南京漢開書院學(xué)校中考數(shù)學(xué)期末二次函數(shù)和幾何綜合匯編一、二次函數(shù)壓軸題1．定義：若拋物線的頂點(diǎn)和與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)所組成的三角形為等邊三角形時(shí)．則稱此拋物線為正拋物線．概念理解：（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．試證明：以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線；問題探究：（2）已知一條拋物線經(jīng)過x軸的兩點(diǎn)E、F（E在F的左邊），E（1，0）且EF＝2若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；應(yīng)用拓展：（3）將拋物線y1＝﹣x2+2x+9向下平移9個(gè)單位后得新的拋物線y2．拋物線y2的頂點(diǎn)為P，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M、N（M在N左側(cè)），把△PMN沿x軸正半軸無滑動(dòng)翻滾，當(dāng)邊PN與x軸重合時(shí)記為第1次翻滾，當(dāng)邊PM與x軸重合時(shí)記為第2次翻滾，依此類推…，請(qǐng)求出當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A，C分別是直線y=﹣x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AB上，且D，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于y軸上的某點(diǎn)成中心對(duì)稱，連結(jié)DF，EF．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，EF2為l，請(qǐng)?zhí)骄浚孩倬€段EF長度是否有最小值．②△BEF能否成為直角三角形．小明嘗試用“觀察﹣猜想﹣驗(yàn)證﹣應(yīng)用”的方法進(jìn)行探究，請(qǐng)你一起來解決問題．（1）小明利用“幾何畫板”軟件進(jìn)行觀察，測量，得到l隨m變化的一組對(duì)應(yīng)值，并在平面直角坐標(biāo)系中以各對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)描點(diǎn)（如圖2）．請(qǐng)你在圖2中連線，觀察圖象特征并猜想l與m可能滿足的函數(shù)類別．（2）小明結(jié)合圖1，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用三角形和函數(shù)知識(shí)能驗(yàn)證（1）中的猜想，請(qǐng)你求出l關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式及自變量的取值范圍，并求出線段EF長度的最小值．（3）小明通過觀察，推理，發(fā)現(xiàn)△BEF能成為直角三角形，請(qǐng)你求出當(dāng)△BEF為直角三角形時(shí)m的值．3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？4．綜合與探究如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，，，直線是拋物線的對(duì)稱軸，在直線右側(cè)的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：（2）若點(diǎn)在軸的下方，當(dāng)?shù)拿娣e是時(shí)，求的面積；（3）在直線上有一點(diǎn)，連接，，則的最小值為______；（4）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．綜合與探究如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線BC，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線BC的表達(dá)式；（2）如圖2，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，依次連接BM，，，NB，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）如圖3，點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的平行線分別交直線BC和y軸于點(diǎn)Q和點(diǎn)E，連接交直線BC于點(diǎn)D，連接，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△的面積為，△PBD的面積為，求的最大值．6．如圖，邊長為5的正方形的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．連接．（1）求拋物線的解析式；（2）求的值；（3）①在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為________；②連接，在①的條件下，把沿軸平移（限定點(diǎn)在射線上），并使拋物線與的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)，探究點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是多少？7．根據(jù)我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，對(duì)函數(shù)y＝x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究，已知該函數(shù)圖像經(jīng)過（﹣1，﹣2）與（2，1）兩點(diǎn)，（1）該函數(shù)的解析式為，補(bǔ)全下表：x?﹣4﹣3﹣2﹣1123?y?2﹣1﹣2212?（2）描點(diǎn)、連線，在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象，寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)：．（3）結(jié)合你所畫的圖象與函數(shù)y＝x的圖象，直接寫出x2＋bx＋2﹣c|x﹣1|≤x的解集．8．某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的同學(xué)們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，有興趣的在一起探究“函數(shù)的有關(guān)圖象和性質(zhì)”．探究過程如下：（1）列表：問______．x…012…y…620002m…（2）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出圖象．（3）若方程（p為常數(shù)）有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則______．（4）試寫出方程（p為常數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，p的取值范圍是______．9．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖）．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．如果拋物線恰好經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)之中的兩個(gè)點(diǎn)．（1）試推斷拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C之中的哪兩個(gè)點(diǎn)？簡述理由；（2）求常數(shù)a與b的值：（3）將拋物線先沿與y軸平行的方向向下平移2個(gè)單位長度，再與沿x軸平行的方向向右平移個(gè)單位長度，如果所得到的新拋物線經(jīng)過點(diǎn)．設(shè)這個(gè)新拋物線的頂點(diǎn)是D．試探究的形狀．10．如圖，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，AC，BC．