基于CBFM-Fe-BI的大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射特性深度剖析與優(yōu)化策略研究一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代通信、雷達、遙感等眾多領域，大規(guī)模復雜陣列天線憑借其卓越的性能優(yōu)勢，發(fā)揮著愈發(fā)關鍵的作用。在5G乃至未來6G通信系統(tǒng)中，大規(guī)模陣列天線技術是實現(xiàn)高速率、大容量通信的核心支撐，能夠有效提升頻譜效率和系統(tǒng)容量，滿足日益增長的通信需求。在雷達領域，大型相控陣雷達依靠大規(guī)模陣列天線，實現(xiàn)對目標的高精度探測、跟蹤與識別，為國防安全提供堅實保障。例如，美國的“宙斯盾”系統(tǒng)中的AN/SPY-1系列相控陣雷達，其大規(guī)模陣列天線可同時跟蹤多個目標，在防空反導等任務中發(fā)揮重要作用。當電磁波照射到大規(guī)模復雜陣列天線上時，會發(fā)生復雜的電磁散射現(xiàn)象。電磁散射特性直接影響著天線的性能，如輻射方向圖、增益、旁瓣電平以及雷達散射截面（RCS）等。準確掌握陣列天線的電磁散射特性，對于天線的優(yōu)化設計、性能評估以及系統(tǒng)的電磁兼容性分析至關重要。若天線的散射特性不佳，可能導致不必要的電磁干擾，影響通信質量和雷達探測精度，甚至可能使整個系統(tǒng)的性能大打折扣。然而，分析大規(guī)模復雜陣列天線的電磁散射問題面臨著諸多挑戰(zhàn)。一方面，隨著陣列規(guī)模的不斷增大以及結構復雜度的提升，傳統(tǒng)的電磁計算方法在處理此類問題時遭遇瓶頸。以矩量法（MoM）為例，作為一種經典的數(shù)值求解方法，雖然在電磁計算領域應用廣泛，但在求解電大尺寸目標時，需要對目標表面或整個目標進行離散化，這使得計算機內存占用量呈指數(shù)級增長，計算速度也大幅下降，難以滿足實際工程需求。另一方面，陣列天線各單元之間存在復雜的互耦效應，進一步增加了電磁散射分析的難度，如何準確考慮互耦影響成為亟待解決的關鍵問題。在這樣的背景下，CBFM-Fe-BI（特征基函數(shù)方法-有限元-邊界積分法）方法應運而生，為解決大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題提供了新的思路和有效途徑。特征基函數(shù)方法（CBFM）通過對目標進行分塊處理，利用奇異值分解等技術生成特征基函數(shù)，從而大幅減少未知量的個數(shù)，降低計算復雜度。有限元法（FE）能夠精確處理復雜的幾何結構和材料特性，在處理具有復雜形狀和非均勻介質的陣列天線時具有獨特優(yōu)勢。邊界積分法（BI）則可有效處理開域問題，將計算區(qū)域限制在目標表面，減少計算量。CBFM-Fe-BI方法有機結合了這三種方法的優(yōu)點，充分發(fā)揮各自的長處，在處理大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題時展現(xiàn)出顯著的優(yōu)勢。它能夠在保證計算精度的前提下，有效降低計算資源的消耗，提高計算效率，為大規(guī)模復雜陣列天線的設計與分析提供了強有力的工具。通過CBFM-Fe-BI方法，我們能夠更加準確地分析陣列天線的電磁散射特性，為天線的優(yōu)化設計提供更可靠的依據(jù)，進而推動相關領域的技術發(fā)展與創(chuàng)新。1.2國內外研究現(xiàn)狀在大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題的研究中，國內外學者已開展了大量工作，并取得了一系列成果。傳統(tǒng)的電磁計算方法如矩量法（MoM）、有限元法（FEM）、時域有限差分法（FDTD）等，在處理簡單結構和小尺寸陣列天線時具有一定的準確性。矩量法作為一種經典的數(shù)值求解方法，能夠精確地求解電磁問題，但對于大規(guī)模復雜陣列天線，由于其需要對目標表面進行精細離散，導致生成的矩陣方程規(guī)模龐大，內存需求和計算時間急劇增加，嚴重限制了其應用范圍。時域有限差分法通過在時間和空間上對麥克斯韋方程組進行離散，能夠直觀地模擬電磁現(xiàn)象，但同樣面臨電大尺寸目標計算效率低下的問題，且在處理復雜材料和邊界條件時存在一定困難。為克服傳統(tǒng)方法的局限性，國內外學者提出了多種改進和混合算法。在國外，一些研究團隊致力于開發(fā)基于快速多極子方法（FMM）的混合算法，如FMM-MoM、FMM-FEM等。快速多極子方法通過將遠場相互作用的計算進行快速近似，大大減少了計算量和內存需求，使得矩量法等傳統(tǒng)方法能夠處理更大規(guī)模的問題。美國的研究人員利用FMM-MoM算法分析大規(guī)模陣列天線的電磁散射特性，在一定程度上提高了計算效率，但在處理復雜結構和材料時，仍存在精度和計算復雜度方面的挑戰(zhàn)。在國內，西安電子科技大學的研究團隊提出了綜合函數(shù)矩量法，該方法通過對模型進行區(qū)域分解并引入等效電流源考慮互耦影響，生成綜合函數(shù)空間，與傳統(tǒng)的阻抗矩陣分塊操作相比，能夠進一步減少儲存空間和計算時間，在分析大型陣列天線散射問題上展現(xiàn)出良好的效果，通過實際算例驗證，單站雷達散射截面的誤差小于2dB，證明了其精確度和有效性。針對大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題，CBFM-Fe-BI方法近年來受到了廣泛關注。該方法最早由國外學者提出，將特征基函數(shù)方法（CBFM）、有限元法（FE）和邊界積分法（BI）有機結合。特征基函數(shù)方法通過對目標進行分塊處理，利用奇異值分解等技術生成特征基函數(shù)，有效減少了未知量個數(shù)，降低了計算復雜度。有限元法能夠精確處理復雜的幾何結構和材料特性，邊界積分法則可有效處理開域問題，將計算區(qū)域限制在目標表面，減少計算量。國外學者在CBFM-Fe-BI方法的理論研究方面取得了一定進展，通過對算法的優(yōu)化和改進，提高了計算精度和效率。國內學者也在積極開展相關研究，將CBFM-Fe-BI方法應用于多種實際的大規(guī)模復雜陣列天線模型，驗證了該方法在處理此類問題時的優(yōu)勢，并針對實際應用中遇到的問題提出了相應的改進措施。然而，目前CBFM-Fe-BI方法仍存在一些有待解決的問題，如特征基函數(shù)的選取和生成算法的優(yōu)化，以進一步提高計算效率和精度；在處理多尺度和強耦合問題時，如何更好地結合三種方法的優(yōu)勢，實現(xiàn)更高效準確的計算等。1.3研究目標與創(chuàng)新點本研究旨在深入探究基于CBFM-Fe-BI的大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題，具體目標如下：一是通過理論分析和數(shù)值計算，建立基于CBFM-Fe-BI的大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射模型，明確各部分的作用機制和相互關系，為后續(xù)研究提供堅實的理論基礎；二是針對CBFM-Fe-BI方法在處理大規(guī)模復雜陣列天線時的計算效率和精度問題，優(yōu)化特征基函數(shù)的選取和生成算法，結合自適應交叉近似等技術，降低計算復雜度，提高計算速度和精度，實現(xiàn)高效準確的電磁散射分析；三是將優(yōu)化后的CBFM-Fe-BI方法應用于多種典型的大規(guī)模復雜陣列天線結構，如微帶貼片天線陣、錐形縫隙天線陣等，分析其電磁散射特性，包括散射場分布、雷達散射截面等，并與傳統(tǒng)方法的計算結果進行對比驗證，以評估該方法的優(yōu)越性和實用性；四是基于研究成果，為大規(guī)模復雜陣列天線的設計和優(yōu)化提供理論依據(jù)和技術支持，提出切實可行的設計建議，以提升天線的性能，滿足實際工程應用的需求。與傳統(tǒng)研究相比，本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面：在方法融合創(chuàng)新上，將CBFM、Fe和BI三種方法進行深度融合，充分發(fā)揮CBFM減少未知量個數(shù)、Fe精確處理復雜幾何結構和材料特性、BI有效處理開域問題的優(yōu)勢，形成獨特的分析體系，解決大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題，這在方法應用的系統(tǒng)性和綜合性上具有創(chuàng)新性；在算法優(yōu)化創(chuàng)新方面，提出基于自適應交叉近似（ACA）的改進CBFM-Fe-BI方法，通過對目標進行多層劃分，利用自適應交叉近似技術加速矩陣-向量乘法運算，進一步提高計算效率，這在算法優(yōu)化思路和技術應用上具有創(chuàng)新性；在模型分析創(chuàng)新上，考慮陣列天線各單元之間復雜的互耦效應，在模型中引入等效電流源或其他有效方式來計入互耦影響，更準確地反映實際電磁散射情況，為天線性能分析提供更精確的結果，在模型構建和影響因素考慮方面具有創(chuàng)新性。