/2024-2025學年湖北省武漢市高二上學期期末檢測數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知兩條異面直線的方向向量分別是，則這兩條異面直線所成的角滿足（

）A． B．C． D．3．“”是“a、b、c成等比數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．已知點為雙曲線右支上的一個動點，則點到直線的距離的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．在1和17之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)成等差數(shù)列．若這個數(shù)中第1個為，第個為，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．56．過拋物線焦點的直線與此拋物線交于兩點，且．拋物線的準線與軸交于點，過點作于點．若四邊形的面積為，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．7．謝爾賓斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出．先取一個實心正三角形，挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形，即圖中的白色三角形），然后在剩下的每個小三角形中又挖去一個“中心三角形”，用上面的方法可以無限操作下去．操作第1次得到圖2，操作第2次得到圖3．．．．．，若繼續(xù)這樣操作下去后得到圖2024，則從圖2024中挖去的白色三角形個數(shù)是（

）A． B．C． D．8．已知橢圓的左焦點為，如圖，過點作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知圓，則下列曲線一定與圓有公共點的是（

）A． B．C．拋物線的準線 D．10．在正方體中，為的中點，為的中點，是棱上靠近的四等分點，是棱上靠近點的四等分點，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．點可以是的中點C．點的軌跡是長方形D．點的軌跡所在平面與平交11．雙曲線具有如下光學性質：從一個焦點出發(fā)的光線，經雙曲線反射后，反射光的反向延長線經過另一個焦點．如圖，已知雙曲線為雙曲線的左、右焦點．某光線從出發(fā)照射到雙曲線右支的點，經過雙曲線的反射后，反射光線的反向延長線經過．雙曲線在點處的切線與軸交于點，且反射光線所在直線的斜率為．則以下說法正確的是（

）A．點到直線和直線的距離相等B．C．雙曲線的離心率為2D．若過點的直線與雙曲線交于兩點，則點不可能是線段的中點．12．已知是等比數(shù)列的前項和，且，則下列說法正確的是（

）A．B．中任意奇數(shù)項的值始終大于任意偶數(shù)項的值C．的最大項為，最小項為D．三、填空題（本大題共4小題）13．若上的可導函數(shù)在處滿足，則．14．對于任意向量定義運算：．若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是．15．已知拋物線，點和為此拋物線的兩個內接三角形（即三角形的三個頂點均在拋物線上），且均以點為直角頂點，則直線與直線的交點坐標為．16．記上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)，且，數(shù)列為牛頓數(shù)列．設，已知，則，數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，則的最大值為．四、解答題（本大題共6小題）17．已知圓，(1)已知直線，設與圓交于兩點，求弦中點的軌跡方程；(2)記（1）中點的軌跡為曲線，點為曲線上一點，點為直線上一點，求的取值范圍．18．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足：，．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求的通項公式．19．已知雙曲線的離心率為分別為雙曲線的左、右兩個頂點，左頂點到雙曲線漸近線的距離為；(1)求雙曲線的方程；(2)若過點且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點，求實數(shù)的值．20．如圖，在直四棱柱中，四邊形ABCD為梯形，，，，，點E在線段AB上，且，F(xiàn)為BC的中點．(1)求證：平面；(2)若直線與平面ABCD所成角的大小為45°，求二面角的余弦值．21．已知數(shù)列滿足：，且．記數(shù)列為，記數(shù)列為.(1)求證：是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．22．已知拋物線，其焦點為．(1)兩點為拋物線上的動點且滿足，直線不垂直于軸，求證：線段的垂直平分線過定點，并求出點的坐標；(2)已知橢圓，圓，過（1）中點作斜率分別為的直線，且滿足，直線交橢圓于兩點，直線交圓于兩點，點為中點，求面積的取值范圍．

