專題09解直角三角形應用與特殊幾何圖形的綜合的六種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、解直角三角形應用與特殊三角形的綜合 1類型二、解直角三角形應用與平行四邊形的綜合 5類型三、解直角三角形應用與菱形的綜合 10類型四、解直角三角形應用與矩形的綜合 14類型五、解直角三角形應用與正方形的綜合 18類型六、解直角三角形應用與其他圖形的綜合 21壓軸能力測評（14題） 26解題知識必備1.含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形方法總結：作垂線構造直角三角形時“不破壞”特殊角（30°，45°，60°），如下展示部分常見構造方法：2.非特殊角的非直角三角形方法總結：作垂線構造直角三角形時，豎直作垂線與水平作垂線.壓軸題型講練類型一、解直角三角形應用與特殊三角形的綜合例題：（2024·貴州貴陽·二模）“工欲善其事，必先利其器”，如圖所示的是釣魚愛好者的神器“晴雨傘”，對稱軸是垂直于地面的支桿，用繩子拉直后系在樹干上的點E處（），C，E在一條直線上，通過調節(jié)點E的高度可控制“晴雨傘”的開合，“晴雨傘”,于點O，支桿與樹干的橫向距離．(1)天晴時打開“晴雨傘”，若，求遮陽寬度；(2)下雨時收攏“晴雨傘”，使由減少到，求點E下降的高度．（結果精確到，參考數(shù)據：，，，）【變式訓練1】（2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習）中國傳統(tǒng)建筑屋頂設計是中國古代建筑之瑰寶．常見的屋頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂?shù)龋鐖D1的古代建筑屋頂，被稱為“懸山頂”，它的側視圖呈軸對稱圖形，如圖2所示，已知屋檐米，屋頂E到支點C的距離米，墻體高米，屋面坡角．（參考數(shù)值：）(1)求房屋內部寬度的長；(2)求點A與屋面的距離．【變式訓練2】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）露營愛好者在露營時為遮陽和防雨會借助垂直于地面的樹干搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支撐桿，用繩子拉直后系在樹干上的點A處，使得A，C，E在一條直線上，通過調節(jié)點A的高度可控制“天幕”的開合，若米，于點O（參考數(shù)據：，，）

(1)天晴時打開“天幕”，若，求遮陽寬度EF；（結果保留一位小數(shù)）(2)下雨時收攏“天幕”，由減小到，求點O下降的高度．（結果保留一位小數(shù)）類型二、解直角三角形應用與平行四邊形的綜合例題：（23-24九年級下·江蘇蘇州·階段練習）如圖1，是一電動門，當它水平下落時，可以抽象成如圖2所示的矩形，其中，，此時它與出入口等寬，與地面的距離；當它抬起時，變?yōu)槠叫兴倪呅危鐖D3所示，此時，與水平方向的夾角為60°．(1)求點到地面的距離；(2)一輛高，寬的汽車從該入口進入時，汽車需要與保持的安全距離，此時，汽車能否安全通過，若能，請通過計算說明；若不能，說明理由．【變式訓練1】（2024·寧夏銀川·二模）如圖1是某旅游景點的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知，A，D，H，G四點在同一直線上，測得，，．（參考數(shù)據：，，）(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)求雕塑的高（即點到的距離）．（結果保留小數(shù)點后一位）【變式訓練2】（2024·江西吉安·二模）現(xiàn)如今，許多鄉(xiāng)村、社區(qū)都安裝了健身器材．如圖1，這是健身器材中的騎馬機，它是一種利用曲軸連桿機構原理，模擬人體在騎馬狀態(tài)下前后“字”立體搖擺，從而達到全身有氧運動的新型健身器材，其側面的簡圖如圖2所示，已知，，．(1)若．求證：四邊形是平行四邊形．(2)若，，，求點到的距離．（結果精確到，參考數(shù)據：，，）類型三、解直角三角形應用與菱形的綜合例題：（2024·江西南昌·模擬預測）圖1是某折疊資料架，圖2為其側面示意圖，已知，，M，N，P，Q四點分別是的中點（N，P兩點也分別在和上），底座，垂足為O，經測量，，，．(1)求證：四邊形為菱形．(2)求折疊資料架的高（點A到底座HI的距離）．（參考數(shù)據：．結果保留一位小數(shù)）【變式訓練1】（2024·吉林·二模）如圖1是汽車內常備的千斤頂，圖2是它的平面示意圖，四邊形是菱形，中間通過螺桿連接，轉動手柄可改變線段的長度，同時改變的大?。庑蔚倪呴L不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋袋c與點之間的距離）．經測量，．(1)當時，求的長（結果保留整數(shù)）．(2)從增加到時，這個千斤頂高度升高了______cm（結果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據：，，）【變式訓練2】（23-24九年級上·廣西柳州·階段練習）“新冠疫情”期間學校在校門口搭建如圖1所示的遮陽棚，圖2、圖3是遮陽棚支架的示意圖．遮陽棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形構成，滑塊可分別沿等長的立柱上下移動，，．（參考數(shù)據：，，，）