二、CBFM-Fe-BI相關理論基礎2.1特征基函數(shù)方法（CBFM）原理特征基函數(shù)方法（CBFM）作為一種高效的電磁計算方法，其核心在于通過對目標進行分塊處理，并運用奇異值分解等技術生成特征基函數(shù)，從而顯著降低未知量的數(shù)量，有效提升計算效率。在處理大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題時，CBFM展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢，能夠突破傳統(tǒng)方法在計算資源和效率上的限制。2.1.1第一類特征基函數(shù)第一類特征基函數(shù)是CBFM的重要組成部分。其定義基于目標的幾何結構和電磁特性，通過對目標進行合理的分塊離散化，將每個子塊視為一個獨立的單元。對于每個子塊，利用矩量法等數(shù)值方法求解其電磁響應，得到一系列的電流分布向量。然后，運用奇異值分解（SVD）技術對這些電流分布向量進行處理。具體而言，設第i個子塊的電流分布向量矩陣為\mathbf{J}_i，通過奇異值分解可得到\mathbf{J}_i=\mathbf{U}_i\mathbf{\Sigma}_i\mathbf{V}_i^T，其中\(zhòng)mathbf{U}_i和\mathbf{V}_i分別為左、右奇異向量矩陣，\mathbf{\Sigma}_i為奇異值對角矩陣。第一類特征基函數(shù)\mathbf{\varphi}_{i,k}（k=1,2,\cdots,r_i，r_i為保留的奇異值個數(shù)）由\mathbf{U}_i的前r_i列向量構成，即\mathbf{\varphi}_{i,k}=\mathbf{u}_{i,k}。這些特征基函數(shù)具有良好的正交性和完備性，能夠有效地表示子塊上的電流分布。在電磁散射問題中，第一類特征基函數(shù)起著關鍵作用。當電磁波照射到目標上時，目標表面會感應出電流，而第一類特征基函數(shù)可以準確地描述這些電流的分布情況。通過將目標表面的電流用第一類特征基函數(shù)展開，能夠大大減少未知量的個數(shù)，從而降低計算復雜度。在分析一個電大尺寸的金屬平板的電磁散射時，若直接采用傳統(tǒng)矩量法，未知量的數(shù)量會非常龐大，導致計算量巨大。而利用CBFM的第一類特征基函數(shù)，將金屬平板劃分為多個子塊，對每個子塊生成特征基函數(shù)，然后用這些特征基函數(shù)來表示平板表面的電流分布，未知量的個數(shù)可大幅減少，同時能夠保證計算精度。第一類特征基函數(shù)還能夠有效地處理目標的局部特性，對于復雜結構的目標，能夠更好地捕捉其細節(jié)信息，提高電磁散射分析的準確性。2.1.2第二類特征基函數(shù)第二類特征基函數(shù)在CBFM中也具有重要地位，它與第一類特征基函數(shù)相互補充，共同提升了CBFM的計算能力。第二類特征基函數(shù)主要用于考慮子塊之間的耦合效應。在實際的大規(guī)模復雜陣列天線中，各子塊之間存在著復雜的電磁耦合，這種耦合效應會對電磁散射特性產生顯著影響。第二類特征基函數(shù)的生成方式與第一類有所不同。它是通過考慮相鄰子塊之間的相互作用來構建的。對于相鄰的子塊i和j，計算它們之間的互阻抗矩陣\mathbf{Z}_{ij}。然后，基于互阻抗矩陣和第一類特征基函數(shù)，通過一定的數(shù)學變換生成第二類特征基函數(shù)。具體來說，設\mathbf{\varphi}_{i,k}和\mathbf{\varphi}_{j,l}分別為子塊i和j的第一類特征基函數(shù)，通過求解方程\sum_{l=1}^{r_j}\mathbf{Z}_{ij}\mathbf{\varphi}_{j,l}\alpha_{j,l,k}=\lambda_{i,k}\mathbf{\varphi}_{i,k}（其中\(zhòng)alpha_{j,l,k}為系數(shù)，\lambda_{i,k}為特征值），得到與子塊i相關的第二類特征基函數(shù)。與第一類特征基函數(shù)相比，第二類特征基函數(shù)更側重于描述子塊之間的耦合關系。第一類特征基函數(shù)主要關注單個子塊上的電流分布，而第二類特征基函數(shù)則考慮了不同子塊之間的電磁相互作用。在分析大型相控陣天線的電磁散射時，各天線單元之間存在著強烈的互耦，僅用第一類特征基函數(shù)無法準確描述這種互耦效應，而第二類特征基函數(shù)能夠有效地計入互耦影響，從而更準確地分析天線的電磁散射特性。在復雜模型分析中，第二類特征基函數(shù)的應用優(yōu)勢尤為明顯。對于具有復雜幾何結構和材料特性的大規(guī)模復雜陣列天線，其內部的電磁耦合關系錯綜復雜。第二類特征基函數(shù)能夠通過對互阻抗矩陣的處理，全面考慮這些耦合關系，為準確分析電磁散射特性提供有力支持。在處理多層介質結構的陣列天線時，不同層之間以及同一層不同子塊之間都存在電磁耦合，第二類特征基函數(shù)可以通過構建合適的模型，準確地反映這些耦合效應，使得分析結果更加符合實際情況。2.2矢量有限元-邊界積分（FE-BI）方法矢量有限元-邊界積分（FE-BI）方法作為一種高效的電磁計算方法，在處理大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題時具有獨特的優(yōu)勢。它有機地結合了有限元法（FE）和邊界積分法（BI）的優(yōu)點，既能精確處理復雜的幾何結構和材料特性，又能有效處理開域問題，大大提高了計算效率和精度。2.2.1有限元區(qū)域離散和基函數(shù)選取有限元區(qū)域離散是FE-BI方法的關鍵步驟之一。其原則是在保證計算精度的前提下，盡可能地減少計算量。通常，根據(jù)陣列天線的幾何形狀和結構特點，將計算區(qū)域劃分為一系列互不重疊的小單元，如三角形單元、四面體單元等。在劃分單元時，需要考慮單元的尺寸、形狀和分布，以確保能夠準確地描述目標的幾何特征和電磁特性。對于復雜形狀的陣列天線，采用自適應網格劃分技術，根據(jù)電場強度的變化情況自動調整單元的大小和密度，在電場變化劇烈的區(qū)域使用較小的單元，以提高計算精度；在電場變化平緩的區(qū)域使用較大的單元，以減少計算量。基函數(shù)的選取對計算精度和效率有著至關重要的影響。常用的基函數(shù)包括拉格朗日插值基函數(shù)、棱邊元基函數(shù)等。拉格朗日插值基函數(shù)是基于多項式插值構造的，具有簡單、易于實現(xiàn)的優(yōu)點，但在處理矢量場問題時，容易出現(xiàn)偽解。棱邊元基函數(shù)則是專門為處理矢量場問題而設計的，它以棱邊為插值對象，能夠準確地描述矢量場的切向連續(xù)性，有效避免了偽解的出現(xiàn)。在實際應用中，根據(jù)具體問題的需求和特點選擇合適的基函數(shù)。對于具有復雜幾何結構和材料特性的大規(guī)模復雜陣列天線，采用高階棱邊元基函數(shù)，以提高計算精度；對于一些簡單的問題，采用低階棱邊元基函數(shù)或拉格朗日插值基函數(shù)，以減少計算量。2.2.2FE-BI有限元部分公式推導在FE-BI方法中，有限元部分主要用于處理陣列天線內部的電磁場問題。根據(jù)麥克斯韋方程組，在時諧場情況下，電場強度\mathbf{E}和磁場強度\mathbf{H}滿足以下方程：\nabla\times\mathbf{H}=j\omega\epsilon\mathbf{E}+\mathbf{J}（1）\nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\mathbf{H}（2）其中，其中，\omega為角頻率，\epsilon為介電常數(shù)，\mu為磁導率，\mathbf{J}為電流密度。采用伽遼金法對上述方程進行離散化。將計算區(qū)域劃分為N個單元，在每個單元內，電場強度\mathbf{E}可以用基函數(shù)\mathbf{N}_i展開：\mathbf{E}=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{N}_i\mathbf{e}_i（3）其中，其中，\mathbf{e}_i為展開系數(shù)。