M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)P作，垂足為點(diǎn)N．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？（3）試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．二、中考幾何壓軸題11．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．12．石家莊某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，在相距150個(gè)單位長度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．（觀察）①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．（發(fā)現(xiàn)）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖象．（拓展）設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，若這兩個(gè)機(jī)器人在第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離y不超過60個(gè)單位長度，則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是．（直接寫出結(jié)果）13．（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．14．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=45°，點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．填空：①則的值為______；②∠EAD的度數(shù)為_______．（2）類比探究如圖2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°，點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE．請(qǐng)求出的值及∠EAD的度數(shù)；（3）拓展延伸如圖3，在（2）的條件下，取線段DE的中點(diǎn)M，連接AM、BM，若BC=4，則當(dāng)△ABM是直角三角形時(shí)，求線段AD的長．15．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC＝90°，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC，∠BCD的度數(shù)是；線段BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系是．類比探究：（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC＝90°，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC，請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？；拓展延伸：（3）如圖3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BDC＝90°，若點(diǎn)P滿足PB＝PC，∠BPC＝90°，請(qǐng)直接寫出線段AP的長度．16．問題發(fā)現(xiàn)：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如圖①放置，AB＝4，AE＝2.5，則＝___________．問題探究：（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，∠BPC＝135°，求AP長的最小值．問題拓展：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，則對(duì)角線BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．綜合與實(shí)踐：利用矩形的折疊開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究體會(huì)圖形在軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)等變換過程中的變化，及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法．動(dòng)手操作：如圖①，矩形紙片ABCD的邊AB＝2，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF，然后展開，EF與AC交于點(diǎn)H；如圖②，將矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上，且點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，展開圖形，折痕為AG，連接GH；若在圖①中連接BH，得到如圖③，點(diǎn)M是線段BH上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AH上的動(dòng)點(diǎn)，連接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在圖②中連接BH，交折痕AG于點(diǎn)Q，隱去其它線段，得到如圖④．解決問題：（1）在圖②中，∠ACB＝，BC＝，＝，與△ABG相似的三角形有個(gè)；（2）在圖②中，AH2＝AE·（從圖②中選擇一條線段填在空白處），并證明你的結(jié)論；（3）在圖③中，△ABH為三角形，設(shè)BM為x，則NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在圖④中，將△ABQ繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，連接DQ′，則DQ′的最小值為，當(dāng)tan∠CBQ′＝時(shí)，△DBQ′的面積最大值為．18．（1）問題提出：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．可知的形狀為______；（2）深人探究：如圖②，將在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷的形狀是否變化，并說明理由；（提示：延長到，使；延長到，使，連接，，，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明）（3）拓展延伸：如果，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長．19．如圖：兩個(gè)菱形與菱形的邊在同一條直線上，邊長分別為a和b，點(diǎn)C在上，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：如圖①，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是______________．（2）拓展探究：如圖②，，將圖①中的菱形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②位置，其他條件不變，連接，①猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②求出線段與所成的最小夾角．（3）解決問題：如圖③，若將題目中的菱形改為矩形，且，請(qǐng)直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系．20．（發(fā)現(xiàn)問題）（1）如圖，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置，直線和直線交于點(diǎn)①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②圖中的度數(shù)是．（3）（探究拓展）如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點(diǎn)，分別寫出的度數(shù)，線段、之間的數(shù)量關(guān)系．