(1)若移動滑塊使，求棚寬的長（精確到）．(2)在遮陽棚內安裝如圖4所示的紅外線測溫門（門高），門的頂端應與點持平或低于點，試問此時最大為多少度？類型四、解直角三角形應用與矩形的綜合例題：（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯(lián)考階段練習）某景區(qū)草地上豎立著一個如圖（1）所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）所示的圖形，矩形可由矩形繞點旋轉得到，點在上，延長交于點．連接．

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；(2)若點在水平地面上，與水平地面平行，，求點到水平地面的距離．（結果精確到．）參考數(shù)據：【變式訓練1】（2024·浙江溫州·二模）圖1是某小型汽車的側面示意圖，其中矩形表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點A逆時針旋轉，落在的位置（如圖2所示）．已知，，．(1)當旋轉角為時，求點E到點的距離．(2)已知箱蓋可旋轉的最大角度是，求此時點到BC的距離．（參考數(shù)據：，，）【變式訓練2】（2024·四川瀘州·一模）某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘．道閘關閉時，如圖1，四邊形為矩形，長3米，長1米，與水平地面垂直．道閘打開的過程中，邊固定，連桿，分別繞點，轉動，且邊始終與邊平行．

(1)如圖2，當?shù)篱l打開至時，邊上一點到的距離為米，到地面的距離為1.2米，求點到地面的距離的長．(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米．當?shù)篱l打開至時，轎車能否駛入小區(qū)？請說明理由．（參考數(shù)據：，，）類型五、解直角三角形應用與正方形的綜合例題：（2024·山東煙臺·一模）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M.如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H.經測量，點A距地面，到樹的距離，.求樹的高度.【變式訓練1】（23-24九年級上·江蘇揚州·期中）在測量旗桿高度的活動課上，某興趣小組自制了一個測高儀測量旗桿高度，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量旗桿高度的示意圖，測高儀上的點B、A與旗桿頂點P在一條直線上，鉛垂線交于點N．經測量，點A距地面，到旗桿的距離．(1)若點N于點C重合，則旗桿的高度為________；(2)若．求旗桿的高度(結果精確到)．【變式訓練2】（2023春·江西九江·九年級統(tǒng)考期中）圖1是某校教學樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個正方形轉化為平面圖形得到圖2，并測得正方形與正方形的面積相等，且，

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求的長．（參考數(shù)據：）類型六、解直角三角形應用與其他圖形的綜合例題：（2024·上海寶山·一模）如圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點，支架交于點，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，，，．(1)求：的度數(shù)．(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在凳子上，最高可以把籃網掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網嗎？請通過計算說明理由．（參考數(shù)據：）【變式訓練1】（22-23九年級上·上海嘉定·期中）好的座椅可以讓人坐著更舒適．交大附中教師辦公室座椅如圖1所示，它的主要組成有支撐部分、座面和椅背，座面和椅背均可以進行調節(jié)．其縱截面如圖2所示，支撐部分，與水平地面垂直，，，，．(1)求點D距離地面的高度；(2)相較于座面水平、椅背豎直的情況，座面稍向下傾斜，椅背與座面的夾角略大于時，坐起來更加舒適．已知當座椅的座面與水平面的夾角為，座面與椅背的夾角為時坐起來最舒適，求坐起來最舒適時點H距離地面的高度（小數(shù)點后保留1位小數(shù)）．【變式訓練2】（24-25九年級上·四川成都·階段練習）隨著時代的發(fā)展，手機“直播帶貨”已經成為當前最為強勁的購物新潮流．某種手機支架如圖1所示，立桿垂直于地面，其高為，為支桿，它可繞點旋轉，其中長為，為懸桿，滑動懸桿可調節(jié)的長度．（參考數(shù)據：，，）(1)如圖2，當、、三點共線，時，且支桿與立桿之間的夾角為，求端點距離地面的高度；(2)調節(jié)支桿，懸桿，使得，，如圖3所示，且點到地面的距離為，求的長．（結果精確到）壓軸能力測評（14題）一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預測）在數(shù)學綜合實踐課上，某學習小組計劃制作一個款式如圖1所示的風箏：圖2是其風箏骨架示意圖，已知兩條側翼，的長為60，夾角為，平分，則側翼兩點間的距離為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東深圳·三模）人體工學椅提出正確的座墊高度須將座墊高度調整到人的雙腳能平放于地面，且大腿之彎曲角度呈現(xiàn)．如圖是一男士座椅情況和示意圖，若，該椅子座墊高度還要升高多少，才符合體工學椅的要求（）A．40sin50°﹣40 B．40cos50°﹣40 C． D．二、填空題3．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，圖1是一盞臺燈，圖2是其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計），其中燈臂，燈罩，燈臂與底座構成的．可以繞點上下調節(jié)一定的角度．使用發(fā)現(xiàn)：當與水平線所成的角為時，臺燈光線最佳，則此時點與桌面的距離是．（結果精確到，取1.732）4．（24-25九年級上·山東東營·階段練習）如圖1是三星堆遺址出土的陶盉（hè），圖2是其示意圖．已知管狀短流，四邊形是器身，，，，．器身底部CD距地面的高度為，則該陶盉管狀短流口距地面的高度約為．（結果精確到0.1cm）（參考數(shù)據：，，，）三、解答題5．（2024·廣東·模擬預測）如圖1，明代科學家徐光啟所著的《農政全書》中記載了中國古代的一種采桑工具—桑梯，其簡單示意圖如圖2，已知，，與的夾角為α．為保證安全，農夫將桑梯放置在水平地面上，將夾角α調整為，并用鐵鏈鎖定B、C兩點、此時農夫站在離頂端D處的E處時可以高效且安全地采桑．求此時農夫所在的E處到地面的高度．（結果精確到，參考數(shù)據：）