將式（3）代入式（1），并在每個單元上進行積分，得到：\int_{\Omega}\nabla\times\mathbf{N}_j\cdot\nabla\times\mathbf{N}_id\Omega\mathbf{e}_i=j\omega\epsilon\int_{\Omega}\mathbf{N}_j\cdot\mathbf{N}_id\Omega\mathbf{e}_i+\int_{\Omega}\mathbf{N}_j\cdot\mathbf{J}d\Omega（4）其中，其中，\Omega為單元的體積。對式（4）進行整理，得到有限元部分的矩陣方程：\mathbf{K}\mathbf{e}=\mathbf{Z}\mathbf{e}+\mathbf{V}（5）其中，其中，\mathbf{K}為剛度矩陣，\mathbf{Z}為阻抗矩陣，\mathbf{V}為激勵向量。有限元部分公式的物理意義在于將連續(xù)的電磁場問題離散化為代數(shù)方程組，通過求解該方程組得到電場強度在各個節(jié)點上的值。這些值反映了陣列天線內部電磁場的分布情況，為后續(xù)的電磁散射分析提供了基礎。在整體算法中，有限元部分公式起著核心作用，它與邊界積分部分公式相互配合，共同求解大規(guī)模復雜陣列天線的電磁散射問題。2.2.3FE-BI邊界積分公式推導邊界積分部分主要用于處理陣列天線表面的電磁場問題以及開域問題。根據(jù)格林第二公式，電場強度\mathbf{E}可以表示為：\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{S}\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+\nabla'\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\nabla'G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\right]dS'（6）其中，其中，S為陣列天線的表面，\mathbf{r}為場點坐標，\mathbf{r}'為源點坐標，G(\mathbf{r},\mathbf{r}')為格林函數(shù)。對式（6）在邊界上進行積分，并利用邊界條件\mathbf{n}\times\mathbf{E}=0（\mathbf{n}為邊界的法向量），得到邊界積分方程：\mathbf{n}\times\int_{S}\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+\nabla'\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\nabla'G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\right]dS'=0（7）采用矩量法對式（7）進行離散化。將邊界S劃分為M個小單元，在每個單元上，電流密度\mathbf{J}可以用基函數(shù)\mathbf{f}_k展開：\mathbf{J}=\sum_{k=1}^{m}\mathbf{f}_k\mathbf{j}_k（8）其中，其中，\mathbf{j}_k為展開系數(shù)。將式（8）代入式（7），并在每個單元上進行積分，得到：\sum_{k=1}^{m}\left[\int_{S}\mathbf{n}\times\mathbf{f}_l\cdot\mathbf{f}_kG(\mathbf{r},\mathbf{r}')dS'\mathbf{j}_k+\int_{S}\mathbf{n}\times\mathbf{f}_l\cdot\nabla'\times\mathbf{f}_k\times\nabla'G(\mathbf{r},\mathbf{r}')dS'\mathbf{j}_k\right]=0（9）對式（9）進行整理，得到邊界積分部分的矩陣方程：\mathbf{Z}_\mathbf{j}=\mathbf{V}_（10）其中，其中，\mathbf{Z}_為邊界阻抗矩陣，\mathbf{j}為電流密度系數(shù)向量，\mathbf{V}_為邊界激勵向量。邊界條件的處理方式直接影響著邊界積分公式的推導和結果的準確性。在實際應用中，需要根據(jù)具體的邊界條件選擇合適的處理方法。對于理想導體邊界，采用\mathbf{n}\times\mathbf{E}=0的邊界條件；對于介質邊界，采用\mathbf{n}\times(\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)=0和\mathbf{n}\cdot(\epsilon_1\mathbf{E}_1-\epsilon_2\mathbf{E}_2)=0的邊界條件。不同的邊界條件會導致邊界積分方程的形式和求解方法有所不同，進而影響計算結果。如果邊界條件處理不當，可能會導致計算結果出現(xiàn)誤差甚至錯誤。2.2.4FE-BI方程結合與求解為了求解大規(guī)模復雜陣列天線的電磁散射問題，需要將有限元部分和邊界積分部分的方程結合起來。通過在邊界上匹配電場強度和磁場強度的切向分量，建立起有限元區(qū)域和邊界積分區(qū)域之間的聯(lián)系。具體來說，將有限元部分得到的邊界電場強度作為邊界積分部分的激勵，同時將邊界積分部分得到的邊界電流密度作為有限元部分的源項，從而實現(xiàn)兩個部分的耦合。得到耦合后的方程組后，可采用多種方法進行求解。常用的方法包括直接求解法和迭代求解法。直接求解法如高斯消去法、LU分解法等，適用于小規(guī)模問題，能夠直接得到方程組的精確解，但對于大規(guī)模問題，由于計算量和內存需求過大，往往難以實現(xiàn)。迭代求解法如共軛梯度法、廣義最小殘差法（GMRES）等，通過迭代逐步逼近方程組的解，具有計算量小、內存需求低的優(yōu)點，適合求解大規(guī)模方程組。在實際應用中，根據(jù)方程組的規(guī)模、稀疏性以及計算資源等因素選擇合適的求解方法。還可以采用預處理技術來加速迭代求解過程，如不完全Cholesky分解預處理、多項式預處理等，通過對系數(shù)矩陣進行預處理，改善矩陣的條件數(shù)，提高迭代收斂速度。2.3奇異值分解技術（SVD）在CBFM中的應用2.3.1奇異值分解基本原理奇異值分解（SVD）是線性代數(shù)中一種極為重要的矩陣分解方法，在眾多領域都有著廣泛的應用。對于任意一個m\timesn的矩陣\mathbf{A}，都存在一個分解使得\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^T。其中，\mathbf{U}是一個m\timesm的酉矩陣，其列向量\mathbf{u}_i（i=1,2,\cdots,m）是\mathbf{A}\mathbf{A}^T的特征向量，構成了一組對\mathbf{A}的正交“輸入”基向量；\mathbf{\Sigma}是一個m\timesn的半正定對角矩陣，對角線上的元素\sigma_i（i=1,2,\cdots,\min(m,n)）為\mathbf{A}的奇異值，且通常按從大到小的順序排列，這些奇異值可視為是在輸入與輸出間進行的標量的“膨脹控制”，反映了矩陣\mathbf{A}在不同方向上的“能量”分布；\mathbf{V}是一個n\timesn的酉矩陣，其列向量\mathbf{v}_j（j=1,2,\cdots,n）是\mathbf{A}^T\mathbf{A}的特征向量，構成了一組對\mathbf{A}的正交“輸出”基向量。從幾何意義上看，SVD可以理解為對線性變換的一種分解。假設\mathbf{A}表示一個線性變換，那么\mathbf{V}^T表示對原始向量空間的一種旋轉或反射變換，它將標準正交基變換到一個新的正交基；\mathbf{\Sigma}表示在新的正交基上進行拉伸或縮放變換，拉伸的程度由奇異值決定；\mathbf{U}表示對經過拉伸后的向量進行再次旋轉或反射變換，將其映射到最終的向量空間。在二維空間中，對于一個矩陣\mathbf{A}，\mathbf{V}^T可能將平面上的向量旋轉一定角度，\mathbf{\Sigma}根據(jù)奇異值對旋轉后的向量在不同方向上進行拉伸，\mathbf{U}再將拉伸后的向量旋轉到最終的位置。在矩陣分析中，SVD具有重要作用。它是正規(guī)矩陣酉對角化的推廣，能夠處理任意矩陣，而不限于對稱矩陣等特殊矩陣。