2025-2026學年人教版（2024）數(shù)學八年級上冊18.5.2列分式方程解決實際問題第十八章

分式1.通過日常生活中的情境創(chuàng)設，經(jīng)歷探索分式方程在工程、行程等領域應用的過程，會根據(jù)題意設未知數(shù)，合理地列出分式方程，培養(yǎng)學生解決問題的能力．2．經(jīng)歷探索“實際問題情境——建立分式方程模型”的過程，進一步提高學生分析問題和解決問題的能力，增強學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識．3．通過創(chuàng)設貼近學生生活實際的現(xiàn)實情境，增強學生的應用意識，培養(yǎng)學生對生活的熱愛．重點難點1.解分式方程：

；解：方程兩邊都乘以2（x-2)，得2+2（x-2）=x+1解得：x=3檢驗：當x=3時，2（x-2）=2≠0，∴x=3是原方程的解.2.列方程解決實際問題的步驟：

；

3.我們所學過的應用題類型：(1)行程問題：基本公式：

；(2)數(shù)字問題：在數(shù)字問題中要掌握十進制數(shù)的表示法；(3)工程問題：基本公式：

；審、設、列、解、答路程=速度×時間以及它的兩個變式工作量=工時×工效以及它的兩個變式(4)順水逆水問題：順水速度＝

，逆水速度＝

；(5)利潤問題：基本公式：

.輪船速度+水流速度輪船速度-水流速度利潤率=利潤÷進價利潤=售價-進價，例3兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成.哪個隊的施工速度快？探究1工程問題甲隊工作總量+乙隊工作總量=“1”問題中的哪個等量關系可以用來列方程？工作時間/月工作效率工作總量甲隊乙隊設乙隊單獨完成這項工程需要x

月.甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一兩隊又共同工作了半個月甲隊工作總量+乙隊工作總量=“1”解：設乙隊單獨施工1個月能完成總工程的，記總工程量為1，根據(jù)工程的實際進度，得方程兩邊乘6x，得解得x=1.檢驗：當x=1時，6x≠0.所以，原分式方程的解為x=1.

注意：分式方程的解需要檢驗2x+x+3=6x.分析：甲隊1個月完成總工程的____，那么甲隊半個月完成總工程的____，設乙隊的單獨施工1個月能完成總工程____，乙隊半個月完成總工程____，兩隊半個月完成總工程的________.思考本題的等量關系還可以怎么找？甲隊單獨完成的工作量+兩隊合作完成的工作量=“1”工程問題中的基本關系：解決工程問題的思路方法：各部分工作量之和等于1常從工作量和工作時間上考慮相等關系.工作總量=工作效率×工作時間合作效率=各自單獨完成任務的效率和總工作量=各部分工作量之和歸納探究2行程問題這里的字母v，s

表示已知數(shù)據(jù)例4

某次列車平均提速vkm/h.在相同的時間內(nèi)，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，提速前列車的平均速度為多少？表達問題時，用字母不僅可以表示未知數(shù)(或未知量)，也可以表示已知數(shù)(或已知量)時間/m速度/(km/h)路程/km提速前提速后列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km平均提速vkm/hss+50xv+x設提速前列車的平均速度為xkm/h等量關系解：設提速前這次列車的平均速度為xkm/h，則提速前它行駛skm所用時間為h；提速后列車的平均速度為(x+v)km/h，提速后它行駛(s+50)km所用時間為h.方程兩邊乘

x(x+v)，得解得x=s(x+v)=x(s+50).根據(jù)行駛時間的相等關系，得檢驗：當x=時，x(x+v)

≠0.所以，原分式方程的解為x=答：提速前列車的平均速度為km/h．用字母表示已知數(shù)據(jù)的形式，在分析問題尋找規(guī)律時經(jīng)常出現(xiàn).其中根據(jù)v，s

所表示的實際意義可知，它們是正數(shù).行程問題中的注意事項：歸納1.

