在的單調(diào)性，求得其最值，