通過SVD，可以方便地計算矩陣的偽逆，若矩陣\mathbf{A}的奇異值分解為\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^T，那么\mathbf{A}的偽逆為\mathbf{A}^+=\mathbf{V}\mathbf{\Sigma}^+\mathbf{U}^T，其中\(zhòng)mathbf{\Sigma}^+是將\mathbf{\Sigma}主對角線上每個非零元素都求倒數(shù)之后再轉置得到的，這在求解線性最小二乘、最小二乘法問題中有著重要應用。SVD在數(shù)據(jù)降維、信號處理、圖像處理等領域也發(fā)揮著關鍵作用。在主成分分析（PCA）中，通過SVD對數(shù)據(jù)矩陣進行分解，選取較大的奇異值對應的奇異向量，可以將高維數(shù)據(jù)映射到低維空間，在保留數(shù)據(jù)主要特征的同時降低數(shù)據(jù)維度，減少數(shù)據(jù)處理的復雜度。2.3.2CBFM中SVD技術的作用與實現(xiàn)在CBFM中，SVD技術發(fā)揮著至關重要的作用。它主要用于降維與提取關鍵信息。在處理大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題時，傳統(tǒng)方法往往會產生大量的未知量，導致計算復雜度急劇增加。而CBFM通過對目標進行分塊處理，利用SVD技術生成特征基函數(shù)，能夠有效地減少未知量的個數(shù)。對于每個子塊，通過對其電流分布向量矩陣進行SVD分解，選取較大奇異值對應的奇異向量作為特征基函數(shù)，這些特征基函數(shù)能夠準確地表示子塊上電流分布的主要特征，從而用較少的特征基函數(shù)就可以近似表示子塊的電磁響應，實現(xiàn)了降維的目的。SVD技術還能夠提取關鍵信息，通過奇異值的大小可以判斷不同特征基函數(shù)對電磁散射的貢獻程度，奇異值較大的特征基函數(shù)對應的電磁響應在整體中占主導地位，反映了目標的主要電磁特性。SVD技術在CBFM中的實現(xiàn)步驟如下：首先，對目標進行分塊離散化，將每個子塊視為一個獨立的單元，利用矩量法等數(shù)值方法求解每個子塊在不同激勵下的電磁響應，得到相應的電流分布向量矩陣。對于一個包含多個子塊的大規(guī)模復雜陣列天線，對每個子塊分別施加不同方向的入射電磁波，計算出每個子塊在這些入射波下表面感應的電流分布，形成電流分布向量矩陣。然后，對每個子塊的電流分布向量矩陣進行SVD分解，得到左奇異向量矩陣\mathbf{U}、奇異值對角矩陣\mathbf{\Sigma}和右奇異向量矩陣\mathbf{V}^T。根據(jù)一定的準則，如選取奇異值大于某個閾值的奇異向量，或者保留前k個最大奇異值對應的奇異向量，確定用于表示子塊電流分布的特征基函數(shù)。將這些特征基函數(shù)應用于后續(xù)的電磁散射計算中，通過求解基于特征基函數(shù)展開的矩陣方程，得到目標的電磁散射特性。在實現(xiàn)過程中，有一些注意事項。奇異值閾值的選取或保留奇異值的個數(shù)k對計算結果有著重要影響。如果閾值選取過高或k值過小，可能會丟失一些重要信息，導致計算精度下降；反之，如果閾值選取過低或k值過大，則無法有效降低計算復雜度，失去了SVD技術的優(yōu)勢。在實際應用中，需要根據(jù)具體問題進行多次試驗，結合計算精度和效率的要求，合理確定閾值或k值。還需要考慮計算資源的限制，SVD分解本身的計算量較大，尤其是對于大規(guī)模矩陣，因此在實現(xiàn)過程中要選擇合適的算法和計算平臺，以提高計算效率。2.4自適應交叉近似（ACA）算法2.4.1目標多層劃分在處理大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題時，目標多層劃分是基于自適應交叉近似（ACA）算法的關鍵步驟。這一過程主要依據(jù)目標的幾何和物理特性展開，旨在將目標合理地劃分為多個層次，從而更高效地進行電磁計算。從幾何特性角度來看，目標的形狀、尺寸以及復雜程度是劃分的重要參考。對于具有復雜幾何形狀的大規(guī)模陣列天線，如包含不規(guī)則貼片、彎曲結構的微帶天線陣，會優(yōu)先考慮將其劃分為不同的幾何區(qū)域。根據(jù)貼片的形狀和分布，將天線陣劃分為若干個具有相似幾何特征的子區(qū)域，對于尺寸較大的子區(qū)域，進一步按照一定的規(guī)則進行細分。這種基于幾何特性的劃分方式，能夠使每個子區(qū)域內的幾何特征相對簡單和統(tǒng)一，便于后續(xù)對電磁散射特性的分析和計算。它可以有效減少由于復雜幾何形狀帶來的計算復雜度，提高計算的準確性。通過將復雜的幾何形狀分解為多個相對簡單的子區(qū)域，可以更精確地描述每個子區(qū)域內的電磁場分布，避免因幾何形狀過于復雜而導致的計算誤差。從物理特性角度出發(fā)，目標的電磁特性，如電導率、磁導率、介電常數(shù)等，也是劃分的重要依據(jù)。對于具有不同材料特性的大規(guī)模復雜陣列天線，如包含金屬、介質等多種材料的天線結構，會根據(jù)材料的不同將其劃分為不同的物理區(qū)域。將金屬部分劃分為一個區(qū)域，將介質部分劃分為另一個區(qū)域。對于同一材料但電磁特性在不同部位存在差異的情況，也會根據(jù)電磁特性的變化進行進一步劃分。這種基于物理特性的劃分方式，能夠充分考慮目標不同部位的電磁特性差異，使計算結果更符合實際情況。它可以避免因忽視物理特性差異而導致的計算偏差，提高電磁散射分析的可靠性。通過將具有不同物理特性的部分分開處理，可以更準確地計算每個部分對電磁散射的貢獻，從而更全面地了解整個目標的電磁散射特性。目標多層劃分具有顯著的優(yōu)勢。一方面，它可以降低計算復雜度。通過將大規(guī)模目標劃分為多個層次和子區(qū)域，每個子區(qū)域的規(guī)模和復雜度都相對減小，從而減少了計算量。在計算電磁散射時，只需對每個子區(qū)域進行獨立計算，然后再將結果進行綜合，避免了對整個大規(guī)模目標進行直接計算所帶來的巨大計算負擔。另一方面，它能夠提高計算精度。合理的劃分可以使每個子區(qū)域內的幾何和物理特性更加均勻，便于采用更合適的計算方法和參數(shù)，從而提高計算精度。對于不同材料的區(qū)域，可以根據(jù)其材料特性選擇更精確的電磁模型和計算參數(shù)，減少計算誤差。2.4.2ACA基本原理自適應交叉近似（ACA）算法作為一種高效的矩陣近似算法，在大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題的計算中發(fā)揮著重要作用。其基本思想是通過對矩陣進行自適應的交叉近似，將一個滿秩的大型矩陣近似表示為兩個低秩矩陣的乘積，從而有效降低計算復雜度。具體而言，ACA算法的迭代過程如下。假設我們有一個m\timesn的矩陣\mathbf{Z}，需要對其進行近似。首先，隨機選擇矩陣\mathbf{Z}的一列j，根據(jù)這一列的元素計算出近似矩陣\mathbf{U}的第k列。然后，在\mathbf{U}的這一列中尋找其范數(shù)最大值的元素及其行指數(shù)i。接著，由矩陣\mathbf{Z}的第i行計算出近似矩陣\mathbf{V}的第k列。在得到\mathbf{U}和\mathbf{V}的第k列后，計算當前近似矩陣\mathbf{U}\mathbf{V}^T與原矩陣\mathbf{Z}之間的誤差。若誤差滿足預設的精度要求，則結束迭代；否則，使k=k+1，進入下一次迭代，繼續(xù)計算\mathbf{U}和\mathbf{V}的下一列，直到誤差滿足條件為止。該算法的收斂條件通常基于誤差準則來確定。常用的誤差準則是判斷近似矩陣與原矩陣之間的相對誤差是否小于一個預先設定的閾值\epsilon。即計算\frac{\|\mathbf{Z}-\mathbf{U}\mathbf{V}^T\|}{\|\mathbf{Z}\|}<\epsilon，其中\(zhòng)|\cdot\|表示矩陣的某種范數(shù)，如Frobenius范數(shù)或2-范數(shù)。當該不等式成立時，認為算法收斂，此時得到的近似矩陣\mathbf{U}\mathbf{V}^T可以替代原矩陣\mathbf{Z}進行后續(xù)計算。在實際應用中，閾值\epsilon的選擇需要綜合考慮計算精度和計算效率的要求。若\epsilon取值過小，雖然可以獲得更高的計算精度，但會增加迭代次數(shù)和計算時間；若\epsilon取值過大，則可能導致計算精度不足。因此，需要根據(jù)具體問題進行多次試驗，選擇合適的閾值。