注意關鍵詞“提速”與“提速到”的區(qū)別；2.

把兩個“主人公”行程問題中的三個量用代數(shù)式表示出來；3.

行程問題中的等量關系通常抓住“時間線”來建立方程.練習某地發(fā)生雪災，一些電線被雪壓斷，供電局的維修隊要到30km遠的郊區(qū)進行搶修，維修人員騎摩托車先行，15min后搶修車裝載著所需材料出發(fā)，結果兩車同時到達搶修點，已知搶修車的速度是摩托車速度的1.5倍，求這兩種車的速度.路程/km速度/(km/h)時間/h摩托車搶修車摩托車先行，15min后搶修車出發(fā)，兩車同時到達設摩托車的速度為xkm/h3030x1.5x到30km

遠的郊區(qū)進行搶修搶修車的速度是摩托車速度的1.5倍摩托車行駛時間=搶修車行駛時間+15min解：設摩托車的速度為xkm/h，則搶修車的速度為1.5xkm/h.

方程兩邊乘60x，得解得x=40.檢驗：當x=40時，60x≠0.所以，原分式方程的解為x=40.答：摩托車的速度為40km/h，搶修車的速度為60km/h.

1800=1200+

15x.根據(jù)題意，得所以1.5x=60.某自行車行經(jīng)營的某款自行車去年銷售總額為8萬元，今年該款自行車每輛售價預計比去年降低200元.若該款自行車的銷售數(shù)量與去年相同，則今年的銷售總額將比去年減少10%.去年該款自行車每輛售價為多少元？探究3銷售問題設去年該款自行車每輛售價為x

元售價/元銷量/輛銷售額/元去年今年今年的銷售總額將比去年減少10%8000080000×(1–10%)xx–200去年銷售總額為8萬元今年該款自行車每輛售價預計比去年降低200元該款自行車的銷售數(shù)量與去年相同等量關系解：設去年該款自行車每輛售價為x

元，則今年該款自行車每輛售價為(x–200)元.方程兩邊乘

x(x–200)，得解得x=2000.檢驗：當x=2000時，x(x–200)

≠0.所以，原分式方程的解為x=2000.答：去年該款自行車每輛售價為2000元.80000(x–200)=80000x(1–10%).根據(jù)題意，得3.八年級學生去距學校30km的中國人民抗日戰(zhàn)爭紀念館參觀，一部分學生乘大巴先出發(fā)，過了5min，其余學生乘中巴出發(fā)，結果他們同時到達.已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度.【教材P168練習第1題】解：設大巴的平均速度是xkm/h，則中巴的平均速度是1.2xkm/h.由題意，得.方程兩邊乘60x，得1800–5x=1500解得x=60.檢驗：當

x

=60時，60x

≠

0.所以

x

=60是原方程的解.答：大巴的平均速度為60km/h.4.甲、乙二人做某種機械零件.已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個所用的時間與乙做60個所用的時間相等.求甲、乙每小時各做零件多少個.【教材P168練習第2題】解：設乙每小時做x

個零件，則甲每小時做

(x+6)個零件.由題意，得.方程兩邊乘x(x+6)，得90x=60(x+6)解得x=12.檢驗：當

x

=12時，x(x+6)

≠

0.所以

x

=12是原方程的解.所以x+6=18.答：甲每小時做18個零件，乙每小時做12個零件.2.解下列關于x

的方程：綜合運用【教材P169習題18.5第2題】解：(1)方程兩邊乘x–1，得1+a(x–1)=x–1，因為a

≠1，所以a–1≠0.檢驗：當x=時，所以，原分式方程的解為x=即(a–1)x

=a–2.所以x=解：(2)方程兩邊乘x(x+1)，得m(x+1)–

x=0，因為m

≠1，所以1–m≠0.檢驗：當x=時，所以，原分式方程的解為x=即(1–m)x

=m.所以x=因為m

≠0且

m

≠1，所以x(x+1)≠0.【教材P169習題18.5第3題】3.甲、乙兩人分別從距目的地6km和10km的兩地同時出發(fā)，甲、乙的平均速度比是3∶4，結果甲比乙提前20min到達目的地.求甲、乙的平均速度.解：設甲的平均速度是3xkm/h，乙的平均速度是4xkm/h.由題意，得.解得x=1.5.經(jīng)檢驗，

