考點11平面向量及其應(yīng)用（20種題型6個易錯考點）一、真題多維細(xì)目表一、真題多維細(xì)目表考題考點考向2022新高考1，第3題平面向量的概念及線性運算向量的線性運算2022新高考2，第4題數(shù)量積的綜合應(yīng)用由夾角相等求參數(shù)值2021新高考1，第10題數(shù)量積的定義及夾角與模問題利用坐標(biāo)運算求解向量的模，數(shù)量積2021新高考2，第15題數(shù)量積的綜合應(yīng)用平面向量的數(shù)量積2021全國乙理，第14題數(shù)量積的定義及夾角與模問題由向量垂直求參數(shù)2020新高考2，第3題平面向量的概念及線性運算向量的線性運算2020新高考1，第7題數(shù)量積的綜合應(yīng)用求數(shù)量積的取值范圍二二、命題規(guī)律與備考策略高考對本章內(nèi)容的考查以平面向量的基礎(chǔ)知識、基本運算為主，考查與平面向量基本定理相關(guān)的線性運算、向量的數(shù)量積運算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。高考對本章的考查依然是基礎(chǔ)與能力并存，在知識形成過程、知識遷移種滲透數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與劃歸思想。三三、2023真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共4小題）1．（2023?甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），則cos?+，﹣?＝（）A． B． C． D．2．（2023?甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，則cos?﹣，﹣?＝（）A． B． C． D．3．（2023?乙卷）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則?＝（）A． B．3 C．2 D．54．（2023?新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），則（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1二．填空題（共1小題）5．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，則||＝．四四、考點清單1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．5．平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．6．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．7．向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．8．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積9.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝011.平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決．(2)還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識．<常用結(jié)論>1．五個特殊向量(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與向量a平行的單位向量有兩個，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五個常用結(jié)論(1)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.3．基底需要的關(guān)注三點(1)基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果對于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))4．共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.(2)判斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定．5．兩個結(jié)論(1)已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．7．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.五五、題型方法一．向量的概念與向量的模（共2小題）1．（2023?葉城縣校級模擬）已知，，若與模相等，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023?廣西模擬）已知和是兩個正交單位向量，且，則k＝（）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4二．向量相等與共線（共2小題）3．（2023?南通模擬）若向量滿足，則向量一定滿足的關(guān)系為（）A． B．存在實數(shù)λ，使得 C．存在實數(shù)m，n，使得 D．4．（2023?湖北模擬）已知向量，則“與共線”是“存在唯一實數(shù)λ使得”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件三．平面向量的線性運算（共1小題）5．（2023?濟南三模）在△ABC中，若，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C．1 D．四．向量的加法（共1小題）6．（2023?浙江模擬）設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，則＝（）A． B． C． D．五．向量的減法（共1小題）7．（2023?防城港模擬）在△ABC中，D為BC的中點，則＝（）A． B． C． D．六．向量的三角形法則（共2小題）8．（2023?普寧市校級二模）設(shè)是單位向量，＝3，＝﹣3，||＝3，則四邊形ABCD（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形9．（2023?西寧模擬）在△ABC中，D是AB邊上的中點，則＝（）A．2+ B．﹣2 C．2﹣ D．+2七．向量加減混合運算（共1小題）10．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）已知＝（1，），＝（2，0），則|﹣3|＝（）A．2 B．2 C．24 D．28八．兩向量的和或差的模的最值（共3小題）11．（2023?安徽模擬）△ABC中，||＝2||，則sinA的最大值為（）A． B． C． D．12．（2023?張家口一模）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（）A． B．2 C． D．13．（2023?市中區(qū)校級一模）若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為．九．向量數(shù)乘和線性運算（共2小題）14．（2023?石獅市校級模擬）我國古代入民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會徽．如圖，大正方形ABCD是由4個全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點，則＝（）A． B． C． D．15．（2023?湖南模擬）如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點，若＝λ+μ，則λ+μ＝（）A．2 B． C． D．一十．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義（共2小題）16．（2023?天門模擬）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B．﹣1 C． D．17．（2023?淮北二模）已知向量，滿足?＝10，且＝（﹣3，4），則在上的投影向量為（）A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣，） D．（，﹣）一十一．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算（共3小題）18．（2023?射洪市校級模擬）已知平面向量，，的夾角為60°，，則實數(shù)t（）A．﹣1 B．1 C． D．±119．（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）在邊長為2的菱形ABCD中，，則的最小值為（）A．﹣2 B． C． D．20．（2023?虹口區(qū)校級三模）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．一十二．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）21．（2023?廣州三模）已知向量，，且，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．622．（2023?