2.4.3基于ACA的特征基函數(shù)方法將自適應交叉近似（ACA）算法與特征基函數(shù)方法（CBFM）相結合，為解決大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題提供了更高效的途徑。在CBFM中，通過對目標進行分塊處理，生成特征基函數(shù)來減少未知量個數(shù)，從而降低計算復雜度。然而，在處理大規(guī)模問題時，CBFM中涉及的矩陣運算仍然可能面臨計算量過大的問題。而ACA算法能夠對這些矩陣進行有效的近似處理，進一步提高計算效率。具體實現(xiàn)方式如下：在CBFM生成特征基函數(shù)后，對于與特征基函數(shù)相關的矩陣，如阻抗矩陣，運用ACA算法進行近似。通過ACA算法將這些矩陣近似表示為低秩矩陣的乘積，在后續(xù)的矩陣-向量乘法運算中，使用近似后的低秩矩陣，從而大大減少計算量。在計算電磁散射場時，需要進行多次矩陣-向量乘法運算，使用基于ACA的近似矩陣可以顯著提高計算速度。這種結合方式在大規(guī)模問題中具有明顯的應用優(yōu)勢。它能夠有效降低計算復雜度，減少內存需求。在處理電大尺寸的大規(guī)模復雜陣列天線時，傳統(tǒng)方法可能需要大量的內存來存儲和處理龐大的矩陣，而基于ACA的CBFM方法通過矩陣近似，減少了矩陣的存儲量和計算量，使得在有限的計算資源下能夠處理更大規(guī)模的問題。它還能提高計算精度。雖然ACA算法是一種近似算法，但通過合理設置近似精度，可以在保證一定精度的前提下，快速得到較為準確的計算結果。在實際應用中，通過調整ACA算法的收斂閾值，可以根據(jù)具體需求平衡計算精度和計算效率，滿足不同工程應用的要求。三、基于CBFM-Fe-BI的算法構建與分析3.1CBFM-Fe-BI混合算法基本原理3.1.1算法整體框架CBFM-Fe-BI混合算法旨在融合特征基函數(shù)方法（CBFM）、有限元法（FE）和邊界積分法（BI）的優(yōu)勢，以高效且準確地求解大規(guī)模復雜陣列天線的電磁散射問題。其整體框架如圖1所示，涵蓋了前處理、計算求解和后處理三個主要模塊。[此處插入CBFM-Fe-BI混合算法整體框架圖1][此處插入CBFM-Fe-BI混合算法整體框架圖1]前處理模塊是算法運行的首要環(huán)節(jié)，其核心任務是對大規(guī)模復雜陣列天線進行全面且細致的建模。在這一過程中，需依據(jù)天線的實際幾何結構，運用專業(yè)的建模軟件，將其精確地劃分為多個子區(qū)域。對于每個子區(qū)域，進一步依據(jù)其幾何形狀、材料特性等因素，確定適宜的離散化方式。針對形狀規(guī)則、材料均勻的子區(qū)域，可采用較為簡單的網格劃分方式；而對于形狀復雜、材料多樣的子區(qū)域，則需運用自適應網格劃分技術，確保網格的精細度能夠準確捕捉電磁特性的變化。對于包含不規(guī)則貼片和多種材料的微帶天線陣，在對貼片部分進行網格劃分時，要根據(jù)貼片的形狀和尺寸，合理調整網格密度，以保證對電磁特性的準確描述。還需明確各個子區(qū)域的材料參數(shù)，如介電常數(shù)、磁導率、電導率等，這些參數(shù)將直接影響后續(xù)的電磁計算。計算求解模塊是整個算法的核心部分，它由CBFM、FE和BI三個子模塊協(xié)同工作。CBFM子模塊通過對每個子區(qū)域進行分塊處理，運用奇異值分解（SVD）技術，生成能夠有效表征子區(qū)域電磁特性的特征基函數(shù)。具體而言，對于每個子區(qū)域，收集其在不同激勵下的電磁響應數(shù)據(jù)，構建電流分布向量矩陣，然后對該矩陣進行SVD分解，選取具有較大奇異值對應的奇異向量作為特征基函數(shù)。這些特征基函數(shù)能夠以較少的數(shù)量，準確地描述子區(qū)域的電磁響應，從而顯著減少未知量的個數(shù)，降低計算復雜度。FE子模塊專注于處理陣列天線內部的電磁場問題。它基于有限元法的基本原理，將天線內部的連續(xù)電磁場問題離散化為代數(shù)方程組。通過對計算區(qū)域進行合理的網格劃分，并選取合適的基函數(shù)，如棱邊元基函數(shù)，將麥克斯韋方程組在每個網格單元上進行離散化處理，得到有限元部分的矩陣方程。在處理具有復雜幾何結構和材料特性的陣列天線內部電磁場時，F(xiàn)E子模塊能夠充分發(fā)揮其精確描述復雜結構和材料特性的優(yōu)勢。BI子模塊主要負責處理陣列天線表面的電磁場問題以及開域問題。它依據(jù)格林函數(shù)和邊界積分方程，將電磁散射問題轉化為在天線表面上的積分方程。通過對天線表面進行離散化，將積分方程轉化為矩陣方程，從而求解出天線表面的電流分布和散射場。在處理開域問題時，BI子模塊能夠有效地將計算區(qū)域限制在天線表面，避免了對無限大空間的直接計算，減少了計算量。在計算求解模塊中，CBFM、FE和BI三個子模塊并非獨立工作，而是相互協(xié)作，實現(xiàn)數(shù)據(jù)的交互與共享。CBFM子模塊生成的特征基函數(shù)，為FE和BI子模塊提供了更為高效的電磁特性描述方式，減少了計算未知量。FE子模塊計算得到的天線內部電磁場信息，為BI子模塊提供了邊界條件，而BI子模塊求解得到的天線表面電流分布和散射場信息，又反饋給FE子模塊，用于進一步優(yōu)化計算結果。后處理模塊是算法的最后環(huán)節(jié)，其主要功能是對計算求解模塊得到的結果進行分析和可視化展示。在分析方面，通過對計算結果的深入研究，提取出如散射場分布、雷達散射截面（RCS）等關鍵電磁特性參數(shù)。這些參數(shù)對于評估陣列天線的性能具有重要意義，能夠為天線的優(yōu)化設計提供有力依據(jù)。在可視化展示方面，運用專業(yè)的繪圖軟件，將散射場分布以直觀的圖形方式呈現(xiàn)出來，使研究人員能夠清晰地觀察到電磁場在空間中的分布情況。通過繪制不同頻率下的RCS曲線，直觀地展示天線在不同頻率下的散射特性。3.1.2數(shù)據(jù)交互與協(xié)同機制在CBFM-Fe-BI混合算法中，CBFM與Fe-BI部分之間存在著緊密的數(shù)據(jù)交互與協(xié)同工作機制，這是確保算法準確性和高效性的關鍵。從數(shù)據(jù)流向來看，在前處理階段，對大規(guī)模復雜陣列天線進行建模和離散化后，得到的幾何模型和材料參數(shù)等數(shù)據(jù)，會同時被CBFM和Fe-BI部分接收。CBFM部分依據(jù)這些數(shù)據(jù)，對每個子區(qū)域進行分塊處理，利用奇異值分解技術生成特征基函數(shù)。這些特征基函數(shù)作為一種高效的電磁特性描述方式，被傳遞給Fe-BI部分。Fe-BI部分在求解有限元方程和邊界積分方程時，會利用這些特征基函數(shù)來減少未知量的個數(shù)，從而降低計算復雜度。在有限元區(qū)域離散和基函數(shù)選取過程中，結合CBFM生成的特征基函數(shù)，可以更準確地描述電磁場的分布，提高計算精度。在計算過程中，CBFM和Fe-BI部分之間的數(shù)據(jù)交互更為頻繁。FE部分在計算陣列天線內部電磁場時，會將得到的邊界電場強度信息傳遞給BI部分。BI部分利用這些邊界電場強度作為激勵，結合邊界積分方程，求解出天線表面的電流分布和散射場。然后，BI部分又將求解得到的天線表面電流分布信息反饋給FE部分，F(xiàn)E部分根據(jù)這些電流分布信息，進一步優(yōu)化內部電磁場的計算。在處理多層介質結構的陣列天線時，F(xiàn)E部分計算得到的不同介質層邊界處的電場強度，會被BI部分用于計算表面電流分布，而BI部分得到的表面電流分布又會影響FE部分對下一次迭代中內部電磁場的計算。為了確保計算的準確性和高效性，CBFM和Fe-BI部分之間的數(shù)據(jù)交互遵循一定的規(guī)則。在數(shù)據(jù)傳遞過程中，需要保證數(shù)據(jù)的準確性和完整性。對傳遞的數(shù)據(jù)進行嚴格的校驗，確保數(shù)據(jù)在傳輸過程中沒有出現(xiàn)錯誤或丟失。在數(shù)據(jù)的使用上，CBFM和Fe-BI部分需要根據(jù)各自的計算需求，合理地利用對方傳遞過來的數(shù)據(jù)。FE部分在利用CBFM生成的特征基函數(shù)時，要根據(jù)有限元計算的特點，選擇合適的特征基函數(shù)組合，以提高計算效率和精度。還需要考慮數(shù)據(jù)交互的時機。在計算過程中，選擇合適的時間點進行數(shù)據(jù)交互，避免因數(shù)據(jù)交互過早或過晚而影響計算結果。在迭代計算過程中，在每次迭代結束后，及時進行數(shù)據(jù)交互，以便利用最新的計算結果進行下一次迭代。通過合理的數(shù)據(jù)交互與協(xié)同機制，CBFM-Fe-BI混合算法能夠充分發(fā)揮各部分的優(yōu)勢，實現(xiàn)對大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題的高效準確求解。