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、二次函數(shù)壓軸題1．A解析：（1）詳見解析；（2）y＝或y＝；（3）當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．【分析】（1）由Rt△ABC中AD是斜邊BC的中線可得AD＝CD，由拋物線對(duì)稱性可得AD＝AC，即證得△ACD是等邊三角形．（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為G，根據(jù)正拋物線定義得△EFG是等邊三角形，又易求E、F坐標(biāo)，即能求G點(diǎn)坐標(biāo)．由于不確定點(diǎn)G縱坐標(biāo)的正負(fù)號(hào)，故需分類討論，再利用頂點(diǎn)式求拋物線解析式．（3）根據(jù)題意求出拋物線y2的解析式，并按題意求出P、M、N的坐標(biāo)，得到等邊△PMN，所以當(dāng)△PMN翻滾時(shí)，每3次為一個(gè)周期，點(diǎn)P回到x軸上方，且橫坐標(biāo)每多一個(gè)周期即加6，其規(guī)律為當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，橫坐標(biāo)為：+n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．【詳解】解：（1）證明：∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴AD＝BD＝CD＝BC∵拋物線以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)∴AD＝AC∴AD＝AC＝CD∴△ACD是等邊三角形∴以A為頂點(diǎn)與x軸交于D、C兩點(diǎn)的拋物線是正拋物線．（2）∵E（1，0）且EF＝2，點(diǎn)F在x軸上且E在F的左邊∴F（3，0）∵一條經(jīng)過x軸的兩點(diǎn)E、F的拋物線為正拋物線，設(shè)頂點(diǎn)為G∴△EFG是等邊三角形∴xG＝①當(dāng)G（2，）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+把點(diǎn)E（1，0）代入得：a+＝0∴a＝﹣∴y＝﹣（x﹣2）2+②當(dāng)G（2，﹣）時(shí)，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣把點(diǎn)E（1，0）代入得：a﹣＝0∴a＝∴y＝（x﹣2）2﹣綜上所述，這條拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣（3）∵拋物線y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12∴y1向下平移9個(gè)單位后得拋物線y2＝﹣（x﹣）2+3∴P（，3），M（0，0），N（2，0）∴PM＝MN＝PN＝2∴△PMN是等邊三角形∴第一次翻滾頂點(diǎn)P的坐標(biāo)變?yōu)镻1（4，0），第二次翻滾得P2與P1相同，第三次翻滾得P3（7，3）即每翻滾3次為一個(gè)周期，當(dāng)翻滾次數(shù)n能被3整除時(shí)，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3，橫坐標(biāo)為：+n×2＝（2n+1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴當(dāng)?shù)?019次翻滾后拋物線y2的頂點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（4039，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解、性質(zhì)運(yùn)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)．第（3）題的解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)等邊△PMN每3次翻滾看作一個(gè)周期，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的特征，是規(guī)律探索的典型題．2．F解析：（1）連線見解析，二次函數(shù)；（2）；（3）m=0或m=【分析】（1）根據(jù)描點(diǎn)法畫圖即可；（2）過點(diǎn)F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，證明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出FG=DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根據(jù)勾股定理得出l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（3）分三種不同情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出m的方程，解方程求出m的值，則可求出答案．【詳解】解：（1）用描點(diǎn)法畫出圖形如圖1，由圖象可知函數(shù)類別為二次函數(shù)．（2）如圖2，過點(diǎn)F，D分別作FG，DH垂直于y軸，垂足分別為G，H，則∠FGK=∠DHK=90°，記FD交y軸于點(diǎn)K，∵D點(diǎn)與F點(diǎn)關(guān)于y軸上的K點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴KF=KD，∵∠FKG=∠DKH，∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），∴FG=DH，∵直線AC的解析式為y=﹣x+4，∴x=0時(shí)，y=4，∴A（0，4），又∵B（﹣2，0），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∴，解得，∴直線AB的解析式為y=2x+4，過點(diǎn)F作FR⊥x軸于點(diǎn)R，∵D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，∴F（﹣m，﹣2m+4），∴ER=2m，F(xiàn)R=﹣2m+4，∵EF2=FR2+ER2，∴l(xiāng)=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，令﹣+4=0，得x=，∴0≤m≤．∴當(dāng)m=1時(shí)，l的最小值為8，∴EF的最小值為2．（3）①∠FBE為定角，不可能為直角．②∠BEF=90°時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，D點(diǎn)與A點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)重合，此時(shí)m=0．③如圖3，∠BFE=90°時(shí)，有BF2+EF2=BE2．由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，又∵BR=﹣m+2，F(xiàn)R=﹣2m+4，∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，又∵BE2=（m+2）2，∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，化簡得，3m2﹣10m+8=0，解得m1=，m2=2（不合題意，舍去），∴m=．綜合以上可得，當(dāng)△BEF為直角三角形時(shí)，m=0或m=．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，中心對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．準(zhǔn)確分析給出的條件，結(jié)合一次函數(shù)的圖象進(jìn)行求解，熟練掌握方程思想及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．．3．A解析：（1）（2）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（，）；（3）PN＝﹣（m﹣2）2+，當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為．