復(fù)數(shù)和平面向量單選題1．(2025·全國(guó)一卷)的虛部為（

）A． B．0 C．1 D．62．(2025·全國(guó)一卷)帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（

）等級(jí)風(fēng)速大小m/s名稱21.1~3.3輕風(fēng)33.4~5.4微風(fēng)45.5~7.9和風(fēng)58.0~10.1勁風(fēng)A．輕風(fēng) B．微風(fēng) C．和風(fēng) D．勁風(fēng)3．(2025·全國(guó)二卷)已知，則（

）A． B． C． D．14.(2025·北京)已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.4 D.85.(2025·北京)已知平面直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題6．(2025·全國(guó)二卷)已知平面向量若，則7．(2025·上海)已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是．8．(2025·天津)已知i是虛數(shù)單位，則．9．(2025·上海)已知，是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量．若，則可的取值范圍是．10．(2025·天津)中，D為AB邊中點(diǎn)，，則（用，表示），若，，則復(fù)數(shù)和平面向量單選題1．(2025·全國(guó)一卷)的虛部為（

）A． B．0 C．1 D．6【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及虛部的定義即可求出.【詳解】因?yàn)椋云涮摬繛?，故選：C.2．(2025·全國(guó)一卷)帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小和方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2（風(fēng)速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風(fēng)為（

）等級(jí)風(fēng)速大小m/s名稱21.1~3.3輕風(fēng)33.4~5.4微風(fēng)45.5~7.9和風(fēng)58.0~10.1勁風(fēng)A．輕風(fēng) B．微風(fēng) C．和風(fēng) D．勁風(fēng)【答案】A【分析】結(jié)合題目條件和圖寫出視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，得出真風(fēng)風(fēng)速的大小，即可由圖得出結(jié)論.【詳解】由題意及圖得，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為：，視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反，設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為，船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為，∴，船行風(fēng)速：，∴，，∴由表得，真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng)，故選：A.3．(2025·全國(guó)二卷)已知，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)除法即可求解.【詳解】因?yàn)椋?故選：A.4.(2025·北京)已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C.4 D.8【答案】B【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．【詳解】由可得，，所以，故選：B.5.(2025·北京)已知平面直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)，求出，進(jìn)而可以用向量表示出，即可解出．【詳解】因?yàn)椋善椒娇傻?，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故選：D.二、填空題6．(2025·全國(guó)二卷)已知平面向量若，則【答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)化運(yùn)算得，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，因?yàn)椋瑒t，則，解得.則，則.故答案為：.7．(2025·上海)已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是．【答案】【分析】先設(shè)，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及概念確定，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，由題意可知，則，又，由復(fù)數(shù)的幾何意義知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓內(nèi)部（含邊界）的坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，如圖所示即線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，由圖象可知，所以.故答案為：8．(2025·天津)已知i是虛數(shù)單位，則．【答案】【分析】先由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式即可計(jì)算求解.【詳解】先由題得，所以.故答案為：9．(2025·上海)已知，是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量．若，則可的取值范圍是．【答案】【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.【詳解】若，則，又三個(gè)向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量?jī)蓛纱怪保@然不成立；故.不妨設(shè)，則，不妨設(shè)，，則，則，則，由，，則，故.故答案為：.10．(2025·天津)中，D為AB邊中點(diǎn)，，則（用，表示），若，，則