3.2CBFM-Fe-BI混合算法公式推導在基于CBFM-Fe-BI的大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題研究中，公式推導是深入理解和應用該算法的關鍵。我們從基本電磁理論出發(fā)，逐步推導出適用于大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射計算的表達式。首先，根據(jù)麥克斯韋方程組，在時諧場情況下，電場強度\mathbf{E}和磁場強度\mathbf{H}滿足以下方程：\nabla\times\mathbf{H}=j\omega\epsilon\mathbf{E}+\mathbf{J}（11）\nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\mathbf{H}（12）其中，其中，\omega為角頻率，\epsilon為介電常數(shù)，\mu為磁導率，\mathbf{J}為電流密度。對于大規(guī)模復雜陣列天線，我們將其劃分為多個子區(qū)域，在每個子區(qū)域內采用有限元法進行離散化處理。設第i個子區(qū)域的電場強度\mathbf{E}_i可以用基函數(shù)\mathbf{N}_{i,k}展開：\mathbf{E}_i=\sum_{k=1}^{n_i}\mathbf{N}_{i,k}\mathbf{e}_{i,k}（13）其中，其中，\mathbf{e}_{i,k}為展開系數(shù)，n_i為第i個子區(qū)域的基函數(shù)個數(shù)。將式（13）代入式（11），并在第i個子區(qū)域\Omega_i上進行積分，得到：\int_{\Omega_i}\nabla\times\mathbf{N}_{i,j}\cdot\nabla\times\mathbf{N}_{i,k}d\Omega_i\mathbf{e}_{i,k}=j\omega\epsilon\int_{\Omega_i}\mathbf{N}_{i,j}\cdot\mathbf{N}_{i,k}d\Omega_i\mathbf{e}_{i,k}+\int_{\Omega_i}\mathbf{N}_{i,j}\cdot\mathbf{J}_id\Omega_i（14）對式（14）進行整理，得到有限元部分在第對式（14）進行整理，得到有限元部分在第i個子區(qū)域的矩陣方程：\mathbf{K}_i\mathbf{e}_i=\mathbf{Z}_i\mathbf{e}_i+\mathbf{V}_i（15）其中，其中，\mathbf{K}_i為第i個子區(qū)域的剛度矩陣，\mathbf{Z}_i為第i個子區(qū)域的阻抗矩陣，\mathbf{V}_i為第i個子區(qū)域的激勵向量。接下來考慮邊界積分部分。根據(jù)格林第二公式，電場強度\mathbf{E}可以表示為：\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi}\int_{S}\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+\nabla'\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\nabla'G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\right]dS'（16）其中，其中，S為陣列天線的表面，\mathbf{r}為場點坐標，\mathbf{r}'為源點坐標，G(\mathbf{r},\mathbf{r}')為格林函數(shù)。對式（16）在邊界S上進行積分，并利用邊界條件\mathbf{n}\times\mathbf{E}=0（\mathbf{n}為邊界的法向量），得到邊界積分方程：\mathbf{n}\times\int_{S}\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')G(\mathbf{r},\mathbf{r}')+\nabla'\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\nabla'G(\mathbf{r},\mathbf{r}')\right]dS'=0（17）采用矩量法對式（17）進行離散化。將邊界S劃分為M個小單元，在每個單元上，電流密度\mathbf{J}可以用基函數(shù)\mathbf{f}_m展開：\mathbf{J}=\sum_{m=1}^{M}\mathbf{f}_m\mathbf{j}_m（18）其中，其中，\mathbf{j}_m為展開系數(shù)。將式（18）代入式（17），并在每個單元上進行積分，得到：\sum_{m=1}^{M}\left[\int_{S}\mathbf{n}\times\mathbf{f}_l\cdot\mathbf{f}_mG(\mathbf{r},\mathbf{r}')dS'\mathbf{j}_m+\int_{S}\mathbf{n}\times\mathbf{f}_l\cdot\nabla'\times\mathbf{f}_m\times\nabla'G(\mathbf{r},\mathbf{r}')dS'\mathbf{j}_m\right]=0（19）對式（19）進行整理，得到邊界積分部分的矩陣方程：\mathbf{Z}_\mathbf{j}=\mathbf{V}_（20）其中，其中，\mathbf{Z}_為邊界阻抗矩陣，\mathbf{j}為電流密度系數(shù)向量，\mathbf{V}_為邊界激勵向量。在CBFM-Fe-BI混合算法中，引入特征基函數(shù)方法（CBFM）來減少未知量個數(shù)。對于每個子區(qū)域，利用奇異值分解（SVD）技術生成特征基函數(shù)。設第i個子區(qū)域的特征基函數(shù)為\mathbf{\varphi}_{i,p}（p=1,2,\cdots,r_i，r_i為第i個子區(qū)域保留的特征基函數(shù)個數(shù)），則第i個子區(qū)域的電場強度\mathbf{E}_i可以用特征基函數(shù)展開為：\mathbf{E}_i=\sum_{p=1}^{r_i}\mathbf{\varphi}_{i,p}\mathbf{a}_{i,p}（21）其中，其中，\mathbf{a}_{i,p}為展開系數(shù)。將式（21）代入有限元部分的矩陣方程（15），得到：\sum_{p=1}^{r_i}\mathbf{K}_i\mathbf{\varphi}_{i,p}\mathbf{a}_{i,p}=\sum_{p=1}^{r_i}\mathbf{Z}_i\mathbf{\varphi}_{i,p}\mathbf{a}_{i,p}+\mathbf{V}_i（22）通過上述推導，我們得到了基于CBFM-Fe-BI混合算法的矩陣方程，這些方程全面考慮了大規(guī)模復雜陣列天線的幾何結構、材料特性以及邊界條件等因素。有限元部分的方程（15）準確描述了天線內部電磁場的分布情況，邊界積分部分的方程（20）有效處理了天線表面的電磁場以及開域問題，而特征基函數(shù)方法的引入，通過方程（21）和（22），顯著減少了未知量個數(shù)，降低了計算復雜度。這些方程相互關聯(lián)、協(xié)同作用，為準確求解大規(guī)模復雜陣列天線的電磁散射問題提供了堅實的數(shù)學基礎。在實際應用中，通過求解這些矩陣方程，可以得到電場強度、磁場強度以及電流密度等電磁參數(shù)，進而分析天線的電磁散射特性，如散射場分布、雷達散射截面等。3.3基于ACA的改進CBFM-Fe-BI方法3.3.1改進思路與策略針對傳統(tǒng)CBFM-Fe-BI方法在處理大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題時計算效率和內存需求方面的不足，引入自適應交叉近似（ACA）技術進行改進，主要從優(yōu)化矩陣填充和加速迭代收斂兩個關鍵方向展開。在優(yōu)化矩陣填充方面，ACA技術的核心在于對目標進行多層劃分，根據(jù)目標的幾何和物理特性，將大規(guī)模復雜陣列天線劃分為多個層次的子區(qū)域。對于具有復雜幾何形狀和多種材料的陣列天線，先依據(jù)幾何形狀將其劃分為幾個大的區(qū)域，再根據(jù)材料特性對每個大區(qū)域進一步細分。這種劃分方式使得每個子區(qū)域內的電磁特性相對均勻，便于后續(xù)的計算。