【分析】（1）由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解；（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三種情況，利用方程或方程組求解即可得到答案；（3）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到：PN=PQsin∠PQN=即可求解．【詳解】解：（1）拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，設(shè)即：﹣12a＝4，解得：則拋物線的表達(dá)式為（2）存在，理由：點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），則AC＝5，AB＝7，BC＝，∠OBC＝∠OCB＝45°，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理可得直線AC的表達(dá)式為：，①當(dāng)AC＝AQ時(shí)，如圖1，則AC＝AQ＝5，設(shè)：QM＝MB＝n，則AM＝7﹣n，由勾股定理得：解得：n＝3或4（舍去4），故點(diǎn)Q（1，3）；②當(dāng)AC＝CQ時(shí)，如圖1，CQ＝5，則BQ＝BC﹣CQ＝則QM＝MB＝，故點(diǎn)Q（，）；③當(dāng)CQ＝AQ時(shí)，則在的垂直平分線上，設(shè)直線AC的中點(diǎn)為K（，2），過點(diǎn)與CA垂直直線的表達(dá)式中的k值為，直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②并解得：（舍去）；故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（1，3）或（，）；（3）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN＝∵∴PN有最大值，當(dāng)m＝2時(shí)，PN的最大值為：．【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和等腰三角形的存在性問題，線段長度的最值問題，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來．4．A解析：（1）；（2）；（3）；（4）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或【分析】（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值即可得答案；（2）過作軸于，交于，根據(jù)拋物線解析式可得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式，設(shè)，根據(jù)BC解析式可表示出點(diǎn)H坐標(biāo)，即可表示出DH的長，根據(jù)△BCD的面積列方程可求出x的值，即可得點(diǎn)D坐標(biāo)，利用三角形面積公式即可得答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，可得BC為AP+CP的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得答案；（4）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到MB//ND，MB=ND，分MB為邊和MB為對(duì)角線兩種情況，結(jié)合點(diǎn)D坐標(biāo)即可得點(diǎn)N的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，，，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）如圖，過作軸于，交于，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)的解析式為，則，解得，∴的解析式為：，設(shè)，則，∴，∵的面積是，∴，∴，解得：或3，∵點(diǎn)在直線右側(cè)的拋物線上，∴，∴的面積；（3）∵拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，∴BC為AP+CP的最小值，∵B（4，0），C（0，-6），∴AP+CP的最小值=BC==．故答案為：（4）①當(dāng)MB為對(duì)角線時(shí)，MN//BD，MN=BD，過點(diǎn)N作NE⊥x軸于E，過當(dāng)D作DF⊥x軸于F，∵點(diǎn)D（3，），∴DF=，在△MNE和△BDF中，，∴△MNE≌△BDF，∴DF=NE=，∵點(diǎn)D在x軸下方，MB為對(duì)角線，∴點(diǎn)N在x軸上方，∴點(diǎn)N縱坐標(biāo)為，把y=代入拋物線解析式得：，解得：，，∴（，），（，）如圖，當(dāng)BM為邊時(shí)，MB//ND，MB=ND，∵點(diǎn)D（3，），∴點(diǎn)N縱坐標(biāo)為，∴，解得：，（與點(diǎn)D重合，舍去），∴（，），綜上所述：存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，首先要掌握待定系數(shù)法求解析式，其次要添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，靈活運(yùn)用面積公式和平行四邊形的判定和性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解題．5．A解析：（1），y＝－x＋4；（2）M（1，－1）；（3）的最大值是4．【分析】（1）先求得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得直線BC的表達(dá)式；（2）過M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OM．證明△OMB≌△O，即可得∠MOB=．再求得∠MOB==45°；由此求得．再求得拋物線的對(duì)稱軸，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過B作BI⊥PQ于I．易求，再求得PQ的最大值，即可求得的最大值．【詳解】（1）∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B，當(dāng)y＝0時(shí)，，解，得；∴B（4，0）∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)C，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），．設(shè)BC的表達(dá)式為y＝kx＋b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得，解，得．直線BC的表達(dá)式為y＝－x＋4；（2）過M作MH⊥y軸于點(diǎn)H，連接OM．∵四邊形是菱形，∴BM=，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∵OM=OM，∴△OMB≌△O，∴∠MOB=．∵∠BO＝90°，∴∠MOB==45°；∵M(jìn)H⊥y，．∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，．∴M（1，－1）．（3）過B作BI⊥PQ于I．∵PQ//x軸，∴∠IEO＝90°，∴四邊形EOBI是矩形．．，∵點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．∵PQ//x軸，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，將其代入y＝－x＋4，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為．∵點(diǎn)P是拋物線第一象限內(nèi)，∴點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)，．，∴當(dāng)m＝2時(shí)，PQ的最大值是2，∴的最大值是4．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解決第（3）題時(shí)構(gòu)建二次函數(shù)模型是解決問題的關(guān)鍵．