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)條件，分和兩種情況討論，再結合的圖像，即可求出結果.【詳解】當時，直線的傾斜角為，當時，由得到，又易知，所以，即，由的圖像可知，，綜上，故選：C.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)方向向量的坐標求出對應的模，利用空間向量的數(shù)量積即可求出兩條異面直線所成的角.【詳解】∵兩條異面直線的方向向量分別是，，又兩條異面所成的角為，則，故選：B.3．【正確答案】B【分析】由a、b、c成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質可得；對于充分性，可以舉一個反例，滿足，但a、b、c不成等比數(shù)列，從而得到正確的選項.【詳解】若a、b、c成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質可得：，若，當時，a、b、c不成等比數(shù)列，則“”是“a、b、c成等比數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查等比中項的性質，屬于基礎題.4．【正確答案】B【分析】把所求問題轉化為求點到直線的最小距離，結合平行線間的距離公式可求.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而直線與平行，平行線間的距離，由題意可知點到直線的距離大于.故選：B.5．【正確答案】A【分析】由題意，得到，構造，利用均值不等式即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設這個數(shù)組成的數(shù)列為，則有，所以，當且僅當，即時等號成立.故選：A.6．【正確答案】A【分析】過點作于點，過點作于點，交軸于點，設，結合拋物線定義可得，由表示四邊形的面積求出可得答案.【詳解】如圖，不妨假定A在第一象限，過點作于點，過點作于點，交軸于點，設，則，所以，，因為，所以，可得，，可得，所以，則四邊形的面積為，解得，即.故選：A.7．【正確答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求得正確答案.【詳解】由圖可知，圖2024中挖去的白色三角形個數(shù)是：.故選：C8．【正確答案】D【分析】由已知求出點坐標，利用點差法求得，可求橢圓離心率.【詳解】橢圓的左焦點為，，過作軸，垂足為，由，得，，有，設，則有，，由，兩式相減得，則有，所以.故選：D方法點睛：由直線傾斜角為且，得，利用中點弦問題的點差法得，通過構造齊次方程法求離心率的值.9．【正確答案】BC【分析】利用直線與圓的位置關系可判定BC，利用兩圓的位置關系可判定AD.【詳解】易知的圓心為原點，半徑為1，則原點到的距離，即直線與圓相交，故B正確；由可知其圓心為，半徑為1，兩圓圓心距，即兩圓相離，故A錯誤；由知其圓心為，半徑，兩圓圓心距為，當且僅當時兩圓才有交點，除此之外兩圓無交點，故D錯誤.易知拋物線準線方程為，顯然與圓相切，故C正確.故選：BC10．【正確答案】ACD【分析】A：表示出的坐標，根據(jù)數(shù)量積的結果判斷位置關系；B：表示出點坐標，然后根據(jù)的結果進行判斷；C：設出點坐標，根據(jù)得到坐標滿足的方程，由此可確定出平面所過的兩點，再結合向量判斷出軌跡形狀；D：根據(jù)的位置關系結合基本事實作出判斷.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，設正方形的邊長為，對于A：因為，所以，所以，所以，故A正確；對于B：因為，所以，所以，所以不成立，故B錯誤；對于C：設，所以，因為，所以，當時，，當時，，取，且，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以，所以，所以四邊形為長方形，又因為所以的中點為即為點，所以平面，又因為，所以，且平面，所以平面，所以若，則有平面，所以點的軌跡是長方形，故C正確；對于D：因為平面，且不平行，所以相交于一點，又因為平面，平面，由基本事實可知，平面與平交，故D正確；故選：ACD.11．【正確答案】ABD【分析】對于A，可由雙曲線的光學性質得到為的角平分線；然后由角平分線的性質以及雙曲線定義求出和可判斷B；再由直線的斜率求出,根據(jù)余弦定理判斷C；對于D，假設直線存在，利用點差法導出矛盾.【詳解】對于A：由雙曲線的光學性質可知，為的角平分線，故A正確；對于B：由角平分線性質可知，又，解得，，故B正確；對于C：設，由直線的斜率為可得，又，解得，由余弦定理可知，整理得：解得或(舍去)，故C錯誤；對于D：假設存在滿足條件的直線，設，由可知點的坐標為，為中點可知，，把點的坐標代入雙曲線方程得，，兩式作差得，等式右邊等于0，等式要想成立只能左邊也等于0，即，因為，此時兩點關于軸對稱，即垂直于軸，顯然與雙曲線不相交，不滿足題意，故D正確；故選：ABD12．【正確答案】BCD【分析】由等比數(shù)列的前項和公式可得，可判斷選項A；根據(jù)的解析式判斷奇數(shù)項與偶數(shù)項的公式，從而判斷BC；由得到的通項公式，從而表示出的通項公式即可判斷D.【詳解】由題可知，此時等比數(shù)列的公比，所以設前項和公式應為：，，A錯誤；因此，可得中，奇數(shù)項遞減，且始終大于2，最大值為，偶數(shù)項遞增，且始終小于2，最小值為，因此BC正確；由可得，令，所以，故D正確故選：BCD13．【正確答案】6【分析】導數(shù)的定義可得答案.【詳解】，則.故答案為.14．【正確答案】【分析】設，則，根據(jù)的范圍可得答案.