x

=1.5是原方程的解.所以3x

=4.5，4x=6.答：甲的平均速度是4.5km/h，乙的平均速度是6km/h.4.A，B兩種機器都被用來搬運化工原料，A型機器比B型機器每小時多搬運30kg，A型機器搬運900kg所用時間與B型機器搬運600kg所用時間相等，兩種機器每小時分別搬運多少化工原料？【教材P169習題18.5第4題】解：設B型機器每小時搬運xkg化工原料，則A型機器每小時搬運(x+30)kg化工原料.由題意，得.解得x=60.經(jīng)檢驗，

x

=60是原方程的解.所以x+30

=90.答：A、B兩種機器每小時分別搬運90kg，60kg化工原料.5.王芳3h清點完一批圖書的一半，劉偉加入清點另一半圖書的工作，兩人合作1.2h清點完另一半圖書.劉偉單獨清點這批圖書需要幾小時？【教材P169習題18.5第5題】解：設劉偉單獨清點這批圖書需要xh，則劉偉的工作效率為根據(jù)題意得王芳的工作效率為所以

解得x=4.經(jīng)檢驗，

x

=4是原方程的解.答：劉偉單獨清點這批圖書需要4h.【教材P169習題18.5第6題】6.一個圓柱形容器的容積為Vm3，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水，向容器中注滿水的全過程共用時間tmin.求兩根水管各自的注水速度.(提示:要考慮大水管的注水速度是小水管注水速度的多少倍.)解：設小水管的注水速度是xm3/min.因為大水管的口徑為小水管口徑的2倍，所以大水管的橫截面積是小水管橫截面積的4倍，所以大水管的注水速度是4xm3/min.由題意，得經(jīng)檢驗，

x

=

是原方程的解.

答：小水管的注水速度是

m3/min，大水管的注水速度是

m3/min.拓廣探索7.改良玉米品種后，迎春村玉米平均每公頃增加產(chǎn)量at，原來產(chǎn)mt玉米的一塊土地，現(xiàn)在的總產(chǎn)量增加了20t.原來和現(xiàn)在平均每公頃玉米的產(chǎn)量各是多少？【教材P169習題18.5第7題】解：設原來平均每公頃玉米的產(chǎn)量是x

t，則現(xiàn)在平均每公頃玉米的產(chǎn)量是(x

+a)t.根據(jù)題意，得解得x=經(jīng)檢驗，

x

=

是原方程的解.答：原來和現(xiàn)在平均每公頃玉米的產(chǎn)量分別為8.兩個小組同時開始攀登一座450m高的山，第一組的平均登高速度是第二組的1.2倍，他們比第二組早15min到達頂峰.兩個小組的平均登高速度各是多少？如果山高為hm，第一組的平均登高速度是第二組的a倍，并比第二組早tmin到達頂峰，則兩組的平均登高速度各是多少？【教材P169習題18.5第8題】解：設第二組的平均登高速度是xm/min，則第一組的平均登高速度是1.2xm/min.由題意，得

解得x=5.經(jīng)檢驗，

x

=5是原方程的解.所以1.2x

=1.2×5=6.如果山高為hm，設第二組的平均登高速度是ym/min，則第一組的平均登高速度是aym/min.由題意，得經(jīng)檢驗，

是原方程的解.所以答：第一組的平均登高速度是6m/min，第二組的平均登高速度是5m/min.如果山高為hm，則第一組的平均登高速度是m/min，第二組的平均登高速度是