無人機結(jié)構(gòu)動力學(xué)

（2）單自由度系統(tǒng)的振動

單自由度系統(tǒng)是指結(jié)構(gòu)的運動狀態(tài)僅需要一個幾何參數(shù)即可以確定的系統(tǒng)，它是最簡單的動力系統(tǒng)，是以最簡單的離散模型作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似，對單自由度系統(tǒng)的分析能揭示振動系統(tǒng)的很多基本特性。簡單的單自由度系統(tǒng)是研究多自由度系統(tǒng)的基礎(chǔ)，復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可通過模態(tài)分析技術(shù)轉(zhuǎn)化為一組獨立的二階常微分方程，其中每一個方程都類似于單自由度系統(tǒng)運動方程。研究單自由度系統(tǒng)的振動特性是無人機結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基礎(chǔ)。與自由振動相關(guān)的基本概念（1）自由振動是不外加激勵的作用，振動系統(tǒng)對初始激勵的響應(yīng)。（2）無阻尼自由振動開始后，系統(tǒng)是沒有外界能量補充的，因而維持等幅振動。（3）有阻尼自由振動因機械能的耗散，不能維持等幅而趨于衰減。（4）固有頻率的定義。系統(tǒng)無阻尼振動頻率為系統(tǒng)固有的物理參數(shù)，稱為固有頻率。無阻尼自由振動運動方程選靜平衡位置為坐標原點，建立鉛垂方向的坐標x，向下為正，向上為負，表示振動過程中質(zhì)量塊的位置。設(shè)質(zhì)量m向下運動到x，此時彈簧恢復(fù)力為K(x0+x)，顯然大于重力mg，由于力不平衡，質(zhì)量塊在合力作用下，將產(chǎn)生變速運動，按牛頓運動定律建立運動方程，取與x正方向一致的力、加速度、速度為正，可列如下方程：這是一個齊次二階線性微分方程，是無阻尼單自由度振動微分方程的標準形式。無阻尼自由扭轉(zhuǎn)振動扭轉(zhuǎn)振動用角位移θ作為獨立坐標。轉(zhuǎn)動方程式

式中J為轉(zhuǎn)動體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量；θ為角加速度；∑M為施加于轉(zhuǎn)動體上的力矩的代數(shù)和。約定M與θ角移方向一致為正，反之為負。有阻尼自由振動運動方程以緩沖器符號表示阻尼，黏性阻尼系數(shù)以c表示，c的單位為N?s/m。此時系統(tǒng)增加一阻尼力

，此力的方向與速度方向相反，故取負號，由牛頓運動定律，以靜平衡位置為坐標原點可得方程式有阻尼自由振動運動方程求解有阻尼自由振動運動的特征方程

其特征根為

當時，通解為

當時，通解為

式中C1、C2均為待定常數(shù)，由初始條件決定。弱阻尼狀態(tài)下的自由振動響應(yīng)系統(tǒng)在弱阻尼狀態(tài)下的振動式中

：

系統(tǒng)的振動已不再是等幅的

簡諧振動，其振幅被限制在指數(shù)

衰減曲線±Ae-nt之內(nèi)，且當t→∞，x→0時振動將最終停止，此振動稱為衰減振動，n稱為衰減系數(shù)。n越大，表示阻尼越大，振幅衰減得越快。強阻尼狀態(tài)下的自由振動響應(yīng)

強阻尼狀態(tài)，ξ>1，根式

為實數(shù)，且<n，故原微分方程的通解為

其中的兩個指數(shù)函數(shù)的指數(shù)均為負數(shù)，系統(tǒng)不再具有振動特性，為衰減的非往復(fù)運動。

當時，運動的響應(yīng)曲線如圖所示，強阻尼可以抑制

振動的發(fā)生。臨界阻尼狀態(tài)下的自由振動響應(yīng)

系統(tǒng)在臨界阻尼狀態(tài)下的振動，系統(tǒng)也不具有振動特性，為衰減的非往復(fù)運動。在

的初始條件下，系統(tǒng)的響應(yīng)為：

系統(tǒng)阻尼與臨界阻尼之比值，稱為相對阻尼系數(shù)：簡諧激振力引起的強迫振動在一外力

激振下的單自由度系統(tǒng)的力學(xué)模型。瞬態(tài)振動：是一個衰減振動，只有在振動開始后一段時間內(nèi)才存在，不久便消失，一般不予考慮。扭轉(zhuǎn)振動微分方程穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅和相角差均取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（質(zhì)量、彈簧剛度和阻尼）和激振力的性質(zhì)（頻率與幅值），而與初始條件無關(guān)。若為單自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)，系統(tǒng)在簡諧力矩

作用下產(chǎn)生強迫扭轉(zhuǎn)振動，可得扭轉(zhuǎn)振動微分方程式中θ為角坐標；Ke扭轉(zhuǎn)剛度；Ce

扭轉(zhuǎn)黏性阻尼系系數(shù)；J為圓盤轉(zhuǎn)動慣量。扭轉(zhuǎn)強迫振動與直線強迫振動有完全相同的規(guī)律與特點。幅頻響應(yīng)曲線

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動的振幅隨頻率的變化規(guī)律可通過幅頻響應(yīng)曲線來表示。將振幅B改寫為