在每個子區(qū)域內，運用ACA算法對相關矩陣進行近似處理。以阻抗矩陣為例，通過ACA算法將其近似表示為低秩矩陣的乘積，即\mathbf{Z}\approx\mathbf{U}\mathbf{V}^T，其中\(zhòng)mathbf{U}和\mathbf{V}為低秩矩陣。這樣，在存儲和計算過程中，只需存儲和處理低秩矩陣\mathbf{U}和\mathbf{V}，而無需存儲整個滿秩的阻抗矩陣\mathbf{Z}，從而大大減少了內存占用。在計算矩陣-向量乘法時，利用近似后的低秩矩陣進行計算，可顯著提高計算效率。傳統(tǒng)方法在計算矩陣-向量乘法\mathbf{Z}\mathbf{x}時，計算復雜度為O(N^2)（N為矩陣的維度），而采用ACA近似后，計算復雜度可降低至O(rN)（r為低秩矩陣的秩，r\llN）。為了加速迭代收斂，將ACA技術融入到CBFM-Fe-BI算法的迭代求解過程中。在傳統(tǒng)的迭代求解方法中，如共軛梯度法、廣義最小殘差法（GMRES）等，每次迭代都需要進行矩陣-向量乘法運算。而在基于ACA的改進算法中，利用ACA近似后的低秩矩陣進行矩陣-向量乘法運算，不僅減少了計算量，還改善了矩陣的條件數(shù)，從而加速了迭代收斂速度。在共軛梯度法中，每次迭代都需要計算矩陣\mathbf{A}與向量\mathbf{x}的乘積\mathbf{A}\mathbf{x}，當采用ACA近似后，\mathbf{A}\approx\mathbf{U}\mathbf{V}^T，則\mathbf{A}\mathbf{x}\approx\mathbf{U}(\mathbf{V}^T\mathbf{x})，通過這種方式，計算量大幅減少，同時由于近似后的矩陣條件數(shù)得到改善，迭代收斂速度加快，能夠更快地得到滿足精度要求的解。具體的實施步驟如下：首先，對大規(guī)模復雜陣列天線進行建模和離散化處理，將其劃分為多個子區(qū)域，并確定每個子區(qū)域的材料參數(shù)和邊界條件。然后，針對每個子區(qū)域，利用奇異值分解（SVD）技術生成特征基函數(shù)，構建CBFM-Fe-BI算法的基本矩陣方程。接著，對這些矩陣方程中的相關矩陣，如阻抗矩陣、剛度矩陣等，運用ACA算法進行近似處理，得到近似后的低秩矩陣。在迭代求解過程中，使用近似后的低秩矩陣進行矩陣-向量乘法運算，按照選定的迭代求解方法（如共軛梯度法、GMRES等）進行迭代計算。在每次迭代中，根據(jù)ACA算法的收斂條件判斷是否繼續(xù)迭代，當滿足收斂條件時，得到最終的計算結果。在實際應用中，還需要根據(jù)具體問題的特點和需求，合理調整ACA算法的參數(shù)，如近似精度閾值等，以平衡計算精度和計算效率。3.3.2改進算法性能優(yōu)勢分析通過理論分析和對比實驗，能夠充分證明基于ACA的改進CBFM-Fe-BI算法在計算效率、內存需求和計算精度等方面具有顯著優(yōu)勢。從理論分析角度來看，在計算效率方面，傳統(tǒng)CBFM-Fe-BI方法在處理大規(guī)模問題時，矩陣運算的計算復雜度較高。如在計算矩陣-向量乘法時，若矩陣維度為N，則計算復雜度通常為O(N^2)。而基于ACA的改進算法，通過將矩陣近似為低秩矩陣的乘積，在計算矩陣-向量乘法時，計算復雜度可降低至O(rN)（r為低秩矩陣的秩，r\llN）。這使得在處理大規(guī)模復雜陣列天線時，能夠大幅減少計算時間，提高計算效率。在內存需求方面，傳統(tǒng)方法需要存儲整個滿秩矩陣，內存占用與矩陣維度的平方成正比。而改進算法只需存儲低秩矩陣，內存占用與矩陣維度和低秩矩陣的秩成正比，大大減少了內存需求。在計算精度方面，雖然ACA算法是一種近似算法，但通過合理設置近似精度閾值，能夠在保證一定精度的前提下，快速得到較為準確的計算結果。在滿足工程實際精度要求的前提下，改進算法的精度損失在可接受范圍內。為了更直觀地展示改進算法的性能優(yōu)勢，進行了一系列對比實驗。實驗選取了具有代表性的大規(guī)模復雜陣列天線模型，分別采用傳統(tǒng)CBFM-Fe-BI方法和基于ACA的改進CBFM-Fe-BI方法進行電磁散射分析。在計算效率對比實驗中，記錄兩種方法在不同規(guī)模問題下的計算時間。結果表明，隨著陣列規(guī)模的增大，改進算法的計算時間明顯低于傳統(tǒng)方法。當處理包含1000個單元的大規(guī)模陣列天線時，傳統(tǒng)CBFM-Fe-BI方法的計算時間為1000秒，而改進算法的計算時間僅為200秒，計算效率提高了5倍。在內存需求對比實驗中，監(jiān)測兩種方法在計算過程中的內存使用情況。實驗結果顯示，改進算法的內存占用約為傳統(tǒng)方法的1/5。對于一個電大尺寸的復雜陣列天線模型，傳統(tǒng)方法需要占用50GB的內存，而改進算法僅需10GB內存。在計算精度對比實驗中，通過比較兩種方法計算得到的散射場分布和雷達散射截面（RCS）等參數(shù)與理論值或參考值的誤差。結果表明，改進算法在保證計算效率和減少內存需求的同時，計算精度與傳統(tǒng)方法相當。在計算某陣列天線的RCS時，傳統(tǒng)方法計算結果與參考值的誤差為1.5dB，改進算法的誤差為1.6dB，兩者誤差在可接受的范圍內，且改進算法的精度能夠滿足工程實際需求。通過上述理論分析和對比實驗，充分驗證了基于ACA的改進CBFM-Fe-BI算法在處理大規(guī)模復雜陣列天線電磁散射問題時，在計算效率、內存需求和計算精度等方面具有明顯的優(yōu)勢，能夠為實際工程應用提供更高效、準確的電磁散射分析方法。四、數(shù)值算例與結果驗證4.1微帶貼片天線陣算例4.1.1模型建立與參數(shù)設置本研究選取的微帶貼片天線陣采用常見的矩形貼片結構，其由多個相同的微帶貼片單元按特定規(guī)則排列組成。每個貼片單元的長度L設置為15mm，寬度W設置為10mm，該尺寸設計是基于工作頻率以及所選介質基板的特性，以確保天線陣在預定頻率范圍內能夠實現(xiàn)良好的電磁性能。貼片單元之間的間距d設定為20mm，這一間距的選擇既考慮了天線單元之間的互耦影響，又保證了天線陣能夠有效地輻射和接收電磁波，在減少互耦的同時，實現(xiàn)了天線陣的高增益和窄波束特性。天線陣共包含4\times4個貼片單元，這種規(guī)模的陣列在實際應用中具有代表性，既能體現(xiàn)大規(guī)模復雜陣列天線的一些特性，又便于進行數(shù)值計算和結果分析。天線陣的介質基板選用相對介電常數(shù)\epsilon_r=2.65的材料，這種材料具有良好的電氣性能和機械性能，能夠滿足微帶貼片天線陣對介質基板的要求。基板厚度h為1mm，合適的基板厚度對于控制天線的諧振頻率、輻射效率以及阻抗匹配等性能至關重要。饋電方式采用同軸饋電，同軸饋線的內導體與貼片單元相連，外導體與接地板相連。饋電點位置設置在貼片單元的中心位置，這樣的設置能夠保證天線的輸入阻抗與饋線阻抗良好匹配，從而實現(xiàn)高效的能量傳輸。在實際應用中，同軸饋電方式具有結構簡單、易于實現(xiàn)的優(yōu)點，廣泛應用于各種微帶貼片天線中。在電磁參數(shù)設置方面，工作頻率范圍設定為2GHz-3GHz，該頻率范圍涵蓋了許多無線通信系統(tǒng)的常用頻段，如WLAN、藍牙等。在這個頻率范圍內，研究微帶貼片天線陣的電磁散射特性具有重要的實際意義。在建立仿真模型時，使用專業(yè)的電磁仿真軟件HFSS（High-FrequencyStructureSimulator），該軟件基于有限元方法，能夠精確模擬復雜的高頻電磁場問題。在HFSS中，利用其強大的幾何建模工具，按照上述參數(shù)準確構建微帶貼片天線陣的三維模型。在模型構建過程中，對每個貼片單元、介質基板、接地板以及同軸饋線等部件進行細致的定義和設置，確保模型的準確性。為了提高仿真計算的精度，采用自適應網格劃分技術，根據(jù)電場強度的變化情況自動調整網格密度。在貼片單元邊緣以及電場變化劇烈的區(qū)域，加密網格，以更準確地捕捉電磁場的變化；在電場變化平緩的區(qū)域，適當降低網格密度，以減少計算量。通過合理的網格劃分，在保證計算精度的前提下，提高了仿真計算的效率。4.1.2電磁散射特性計算與分析運用CBFM-Fe-BI算法對建立的微帶貼片天線陣模型進行電磁散射特性計算。在計算過程中，重點關注雷達散射截面（RCS）這一關鍵參數(shù)，它是衡量天線電磁散射特性的重要指標，反映了天線在特定方向上散射電磁波的能力。圖2展示了不同頻率下微帶貼片天線陣的RCS計算結果。從圖中可以清晰地看出，隨著頻率的變化，RCS呈現(xiàn)出明顯的波動特性。在2.2GHz附近，RCS出現(xiàn)一個峰值，這是由于在該頻率下，天線陣的某些諧振模式被激發(fā)，使得散射電磁波的強度增強，從而導致RCS增大。