6．（2024·山西運城·模擬預測）隨著人民生活質量的不斷提高，國家越來越重視“全民運動”，其中籃球運動是一項深受市民喜歡的球類運動，圖1，圖2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，已知，，，，，籃板頂端P點到籃框F的距離，支架垂直水平地面，支架與水平地面平行，求籃框F到水平地面的距離．（結果精確到．參考數(shù)據：，，）7．（2024·河南周口·一模）2024年春節(jié)前夕，哈爾濱旅游市場的火熱帶動了全國“冰雪旅游”的繁榮，某地準備依山建設一個滑雪場帶動本地旅游的發(fā)展．如圖，小山的山腰上有一個平臺長為45m，從點C看山頂A的仰角為，山坡的坡度為，該地準備利用斜坡建設一個滑雪場，且的長度為，若點D到地面的垂線段與構成的四邊形恰好為正方形時，且圖中各點均在一個平面內，求小山的高度．（精確到整數(shù)，參考數(shù)據：，，）8．（23-24九年級下·江西宜春·期中）風能是一種清潔無公害的可再生能源，利用風力發(fā)電非常環(huán)保．如圖1所示，是一種風力發(fā)電裝置；如圖2為簡化圖，塔座建在山坡上（坡比，垂直于水平地面，，，三點共線），坡面長，三個相同長度的風輪葉片，，可繞點轉動，每兩個葉片之間的夾角為；當葉片靜止，與重合時，在坡底F處向前走米至點處，測得點處的仰角為，又向前走米至點處，測得點處的仰角為（點，，，在同一水平線上）．(1)求葉片的長；(2)在圖2狀態(tài)下，當葉片繞點順時針轉動時（如圖3），求葉片頂端離水平地面的距離．（參考數(shù)據：，，，，結果保留整數(shù)）9．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖是小強洗漱時的側面示意圖，洗漱臺（矩形靠墻擺放，高，寬，小強身高，下半身，洗漱時下半身與地面成，身體前傾成，腳與洗漱臺距離（點，，，在同一直線上）．，，

(1)此時小強頭部E點與地面相距多少？(2)小強希望他的頭部E恰好在洗漱盆的中點O的正上方，他應向前或后退多少？10．（2024·貴州貴陽·一模）圖①是常見的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識別成功后，兩側的圓弧翼閘會收回到兩側閘機箱內，這時行人即可通過．圖②是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形和扇形是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，和均垂直于地面，，半徑，點A與點D在同一水平線上，且它們之間的距離為．(1)求閘機通道的寬度，即與之間的距離；(2)若點B、E到地面的距離均為20cm，求A到地面的距離．(參考數(shù)據：，，，結果精確到0.1cm)11．（2022·浙江杭州·二模）如圖1所示的晾衣架，支架的基本圖形是菱形．如圖2，晾衣架伸縮時，點在射線上滑動，菱形的形狀也隨之發(fā)生變化．已知每個菱形的邊長均等于，且．(1)求證：相鄰兩根晾衣架之間的水平距離（、）相等；(2)當晾衣架沿著方向平移時，的度數(shù)逐漸減?。魪?20°逐漸減小到60°時，求點在射線上移動的距離．12．（2024·四川成都·模擬預測）如圖是一輛自卸式貨車的示意圖，矩形貨廂的長．卸貨時，貨廂繞點處的轉軸旋轉．點處的轉軸與后車輪轉軸（點處）的水平距離叫做安全軸距，測得該車的安全軸距為．貨廂對角線，的交點可視為貨廂的重心，測得．假設該車在水平地面上進