【詳解】由題意得，，，設，則，因為，所以，所以.故答案為.15．【正確答案】【分析】設，求出直線的方程，又得，與直線的方程作比較可得直線過定點，同理直線過相同定點可得答案．【詳解】設，則，即，又，則有，則對于而言，當時，，即直線過定點．同理，也過定點，則可知直線和的交點坐標為．故．16．【正確答案】4【分析】由導函數(shù)，可得，再由求出，即可得到，從而求出，又，則，可求出數(shù)列的通項公式與前項和為，參變分離可得對任意的恒成立，利用對勾函數(shù)的性質出即可.【詳解】因為，則，則，由，所以，解得，所以，所以，由，所以，所以，即數(shù)列是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以，，因為對任意的恒成立，又且單調遞增，所以對任意的恒成立，令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可得在上單調遞減，在上單調遞增，又，且，所以，所以的最大值為．故4；.思路點睛：由與的函數(shù)關系，結合“牛頓數(shù)列”的定義，由求出，再得到，從而求出，得出數(shù)列的特征，求出，最后的恒成立問題轉化為函數(shù)最值問題．17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先判斷直線所過定點，利用圓的幾何性質列方程，從而求得點的軌跡方程.（2）根據(jù)直線和圓的位置關系來求得的取值范圍.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，直線過定點，則可知弦中點應在以為直徑的圓上，的中點為，，設，則點的軌跡方程為，由于直線不能表示直線，則點的軌跡方程應為．（2）記點為點，則點到直線的距離為，可知.18．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的公差、等比數(shù)列的公比，從而求得的通項公式；（2）利用“退一作差法”求得.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由為等差數(shù)列，所以，且，所以，故，由為等比數(shù)列，所以，即，所以，故.（2）由題中，便有，兩式相減得；即，經驗證，所以.19．【正確答案】(1)(2)或．【分析】（1）根據(jù)左頂點到雙曲線漸近線的距離為，離心率為，和的關系即可求出雙曲線的方程；（2）設過點且斜率為直線的方程為：；聯(lián)立雙曲線方程討論有一個解即可得到對應實數(shù)的值．【詳解】（1）左頂點到雙曲線漸近線的距離為；由題意可知：，則得，雙曲線的方程為．（2）設直線，聯(lián)立，消元可得．時，．綜上，的值為或．20．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先根據(jù)直四棱柱的結構特征證明，再利用線面平行的判定定理證明平面，再通過證明四邊形ADCE為平行四邊形得到，進而利用線面平行的判定定理得到平面，最后利用面面平行的判定定理與性質即可得出結論；（2）先根據(jù)直線與平面ABCD所成角的大小為45°求出，再建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，最后利用向量的夾角公式即可得出結論．【詳解】（1）由題意可得，又平面，平面，∴平面．連接CE，∵且，∴四邊形ADCE為平行四邊形，則，又平面，平面，∴平面．又且，平面，∴平面平面．又平面，∴平面．（2）連接DE，由題意可得為等邊三角形，故，由平面ABCD可得為直線與平面ABCD所成的角，故，則．以D為坐標原點，DC，所在直線分別為y，z軸，過D且垂直于平面的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則，，．設平面的法向量為，則，即，令，得．設平面的法向量為，則，即，令，得，則，由圖可知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為．21．【正確答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題意結合等差數(shù)列的定義和通項公式運算求解；（2）根據(jù)題意結合等比數(shù)列的定義和通項公式可得，再利用裂項相消法運算求和.【詳解】（1）為奇數(shù)時，則，此時為偶數(shù)，則，等式兩邊取以2為底的對數(shù)，便有，所以，故的偶數(shù)項是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，即是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）為偶數(shù)時，則，即，此時為奇數(shù)，，則，所以，且，故的奇數(shù)項是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，即以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，則.可得，所以，即.22．【正確答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）依題設出直線的方程，根據(jù)焦半徑公式將條件轉化為，將直線與拋物線方程聯(lián)立消元求得，求出線段中垂線方程，易得過定點；（2）設直線與橢圓方程聯(lián)立消元后運用韋達定理求出弦長，證明，將點到直線的距離即為點到直線的距離，計算出面積的表達式，，換元法即可計算出面積的范圍.【詳解】（1）如圖，設，則有聯(lián)立，消元得，則．