6．F解析：（1）；（2）；（3）①；②【分析】（1）由題可設(shè)拋物線解析式為，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出a即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）過點(diǎn)作軸于，由題可設(shè)，故可求出PF的長．在中，利用勾股定理可求出PE的長，即發(fā)現(xiàn)，故．（3）①由題意易求，即．結(jié)合（2）即可列出關(guān)于m的方程，解出m即可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．②根據(jù)題意可知將沿y軸平移，使拋物線與△PEF的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)的極限條件為：向上平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前和向下平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前．根據(jù)平移規(guī)律結(jié)合①即可得出答案．【詳解】解：（1）由題可設(shè)拋物線解析式為，把代入，，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖，過點(diǎn)作軸于，由題可設(shè)，∴∵在中，，即，∴，∴，即．（3）①由題意可知，∵，∴，∴．由（2）可知，．∴，解得：（舍）．故，即．②根據(jù)題意可知將沿y軸平移，使拋物線與△PEF的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)的條件為：向上平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前和向下平移，一直到點(diǎn)與點(diǎn)重合前．Ⅰ當(dāng)沿y軸向上平移，且點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖，.∵,∴此時(shí)P點(diǎn)向上平移1個(gè)單位得到，即．∵點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，拋物線與△PEF的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)拋物線與△PEF的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，∴．Ⅱ當(dāng)沿y軸向下平移，且點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，如圖，.∵，∴此時(shí)P點(diǎn)向下平移4個(gè)單位得到，即．∵點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí)，拋物線與△PEF的邊只有一個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)拋物線與△PEF的邊只有一個(gè)交點(diǎn)，∴．綜上可知．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，勾股定理，兩點(diǎn)的距離公式以及含角的直角三角形的性質(zhì)．作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．7．(1)y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，補(bǔ)全表格見解析，(2)函數(shù)圖像見解析，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-2；(3)≤x≤或≤x≤．【分析】（1）將點(diǎn)（﹣1，﹣2）與（2，1）代入解析式即可；（2）畫出函數(shù)圖象，觀察圖象得到一條性質(zhì)即可（3）根據(jù)圖象，求出兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，通過觀察可確定解解集．【詳解】解：（1）∵該函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，﹣2）與（2，1）兩點(diǎn)，∴，∴，∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，故答案為：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；當(dāng)x=-4時(shí)，y=7；當(dāng)x=0時(shí)，y=-1；補(bǔ)全表格如圖，x?﹣4﹣3﹣2﹣10123?y?72﹣1﹣2-1212?（2）函數(shù)圖像如圖所示，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-2；（3）當(dāng)x≥1時(shí)，x2﹣x+2﹣3x+3=x，解得，，，觀察圖象可知不等式的解集為：≤x≤；當(dāng)x＜1時(shí)，x2﹣x+2+3x﹣3=x，解得，，，觀察圖象可知不等式的解集為：≤x≤；∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x的解集為≤x≤或≤x≤．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系；掌握描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合解不等式是解題的關(guān)鍵．8．（1）；（2）見解析；（3）；（4）或．【分析】（1）把x=代入解析式，計(jì)算即可；（2）按照畫圖像的基本步驟畫圖即可；（3）一個(gè)方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，另一個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根和兩個(gè)方程都有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，但是有一個(gè)公共根；（4）結(jié)合函數(shù)的圖像，分直線經(jīng)過頂點(diǎn)和在x軸上方兩種情形解答即可．【詳解】（1）當(dāng)x=時(shí)，==，∴；（2）畫圖像如下；（3）當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)為；當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)為；∵方程（p為常數(shù)）有三個(gè)實(shí)數(shù)根，∴兩個(gè)方程有一個(gè)公共根，設(shè)這個(gè)根為a，則，解得a=0，當(dāng)a=0時(shí)，p=0，故答案為：p=0；（4）∵方程（p為常數(shù)）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴p＞0；或△=0即1+4p=0，解得．綜上所述，p的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練掌握拋物線與一元二次方程的關(guān)系，靈活運(yùn)用分類思想，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．9．A解析：（1）點(diǎn)A、B在拋物線上，理由見解析；（2），；（3）等腰直角三角形【分析】（1）軸，故B、C中只有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上，算出AC的解析式，交y軸于點(diǎn)，拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求，由此解答即可；（2）把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，由此解答即可；（3）由平移可得新的解析式，代入得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷三角形的形狀．【詳解】（1）∵軸，故B、C中只有一個(gè)點(diǎn)在拋物線上，∵，交y軸于點(diǎn)．且拋物線與y軸也交于點(diǎn)，故C不符要求．