丹東模擬）已知向量，，則＝（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5一十三．向量的投影（共2小題）23．（2023?翠屏區(qū)校級模擬）已知向量，若，則在方向上的投影為（）A．1 B．﹣1 C． D．24．（2023?宜賓模擬）已知點M是圓C：（x﹣4）2+y2＝4上的一個動點，點N是直線y＝x上除原點O外的任意一點，則向量在向量上的投影的最大值是（）A． B． C． D．一十四．投影向量（共2小題）25．（2023?東莞市校級三模）已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為（）A．（6，﹣3） B． C． D．26．（2023?開福區(qū)校級二模）已知單位向量，的夾角為60°，則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．一十五．平面向量的基本定理（共3小題）27．（2023?斗門區(qū)校級三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于點O，，則＝（）A． B． C． D．28．（2023?浠水縣校級三模）在平行四邊形ABCD中，．若，則m﹣n＝（）A． B． C． D．29．（2023?鎮(zhèn)江三模）在△ABC中，＝3，點E是CD的中點．若存在實數(shù)λ，μ使得，則λ+μ＝（請用數(shù)字作答）．一十六．平面向量的坐標(biāo)運算（共2小題）30．（2023?浙江二模）若，，則＝（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．（2，2）31．（2023?興慶區(qū)校級二模）已知向量，，，若，則m+n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8一十七．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共2小題）32．（2023?河南三模）已知向量，若，則實數(shù)x＝（）A．5 B．4 C．3 D．233．（2023?武侯區(qū)校級模擬）已知向量，，且．則sinα的值為（）A． B．0 C．±1 D．不存在一十八．?dāng)?shù)量積表示兩個向量的夾角（共3小題）34．（2023?北京模擬）若向量，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．35．（2023?郴州模擬）已知向量滿足，則向量的夾角為（）A． B． C． D．36．（2023?渝中區(qū)校級模擬）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為．一十九．?dāng)?shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系（共2小題）37．（2023?西寧二模）若向量，，且，則＝（）A． B．4 C． D．38．（2023?江西模擬）已知向量，，，則x的值為（）A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4二十．平面向量的綜合題（共2小題）39．（2023?龍華區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，E是AB的中點，＝2，＝，EF與AD交于點M，則＝（）A．+ B．+ C．+ D．+40．（2023?金山區(qū)二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為．六六、易錯分析易錯點一、忽略向量共線致誤1、已知向量的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍為________．2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是__________．易錯點二、對向量共線定理及平面向量基本定理理解不準(zhǔn)確致誤3、給出下列命題：(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底確定后,平面內(nèi)的任何一個向量都可被這組基底唯一表示；(3)若a,b共線,則且存在且唯一；(4)λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,則λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命題的個數(shù)為A.1B.2C.3D.4易錯點三、對兩兩夾角相等理解不準(zhǔn)確4、若單位向量兩兩夾角相等,則的模為.易錯點四、確定向量夾角忽略向量的方向致錯5、已知等邊△ABC的邊長為1,則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.6、在中,M是BC的中點,AM=1,點P在AM上且滿足,則等于（）A．B.C.D.易錯點五、向量基本概念模糊致錯7、下列五個命題：若a∥b,b∥c,則a∥c；若A,B,C,D是同一平面內(nèi)的四點且eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；若,則；；其中正確的命題有______個。易錯點六、忽視平面向量基本定理的成立條件8、下列各組向量中，可以作為基底的是（）A、=（0，0），=（1，-2）B、=（-1，2），=（5，7）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，-3），=（4，-6）七七、刷基礎(chǔ)一．選擇題（共11小題）1．（2023?鄭州模擬）若，均為單位向量，且，則k的值可能是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣32．（2023?廈門模擬）平面上的三個力1，2，3作用于同一點，且處于平衡狀態(tài)．已知1＝（1，0），|2|＝2，?1，2?＝120°，則|3|＝（）A． B．1 C． D．23．（2023?南平模擬）已知正方形ABCD的邊長為1，點M滿足+＝2，則||＝（）A． B．1 C． D．4．（2023?云南模擬）若向量，則在上的投影向量為（）A． B． C．（33，44） D．5．（2023?梅河口市校級模擬）設(shè)非零向量滿足，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．6．（2023?三模擬）已知，為單位向量，若|﹣2|＝，則?（﹣2）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．27．（2023?長沙縣校級三模）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．8．（2023?西安二模）已知向量，，且，則sinαcosα＝（）A．3 B．﹣3 C． D．9．（2023?河南模擬）已知向量，，若，則＝（）A． B．5 C． D．1010．（2023?凱里市校級二模）若向量，，，且，則m＝（）A． B． C．﹣1 D．111．（2023?龍華區(qū)校級模擬）若平面向量與滿足＝﹣1，且||＝2，||＝1，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．二．多選題（共3小題）（多選）12．（2023?金安區(qū)校級模擬）下列命題正確的有（）A．已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則z+一定是實數(shù) B．若為向量，則 C．若z1，z2為復(fù)數(shù)，則|z1z2|＝|z1|?|z2| D．若為向量，且，則（多選）13．（2023?泉州模擬）圓O為銳角△ABC的外接圓，AC＝2AB＝2，則的值可能為（）A． B． C． D．（多選）14．（2023?射洪市校級模擬）如圖，點C，D是線段AB的三等分點，則下列結(jié)論正確的有（）A． B． C． D．三．填空題（共13小題）15．（2023?閬中市校級二模）已知為單位向量，且滿足，則＝．16．（2023?武功縣校級模擬）已知菱形EFGH中，，則＝．17．（2023?河南模擬）已知不共線，向量，，且，則k＝．18．（2023?船營區(qū)校級模擬）已知向量，向量在方向上的投影向量坐標(biāo)為．19．（2023?張掖四模）已知向量，，且，則向量在方向上的投影為．20．（2023?虹口區(qū)校級模擬）將向量繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到，則＝．21．（2023?香坊區(qū)校級三模）已知向量，，若在方向上的投影向量為，則x的值為．22．（2023?洛陽模擬）已知向量＝（x，1），＝（﹣3，2），若2＝（1，4），則＝．23．（2023?梅河口市校級一模）已知向量滿足，且，則與的夾角為．24．（2023?河南模擬）已知向量＝（2，﹣3），＝（﹣1，2），＝（4，3），若（λ）⊥，則|λ﹣|＝．25．（2023?黃浦區(qū)校級三模）已知平面向量，，若，則m＝．26．（2023?市中區(qū)校級模擬）已知向量，，與共線，則＝．27．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知，若與平行，則實數(shù)k＝．八.八.刷真題一．選擇題（共8小題）1．（2022?全國）已知向量＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．若∥，則（）A．x2＝2 B．|x|＝2 C．x2＝3 D．|x|＝32．（2023?北京）已知向量，滿足