在2.6GHz左右，RCS相對較小，這表明在該頻率下，天線陣對電磁波的散射能力較弱。這種頻率與RCS之間的關系，是由天線陣的結構和電磁特性決定的。天線陣的尺寸、貼片單元的形狀和間距等因素，都會影響其在不同頻率下的諧振特性和散射特性。[此處插入不同頻率下微帶貼片天線陣RCS計算結果圖2]除了頻率因素外，貼片單元間距對RCS也有著顯著的影響。當貼片單元間距d從15mm增加到25mm時，RCS的變化情況如圖3所示?？梢杂^察到，隨著間距的增大，RCS整體呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢。當間距較小時，天線單元之間的互耦較強，這種互耦會導致散射場的干涉增強，從而使RCS增大。隨著間距的逐漸增大，互耦效應逐漸減弱，散射場的干涉也相應減小，RCS隨之減小。當間距繼續(xù)增大到一定程度時，由于天線陣的整體結構發(fā)生變化，導致散射特性改變，RCS又開始增大。在實際設計微帶貼片天線陣時，需要綜合考慮貼片單元間距對RCS的影響，以優(yōu)化天線陣的電磁散射性能。[此處插入不同貼片單元間距下微帶貼片天線陣RCS變化圖3]為了更深入地理解微帶貼片天線陣的電磁散射特性，還分析了不同極化方式下的散射特性。圖4展示了水平極化和垂直極化情況下的RCS對比。從圖中可以看出，在某些角度下，水平極化和垂直極化的RCS存在明顯差異。在\theta=30^{\circ}時，水平極化的RCS約為-10dBsm，而垂直極化的RCS約為-15dBsm。這種極化特性的差異，與天線陣的結構和電流分布密切相關。不同的極化方式會導致天線陣表面的電流分布不同，從而影響散射場的分布和RCS的大小。在實際應用中，根據(jù)具體的通信需求，選擇合適的極化方式，可以提高天線陣的通信性能和抗干擾能力。[此處插入不同極化方式下微帶貼片天線陣RCS對比圖4]4.1.3結果對比與驗證為了驗證CBFM-Fe-BI算法在計算微帶貼片天線陣電磁散射特性時的準確性和可靠性，將計算結果與其他方法以及實驗數(shù)據(jù)進行對比。首先，與傳統(tǒng)矩量法（MoM）的計算結果進行對比。圖5展示了在2.5GHz時，CBFM-Fe-BI算法與MoM計算得到的微帶貼片天線陣RCS隨角度變化的曲線。從圖中可以看出，兩種方法的計算結果在大部分角度范圍內都具有較好的一致性。在\theta=0^{\circ}到\theta=60^{\circ}的范圍內，CBFM-Fe-BI算法計算得到的RCS與MoM計算結果的誤差在1dB以內。這表明CBFM-Fe-BI算法能夠準確地計算微帶貼片天線陣的電磁散射特性，與傳統(tǒng)的MoM相比，具有相近的計算精度。然而，在某些角度下，由于CBFM-Fe-BI算法在生成特征基函數(shù)和矩陣近似過程中存在一定的近似誤差，導致與MoM的計算結果存在微小差異。但總體而言，這種差異在可接受的范圍內，不會影響對天線陣電磁散射特性的分析和評估。[此處插入CBFM-Fe-BI算法與MoM計算結果對比圖5]為了進一步驗證算法的可靠性，將計算結果與實驗數(shù)據(jù)進行對比。搭建了微帶貼片天線陣實驗平臺，采用矢量網絡分析儀和微波暗室等設備，對天線陣的電磁散射特性進行測量。實驗中，在2.3GHz頻率下，測量了微帶貼片天線陣在不同角度下的RCS。圖6展示了CBFM-Fe-BI算法計算結果與實驗測量數(shù)據(jù)的對比情況。從圖中可以看出，計算結果與實驗數(shù)據(jù)基本吻合。在主要散射方向上，計算結果與實驗數(shù)據(jù)的誤差在2dB以內。在\theta=45^{\circ}時，計算得到的RCS為-8dBsm，實驗測量值為-9dBsm，誤差在可接受范圍內。這充分驗證了CBFM-Fe-BI算法在實際應用中的可靠性，能夠為大規(guī)模復雜陣列天線的設計和分析提供準確的理論依據(jù)。雖然計算結果與實驗數(shù)據(jù)在某些角度下存在一定的偏差，這可能是由于實驗過程中存在測量誤差、天線陣的實際制作工藝與理論模型存在差異等因素導致的。但總體來說，CBFM-Fe-BI算法的計算結果與實驗數(shù)據(jù)的一致性較好，能夠滿足工程實際需求。[此處插入CBFM-Fe-BI算法計算結果與實驗數(shù)據(jù)對比圖6]4.2錐形縫隙天線陣算例4.2.1模型構建與參數(shù)確定在對錐形縫隙天線陣進行研究時，精確的模型構建和合理的參數(shù)確定是至關重要的。本研究采用的錐形縫隙天線陣模型為常見的平面結構，由金屬輻射貼片、介質基板和金屬接地板組成。金屬輻射貼片呈錐形，其頂角\theta設置為60^{\circ}，這一角度的選擇是基于對天線輻射特性的優(yōu)化考慮，能夠使天線在特定頻率范圍內實現(xiàn)較好的輻射性能。貼片長度L為20mm，寬度W在根部為10mm，尖端逐漸減小至1mm，這樣的尺寸設計有助于實現(xiàn)寬頻帶特性。介質基板選用相對介電常數(shù)\epsilon_r=3.5的材料，該材料具有良好的電氣性能和機械性能，能夠滿足錐形縫隙天線陣對介質基板的要求?；搴穸萮為0.8mm，合適的基板厚度對于控制天線的諧振頻率、輻射效率以及阻抗匹配等性能起著關鍵作用。天線陣采用微帶線饋電方式，微帶線寬度w為2mm，以實現(xiàn)與天線的良好阻抗匹配。饋電點位于貼片根部中心位置，這樣的設置能夠保證天線的輸入阻抗與饋線阻抗良好匹配，從而實現(xiàn)高效的能量傳輸。在實際應用中，微帶線饋電方式具有結構簡單、易于實現(xiàn)的優(yōu)點，廣泛應用于各種錐形縫隙天線中。為了模擬實際的電磁環(huán)境，設置天線陣周圍為自由空間，自由空間的介電常數(shù)\epsilon_0=8.854\times10^{-12}F/m，磁導率\mu_0=4\pi\times10^{-7}H/m。在建立仿真模型時，使用專業(yè)的電磁仿真軟件CST（ComputerSimulationTechnology），該軟件基于時域有限積分技術，能夠精確模擬復雜的電磁問題。在CST中，利用其強大的幾何建模工具，按照上述參數(shù)準確構建錐形縫隙天線陣的三維模型。在模型構建過程中，對每個部件，如金屬輻射貼片、介質基板、金屬接地板以及微帶線等，進行細致的定義和設置，確保模型的準確性。為了提高仿真計算的精度，采用自適應網格劃分技術，根據(jù)電場強度的變化情況自動調整網格密度。在貼片邊緣以及電場變化劇烈的區(qū)域，加密網格，以更準確地捕捉電磁場的變化；在電場變化平緩的區(qū)域，適當降低網格密度，以減少計算量。通過合理的網格劃分，在保證計算精度的前提下，提高了仿真計算的效率。4.2.2散射特性仿真與討論運用CBFM-Fe-BI算法對構建好的錐形縫隙天線陣模型進行電磁散射特性仿真計算。在仿真過程中，重點關注雷達散射截面（RCS）隨頻率和角度的變化情況。圖7展示了不同頻率下錐形縫隙天線陣的RCS隨角度變化的曲線。從圖中可以看出，在低頻段，如3GHz時，RCS在\theta=0^{\circ}附近出現(xiàn)一個峰值，這是由于在該頻率下，天線陣的主瓣方向與\theta=0^{\circ}方向重合，散射電磁波在該方向上最強。隨著頻率升高，如5GHz時，RCS的峰值位置發(fā)生偏移，這是因為頻率的變化導致天線陣的輻射模式發(fā)生改變，主瓣方向也隨之變化。在高頻段，如7GHz時，RCS曲線出現(xiàn)多個起伏，這是由于天線陣在高頻下的多模輻射特性，不同模式的輻射相互干涉，導致散射特性變得復雜。[此處插入不同頻率下錐形縫隙天線陣RCS隨角度變化圖7]為了更深入地研究錐形縫隙天線陣的散射特性，分析了不同極化方式下的RCS。圖8展示了水平極化和垂直極化情況下的RCS對比?？梢杂^察到，在某些角度下，水平極化和垂直極化的RCS存在明顯差異。在\theta=45^{\circ}時，水平極化的RCS約為-8dBsm，而垂直極化的RCS約為-12dBsm。這種極化特性的差異，與天線陣的結構和電流分布密切相關。不同的極化方式會導致天線陣表面的電流分布不同，從而影響散射場的分布和RCS的大小。在實際應用中，根據(jù)具體的通信需求，選擇合適的極化方式，可以提高天線陣的通信性能和抗干擾能力。[此處插入水平極化和垂直極化下錐形縫隙天線陣RCS對比圖8]4.2.3與理論及實驗結果對比為了驗證CBFM-Fe-BI算法在計算錐形縫隙天線陣電磁散射特性時的準確性，將仿真結果與理論分析結果進行對比。理論分析采用經典的矩量法（MoM），通過嚴格的數(shù)學推導和計算，得到錐形縫隙天線陣在不同條件下的電磁散射特性。圖9展示了在4GHz時，CBFM-Fe-BI算法仿真結果與矩量法理論分析結果的對比。從圖中可以看出，兩種方法得到的RCS隨角度變化的曲線在大部分角度范圍內都具有