∴點(diǎn)A、B在拋物線上（2）代入A、B到．，∴（3）∴代入到，（舍），，∴∴，，∴，，∴．∴是等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了與待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及判斷點(diǎn)是否在圖像上，平移變換勾股定理等知識(shí)，求解析式是解題的關(guān)鍵．10．A解析：（1）；（2），當(dāng)時(shí)，PN有最大值，最大值為．（3）滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：，．【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后用m表示出PN，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分別求解即可．【詳解】解：（1）將，代入，得，解之，得．所以，拋物線的表達(dá)式為．（2）由，得．將點(diǎn)、代入，得，解之，得．所以，直線BC的表達(dá)式為：．由，得，．∴∵，∴．∴．∴．．∵∴當(dāng)時(shí)，PN有最大值，最大值為．（3）存在，理由如下：由點(diǎn)，，知．①當(dāng)時(shí)，過Q作軸于點(diǎn)E，易得，由，得，（舍）此時(shí)，點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，則．在中，由勾股定理，得．解之，得或（舍）此時(shí)，點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，由，得（舍）．綜上知所述，可知滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為：，．【點(diǎn)睛】本題是一道二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，找出相關(guān)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計(jì)算．二、中考幾何壓軸題11．（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得解析：（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由見解析；（3）S△PMN最大＝．【分析】（1）由已知易得，利用三角形的中位線得出，，即可得出數(shù)量關(guān)系，再利用三角形的中位線得出得出，最后用互余即可得出位置關(guān)系；（2）先判斷出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出結(jié)論；（3）方法1：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，進(jìn)而求出，，即可得出最大，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2：先判斷出最大時(shí)，的面積最大，而最大是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，，，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大，且在頂點(diǎn)上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，，，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長線上，，，．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用；解（1）的關(guān)鍵是判斷出，，解（2）的關(guān)鍵是判斷出，解（3）的關(guān)鍵是判斷出最大時(shí)，的面積最大．12．【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個(gè)機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時(shí)相解析：【觀察】①90；②105；【發(fā)現(xiàn)】①50；②y＝，補(bǔ)全圖象見解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72【分析】【觀察】①先據(jù)題意求出兩個(gè)機(jī)器人速度的關(guān)系，再確定第二次迎面相遇的位置，然后設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意列方程即可求出結(jié)果；②仿照①的解題思路和方法解答即可；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)點(diǎn)第二次相遇地點(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，根據(jù)題意可列方程150﹣x＝2x，解出的x的值即為a的值；②分0＜x≤50與50＜x＜75兩種情況，分別求出正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步即可補(bǔ)全函數(shù)圖象；【拓展】分三種情況畫出圖形，然后根據(jù)題意得出相應(yīng)的分式方程，解方程即可得出y與x的關(guān)系，進(jìn)而可得關(guān)于x的不等式，解不等式即可得到結(jié)論．【詳解】解：【觀察】①∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣30＝120個(gè)單位長度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為v＝4v，∴機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，機(jī)器人乙從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A再返回到點(diǎn)B所用時(shí)間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意得，30+150+150﹣m＝4（m﹣30），解得：m＝90，故答案為：90；②∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長度，∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為150﹣35＝115個(gè)單位長度，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，∴機(jī)器人乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用時(shí)間為，而，∴機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意得，35+150+150﹣m＝（m﹣35），解得：m＝105，故答案為：105；【發(fā)現(xiàn)】①當(dāng)?shù)诙蜗嘤龅攸c(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，150﹣x＝2x，∴x＝50，即：a＝50，故答案為：50；②當(dāng)0＜x≤50時(shí)，點(diǎn)P（50，150）在線段OP上，∴線段OP的表達(dá)式為y＝3x，當(dāng)v＜時(shí)，即當(dāng)50＜x＜75，此時(shí)，第二次相遇地點(diǎn)是機(jī)器人甲在到點(diǎn)B返回向點(diǎn)A時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意知，x+y＝（150﹣x+150﹣y），整理，得y＝﹣3x+300，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，補(bǔ)全圖象如圖2所示：【拓展】①如圖，由題意知，，∴y＝5x，∵0＜y≤60，∴0＜x≤12；②如圖，∴，∴y＝﹣5x+300，∵0≤y≤60，∴48≤x≤60，③如圖，由題意得，＝，∴y＝5x﹣300，∵0≤y≤60，∴60≤x≤72，∵0＜x＜75，∴48≤x≤72，綜上所述，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是0＜x≤12或48≤x≤72，故答案為：0＜x≤12或48≤x≤72．