式中

相當于激振力的幅值靜止地作用在彈簧上產(chǎn)生的彈簧靜變形。強迫

振動幅值B與成正比，即

改變激振力的幅值可改變

強迫振動的幅值。相頻響應(yīng)曲線強迫振動響應(yīng)的頻率與激振力頻率雖然相同，但存在相角差，以頻率比r為橫坐標、相位差φ為縱坐標，根據(jù)系統(tǒng)不同的阻尼系數(shù)值繪出一組相頻響應(yīng)曲線。當r=l，即共振時，相位差φ恒為π/2，與系統(tǒng)的阻尼大小無關(guān)，這是共振的一個重要特征。據(jù)此特征在試驗時根據(jù)相位差為π/2來確定共振頻率。旋轉(zhuǎn)機械偏心質(zhì)量引起的強迫振動如果旋轉(zhuǎn)機械設(shè)備激振力是因轉(zhuǎn)子的不平衡而產(chǎn)生的，則與簡諧激振力直接怍用于質(zhì)量塊上的情況就不完全一樣。轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生不平衡離心力，引起動不平衡，機器因此強迫振動。一電機安裝于兩根槽鋼組成的簡支梁上。當轉(zhuǎn)子有偏心距為e的偏心質(zhì)量m時，振動微分方程：幅頻響應(yīng)曲線一個實際系統(tǒng)阻尼系數(shù)是不容易計算的，可用試驗方法測定阻尼系數(shù)。首先測定共振r=l時振幅，算得阻尼系數(shù)，再測定r?l時的振幅，即便可求出阻尼系數(shù)。支承運動引起的強迫振動單自由度系統(tǒng)支承點作簡諧運動時，系統(tǒng)相當于作用了兩個激振力，由彈簧傳遞的彈性力

和由阻尼傳遞的阻尼力

。兩者不同相，后者超前π/2相角，運動微分方程幅頻響應(yīng)曲線和相頻響應(yīng)曲線系統(tǒng)振動的幅值與支承運動的幅值之比放大因子β，同樣，若以r為橫坐標，??為縱坐標，可得出幅頻響應(yīng)曲線。周期性激勵引起的強迫振動如果激振力是一個周期函數(shù)，可以按傅里葉級數(shù)分解為一系列頻率成整數(shù)倍關(guān)系的簡諧函數(shù)。對于線性振動系統(tǒng)，其響應(yīng)便可以按疊加原理將每一單獨的簡諧函數(shù)作用的響應(yīng)求出后，再全部疊加起來，便可得總的響應(yīng)。

若為周期性支承運動同樣可算出響應(yīng)：任意激勵引起的強迫振動

在已知任意激勵時求系統(tǒng)響應(yīng)主要有三種方法：（1）杜哈梅積分法（2）傅氏積分法（3）拉氏變換法杜哈梅積分又叫做卷積積分或疊加積分，其基本思想是將激振力分解為一系列脈沖的連續(xù)作用，各脈沖的大小和作用時間由f(τ)決定。先求出每個脈沖單獨作用下系統(tǒng)的響應(yīng)，然后按線性系統(tǒng)的疊加原理將其疊加起來，即得出系統(tǒng)對激振的響應(yīng)。

右圖為任意激振力示意圖轉(zhuǎn)軸的運動微分方程工程上大量采用轉(zhuǎn)軸來傳遞運動、傳遞功率。轉(zhuǎn)子上的旋轉(zhuǎn)件若有偏心質(zhì)量必然會產(chǎn)生離心慣性力而使軸呈弓狀變形，這種現(xiàn)象稱為弓形回轉(zhuǎn)。當轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速達到某一值時，軸的動撓度將很大甚至導(dǎo)致軸被破壞，此時的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。運動微分方程式與偏心質(zhì)量引起的強迫振動方程式一樣。轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)過程的特點（1）（1）兩端簡支旋轉(zhuǎn)軸。臨界轉(zhuǎn)速（2）兩端固支旋轉(zhuǎn)軸。①低階臨界轉(zhuǎn)速

②高階臨界轉(zhuǎn)速(n=2,3?)

轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)過程的特點（2）（3）懸臂旋轉(zhuǎn)軸①低階臨界轉(zhuǎn)速②高階臨界轉(zhuǎn)速(n=2,3?)

轉(zhuǎn)子平衡的概念旋轉(zhuǎn)機械轉(zhuǎn)動部分運轉(zhuǎn)時，由于偏心質(zhì)量會產(chǎn)生離心力，從而引起強烈振動。為此必須盡量減小轉(zhuǎn)子的偏心質(zhì)量，消除其離心力作用，從而控制振動的振幅在允許的范圍內(nèi)，這就是平衡。轉(zhuǎn)子靜平衡校正方法轉(zhuǎn)子的質(zhì)心不在回轉(zhuǎn)軸線上，當其轉(zhuǎn)動時，偏心質(zhì)量就會產(chǎn)生通過軸心的離心慣性力，從而在運動過程中引起附加動壓力，轉(zhuǎn)子無合力偶，屬于靜平衡。靜平衡校正方法：對于徑長比D/l≥5的轉(zhuǎn)子（如旋翼），可近似地認為其不平衡質(zhì)量分布在同一回轉(zhuǎn)平面內(nèi)，需要通過以下步驟完成靜平衡：

（1）根據(jù)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)定出偏心質(zhì)量的大小和方位。（2）計算出為平衡偏心質(zhì)量需添加的平衡質(zhì)量的大小及方位。（3）在轉(zhuǎn)子設(shè)計圖上加上該平衡質(zhì)量，以便使設(shè)計出來的轉(zhuǎn)子在理論上達到平衡。轉(zhuǎn)子動平衡校正方法動不平衡是由靜不平衡和偶不平衡疊加而成。偶不平衡是只有在轉(zhuǎn)子運動的情況