2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第06講函數(shù)的單調(diào)性與最值（精講）①函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間③復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性④函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（求參數(shù)、解不等式、比較大?。萸蠛瘮?shù)的最值（值域）一、必備知識整合一、必備知識整合1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）增函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）減函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量、，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).（3）【特別提醒】①單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示．②有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接．2.函數(shù)的最值（1）最大值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：=1\*GB3①對于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最大值.（2）最小值：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：=1\*GB3①對于任意的，都有；=2\*GB3②存在，使得.那么，我們稱是函數(shù)的最小值.（3）函數(shù)最值存在的兩個結(jié)論①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．②開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．1.?x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函數(shù)；?f(x)在D上是減函數(shù)．2.對勾函數(shù)y＝(a＞0)的增區(qū)間為(－∞，－]和[，＋∞)，減區(qū)間為[－，0)和(0，]．3.當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)．4.若k＞0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k＜0，則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反．5.函數(shù)y＝f(x)在公共定義域內(nèi)與y＝的單調(diào)性相反．6.復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性關(guān)系是“同增異減”．二、考點分類精講二、考點分類精講【題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明】1.定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟2.判斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)圖象法；(2)性質(zhì)法；(3)導(dǎo)數(shù)法；(4)定義法．3.證明函數(shù)單調(diào)性的兩種方法(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法．【典例1】（23-24高一上·陜西漢中·期中）已知函數(shù)．(1)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值城．一、單選題1．（23-24高三上·上海楊浦·期中）已知函數(shù)，.若成立，則下列論斷中正確的是（

）A．函數(shù)在上一定是增函數(shù)；B．函數(shù)在上一定不是增函數(shù)；C．函數(shù)在上可能是減函數(shù)；D．函數(shù)在上不可能是減函數(shù).2．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對實數(shù)，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、解答題3．（23-24高三上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)求該函數(shù)的定義域；(2)證明該函數(shù)在上單調(diào)遞減；(3)求該函數(shù)在上的最大值和最小值.4．（23-24高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知函數(shù)過點．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）對于函數(shù).(1)探索函數(shù)的單調(diào)性；(2)是否存在實數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？6．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）已知奇函數(shù).(1)求實數(shù)m的值；(2)判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)設(shè)，對于任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.【題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】【典例1】（單選題）（2023·海南?？凇つM預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（－∞，＋∞）B．（0，＋∞）C．（－∞，0）∪（0，＋∞）D．（－∞，0），（0，＋∞）2．（22-23高三上·甘肅蘭州·開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（22-23高三上·河北廊坊·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（23-24高三上·河南南陽·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間A上是減函數(shù)，那么區(qū)間A是.5．（23-24高三上·寧夏固原·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【題型三復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性】求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)求函數(shù)的定義域(定義域先行)．(2)求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(3)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其依據(jù)是“同增異減”．【典例1】（單選題）（23-24高三上·浙江紹興·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C．和 D．2．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·廣東湛江·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·遼寧錦州·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（）A． B．C． D．y＝|x－|6．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則t的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型四函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（求參數(shù)、解不等式、比較大?。?．比較函數(shù)值大小的解題思路比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解．2．求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此時要特別注意函數(shù)的定義域．3．利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的策略(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．(2)解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題，要注意上、下段端點函數(shù)值的大小關(guān)系．【典例1】（單選題）（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【典例2】（單選題）（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【典例3】（單選題）（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．2．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則使得成立的正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（23-24高三上·北京順義·期末）已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．7．（23-24高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知為上的減函數(shù)，則（

）A．B．C．D．8．（2024·北京西城·一模）設(shè)，其中，則（

）A． B．C． D．二、填空題9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知f（x）在定義域R上是增函數(shù)．若f（a2－2）＞f（a），則實數(shù)a的取值范圍是10．（22-23高三上·江西·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是.11．（23-24高三上·上海靜安·期末）不等式的解集為.12．（2023·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為．【題型五求函數(shù)的最值（值域）】求函數(shù)最值的五種常用方法【典例1】（23-24高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）已知函數(shù)過點．(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值．一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如果奇函數(shù)在上是增函數(shù)且最小值5，那么在區(qū)間上是（

）．A．增函數(shù)且最小值為 B．減函數(shù)且最小值為C．增函數(shù)且最大值為 D．減函數(shù)且最大值為2．（23-24高三上·山東濰坊·期中）若“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且在區(qū)間恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·湖南岳陽·三模）已知函數(shù)，不存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（