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、兩點(diǎn)間的距離、一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用，難度較大，正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．13．（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）證得∠BEC=∠EAD，證明Rt△AED∽R(shí)t△EBC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（解析：（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）證得∠BEC=∠EAD，證明Rt△AED∽R(shí)t△EBC，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，由（1）可知，證得BC=GM，證明△BCH≌△GMH（AAS），可得出結(jié)論；（3）在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，證明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明△DEF∽△ECN，則，得出，則BM=CN，證明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，∴∠BEC=∠EAD，∴Rt△AED∽R(shí)t△EBC，∴；（2）如圖1，過點(diǎn)G作GM⊥CD于點(diǎn)M，同（1）的理由可知：，∵，，∴，∴CB=GM，在△BCH和△GMH中，，∴△BCH≌△GMH（AAS），∴BH=GH；（3）證明：如圖2，在EG上取點(diǎn)M，使∠BME=∠AFE，過點(diǎn)C作CN∥BM，交EG的延長線于點(diǎn)N，則∠N=∠BMG，∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，∴∠EAF=∠BEM，∴△AEF∽△EBM，∴，∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，而∠EFA=∠AEB，∴∠CED=∠EFD，∵∠BMG+∠BME=180°，∴∠N=∠EFD，∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，∴∠EDF=∠CEN，∴△DEF∽△ECN，∴，又∵，∴，∴BM=CN，在△BGM和△CGN中，，∴△BGM≌△CGN（AAS），∴BG=CG．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長為（2+6）．【分析】（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=解析：（1）1，；（2），∠EAD=90°；（3）線段AD的長為（2+6）．【分析】（1）由題意可得Rt△ABC和Rt△DBE均為等腰直角三角形，通過證明△ABD≌△BCE，可得AD=EC，∠DAB=∠BCE=45°，從而可得到結(jié)論；（2）通過證明△ABD∽△BCE，可得的值，∠BAD=∠ACB=60°，即可求∠EAD的度數(shù)；（3）由直角三角形的性質(zhì)可證AM=BM=DE，即可求DE=4，由勾股定理可求CE的長，從而可求出AD的長．【詳解】（1）∵∠ABC=∠DBE=90°,∠ACB=∠BED=45°，∴∠CBE=∠ABD,∠CAB=45°∴AB=BC，BE=DE，∴△BCE≌△BAD∴AD=CE，∠BAD=∠BCE=45°∴=1，∠EAD=∠CAB+∠BAD=90°故答案為：1，（2），∠EAD=90°理由如下：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠BED=60°∴∠ABD=∠EBC，∠BAC=∠BDE=30°∴在Rt△ABC中，tan∠ACB==tan60°=在Rt△DBE中，tan∠BED==tan60°=∴=又∵∠ABD=∠EBC∴△ABD∽△BCE∴==，∠BAD=∠ACB=60°∵∠BAC=30°∴∠EAD=∠BAD+∠BAC=60°+30°=90°，（3）如圖，由（2）知：==，∠EAD=90°∴AD=CE，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，∴AC=8，AB=4，∵∠EAD=∠EBD=90°，且點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)，∴AM=BM=DE，∵△ABM為直角三角形，∴AM2+BM2=AB2=（4）2=48，∴AM=BM=2，∴DE=4，設(shè)EC=x，則AD=x，AE=8-xRt△ADE中，AE2+AD2=DE2∴(8-x)2+(x)2=(4)2，解之得：x=2+2（負(fù)值舍去），∴EC=2+2，∴AD=CE=2+6，∴線段AD的長為（2+6），【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).15．（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由詳見解析；（3）或．【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，通過線段之間的轉(zhuǎn)換得到AC與DE之間的關(guān)系，在直角三角形BDE中通過BD與DE的關(guān)系，得到BD解析：（1）120°，BD=AC；（2）不成立，理由詳見解析；（3）或．【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC，通過線段之間的轉(zhuǎn)換得到AC與DE之間的關(guān)系，在直角三角形BDE中通過BD與DE的關(guān)系，得到BD,AC之間的關(guān)系.（2）類比（1）的解法，找線段之間的關(guān)系.(3)分情況進(jìn)行討論，畫出符合題意得圖形進(jìn)行求解.【詳解】解：（1）如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，設(shè)BC=m．在Rt△ABC中，∠BAC=30°，由BC=AB·tan30°，BC=AC·sin30°，得AC=2m，BC=m，∵AC=AD，∠CAD=2×30°=60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACD=60°，CD=AC=2m，∴∠BCD=60°×2=120°，在Rt△DEC中，∠DCE=180°-120°=60°，DC=2m，∴CE=CD·cos60°=m，DE=CE·tan60°=m，∴在Rt△BED中，BD==，∴==，故BD=AC．故答案為：120°；BD=AC．（2）不成立，理由如下：設(shè)BC=n，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，∴BC=AB=m，AC=BC=n，∵AC=AD，∠CAD=90°，∴△CAD為等腰直角三角形，∴∠ACD=45°，CD=AC=2n，∴∠BCD=2×45°=90°，在Rt△BCD中，BD==，∴==，，故BD=AC．答案為：90°；BD=AC．故結(jié)論不成立．（3）AP的長為或．；解答如下：∵PB=PC，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，∵∠BAC=∠BCP=90°，故A、B、C、P四點(diǎn)共圓，以線段BC的中點(diǎn)為圓心構(gòu)造⊙O，如圖4，圖5，分類討論如下：①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，如圖4，作PM⊥AC，垂足為M，設(shè)PM=x．∵PB=PC，∠BPC=90°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴∠PBC=45°，∵∠PAC=∠PBC=45°，∴△AMP為等腰直角三角形，∴AM=PM=x，AP=PM=x，在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，∴BC==，∴PC=BC·sin45°=，在Rt△PMC中，∵∠PMC=90°，PM=x，PC=，CM=4-x，∴，解得：，（舍），∴AP==；②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí)，如圖5，作PN⊥AB的延長線，垂足為N，設(shè)PN=y．同上可得PB=，△PAN為等腰三角形，∴AN=PN=y，∴BN=y-2，在Rt△PNB中，∵∠PNB=90°，PN=y，BN=y-2，PB=，∴，解得：，（舍），∴AP==．故AP的長度為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握類比思想解題是解決本題的關(guān)鍵．16．（1）；（2）AP的最小值為；（3）存在，BD的最大值為6+6【分析】（1）連接AC、AF、DG、CF，證△ADG∽△ACF，根據(jù)線段比例關(guān)系可求；（2）以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以解析：（1）；（2）AP的最小值為；（3）存在，BD的最大值為6+6【分析】（1）連接AC、AF、DG、CF，證△ADG∽△ACF，根據(jù)線段比例關(guān)系可求；（2）以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以O(shè)為圓心BO為半徑畫圓，則P的運(yùn)動(dòng)軌跡在矩形ABCD內(nèi)的劣弧BC上，連接AO交弧BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP最小，根據(jù)給出數(shù)據(jù)求值即可；（3）以AB為斜邊向下做等腰直角三角形AEB，連接CE，根據(jù)△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB為斜邊向上做等腰直角三角形AOB，以O(shè)為圓心OA為半徑畫圓，根據(jù)C點(diǎn)的軌跡求出CE最大值，即求出BD最大值．【詳解】解：（1）如圖①，連接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，∴，又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，∴∠DAG=∠CAF，∴△DGA∽△CFA，∴，故答案為；（2）如圖②，以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以O(shè)為圓心BO為半徑畫圓，則∠BPC作為圓周角剛好是135°，∴P的運(yùn)動(dòng)軌跡在矩形ABCD內(nèi)的劣弧BC上，連接AO交弧BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP最小，作OE垂直AB延長線于點(diǎn)E，∵△BOC為等腰直角三角形，BC=4，∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，又∵OE⊥AE，∴△BEO為等腰直角三角形，∴BE=OE=OB=×2=2，又∵AB=3，∴AE=AB+BE=3+2=5，∴，∵OP=OB=2，∴AP=AO-OP=-2，即AP的最小值為-2；（3）存在，如圖3，以AB為斜邊向下做等腰直角三角形AEB，連接CE，則∠EAB=45°，，∵AC=AD，∠ACD=90°，∴DAC=45°，，∴，∠DAB=∠CAE=45°，∴△DAB∽△CAE，∴，∴BD=CE，∴當(dāng)CE最大時(shí)，BD取最大值，以AB為斜邊向上做等腰直角三角形AOB，以O(shè)為圓心OA為半徑畫圓，∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，∴點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，由圖知當(dāng)C在OE延長線C'位置時(shí)C'E有最大值，此時(shí)C'E=OE+OC'，∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴四邊形AOBE為正方形，∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，∴CE的最大值為6+3，∵BD=CE，∴BD的最大值為×（6+3）=6+6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變換，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圓周角，圓心角等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，可得AC=2AH，由折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可得AG=CG，∠GCH=∠GAH，可求∠ACB=30°，利用三角函數(shù)可求BC=，AG=4，BF=FC=，可求，與△ABG相似的三角形由7個(gè)；（2）由EF為折痕，可證△AEH∽△AHG，可得即可；（3）由四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC中點(diǎn)，可證△ABH為等邊三角形，再證△ABM∽△MHN，可得即可；（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時(shí)，Q′D最小，先求BC=，AQ′=，可求Q′D最小=，當(dāng)BQ′⊥BD時(shí)，△BDQ′面積最大∠CBQ′=60°，S△BDQ′最大=．【詳解】解（1）∵點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，∴AC=2AH，∵折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，∴AB=AH=2，BG=HG，∠BAG=∠HAG=，∠B=∠AHG，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，∴∠AHG=∠B=90°，∴GH為AC的垂直平分線，∴AG=CG，∠GCH=∠GAH，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH，∵∠BAH+∠BCH=180°-∠B=90°，∴3∠ACB=90°∴∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH=30°，∴tan30°=，AB=2，∴BC=，∵tan∠BAG=tan30°=，∴BG=，∴AG=2BG=4，BF=FC=，∴GF=BF-BG=3-2=1，∴，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GHF=∠HCF=∠GCH=∠EAH=∠DAC=∠BCA=30°，∵∠B=∠AHG=∠HFG=∠HFC=∠AEH=∠D=∠GHC=∠CBA=90°，∴△ABG∽△AHG∽△HFG∽△CFH∽△CHG∽△AEH∽△ADC∽△CBA，∴與△ABG相似的三角形由7個(gè)，故答案為：30°；6；4；7；（2）∵EF為折痕，∴EH⊥AD，∵∠EAH=∠HAG=30°∠AHG=∠AEH=90°∴△AEH∽△AHG，∴，∴故答案為AG；（3）∵四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)H為對(duì)角線AC中點(diǎn)，∴AH=CH=BH，由圖2知AB=AH，∴AH=BH=AB，∴△ABH為等邊三角形，∴∠ABH=∠AHB=60°，∵∠AMN＝∠ABH；∴∠AMN＝∠ABH=∠AHB=60°，∴∠BAM+∠AMB=180°-∠ABH=120°，∠AMB+∠NMH=180°-∠AMN=120°，即∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠NMH，∴∠BAM=∠NMH，∴△ABM∽△MHN，∴，∵AB=，MH=，∴，∴，故答案為：等邊；，（4）連結(jié)BD，當(dāng)點(diǎn)Q′在BD上時(shí)，Q′D最小∵AB=2，AD=BC=6，∴BC=∵AQ′=Q′H=∴Q′D最小=當(dāng)BQ′⊥BD時(shí)，△BDQ′面積最大∵tan∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC=90°-30°=60°∴tan∠CBQ'=S△BDQ′最大=；故答案為；；6．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積，掌握查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，