第十七章因式分解17.2用公式法分解因式第2課時(shí)運(yùn)用完全平方公式分解因式

知識(shí)關(guān)聯(lián)探究與應(yīng)用 課堂小結(jié)與檢測(cè)知識(shí)關(guān)聯(lián)1.什么是因式分解?把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式的積的形式.2.我們已經(jīng)學(xué)過哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)3.完全平方公式你還記得嗎?說說看.

【探究1】完全平方式的概念

【嘗試交流】探究與應(yīng)用這兩個(gè)多項(xiàng)式有什么共同的特點(diǎn)？觀察多項(xiàng)式與（1）每個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)？（3）中間項(xiàng)和第一項(xiàng)，第三項(xiàng)有什么關(guān)系？（2）每個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)有什么特征？三項(xiàng)這兩項(xiàng)都是數(shù)或式的平方，并且符號(hào)相同是第一項(xiàng)和第三項(xiàng)底數(shù)的積的±2倍

【探究1】完全平方式的概念【概括新知】探究與應(yīng)用

我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫作完全平方式.完全平方式的特點(diǎn)：

1.必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）；

2.有兩個(gè)同號(hào)的數(shù)或式的平方；

3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.

簡(jiǎn)記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.

【理解應(yīng)用】探究與應(yīng)用例1

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;（2）1+4a2;

（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）因?yàn)樗挥袃身?xiàng)；不是（3）4b2與-1的符號(hào)不統(tǒng)一；不是分析：不是是（4）因?yàn)閍b不是a與b的積的2倍.

【理解應(yīng)用】【變式】若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+ax+是完全平方式，則a的值是

.

±1探究與應(yīng)用

如果一個(gè)二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)為1，要使它成為完全平方式，需使其常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2+mx+n是完全平方式的條件為=n.

【探究2】直接運(yùn)用完全平方公式分解因式【嘗試交流】1.填空:(1)(a+b)2=

;

(2)(a-b)2=

.

探究與應(yīng)用根據(jù)完全平方式，你能將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式分解因式嗎？2ab+b2±=(a

±

b)2a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.

【探究2】直接運(yùn)用完全平方公式分解因式【概括新知】探究與應(yīng)用把整式的乘法公式——完全平方公式反過來就得到因式分解的完全平方公式：

【理解應(yīng)用】探究與應(yīng)用例2

分解因式：（1）x2+4x+4；

（2）16x2-24x+9.分析：(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3,所以16x2-24x+9是一個(gè)完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2-2·4x·3+(3)2.2ab+b2a2分析:在(1)中,∵4=22,

4x=2·x·2,∴x2+4x+4是一個(gè)完全平方式,即x2+4x+4=x2+2·x·2+222ab+b2a2

【理解應(yīng)用】探究與應(yīng)用例2

分解因式：（1）x2+4x+4；

（2）16x2-24x+9.解：

(2)16x2-24x+9=(4x-3)2；=(4x)2-2·4x·3+(3)2

解：(1)x2+4x+4

=x2+2·x·2+22=(x+2)2能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式具有的特點(diǎn)(1)多項(xiàng)式為三項(xiàng)式；(2)其中有兩項(xiàng)是平方式，且這兩個(gè)平方項(xiàng)的符號(hào)相同；(3)第三項(xiàng)是兩個(gè)平方項(xiàng)冪的底數(shù)的積的2倍或－2倍．探究與應(yīng)用

針對(duì)訓(xùn)練

分解因式：（1）x2

+12x

+

36；（2）a2

+2a

+1；

(3)

4x2－4x+1.

（4）4a2

-9

(1)(x

＋6)2;(2)(a

＋1)2；

(3)

(2x－1

)2.

(4)(2a

＋3)(2a

-3)解：

【理解應(yīng)用】

把乘法公式的等號(hào)兩邊互換，就可以得到把某些特殊形式的多項(xiàng)式分解因式的公式。

運(yùn)用公式把多項(xiàng)式分解因式的方法叫作公式法

【探究3】

綜合運(yùn)用完全平方公式分解因式探究與應(yīng)用例3

把下列各式分解因式：

(1)(a+b)2-12(a+b)+36.分析：將a+b看成一個(gè)整體，設(shè)a+b=m，則原式化為m2-12m+36.

解：原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.（2）-x2+4xy-4y2.

解

：原式=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.分析:可通過添括號(hào)將原式寫成-(x2-4xy+4y2)，括號(hào)內(nèi)的式子為完全平方式，

練習(xí)探究與應(yīng)用

【理解應(yīng)用】

把下列各式分解因式:：（1）-2xy-x2-y2.(2)(x+y)2-10(x+y)+25.（3）9a2-30a+25;（4）x(x－1)－3x+4;

解(1)-2xy-x2

-y2

=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2.(2)原式=(x+y)2-2·(x+y)·5+52

=(x+y-5)2.

(3)原式=(3a)2－2·3a·5+(5)2=(3a－5)2;

(4)原式=x2－x

－3x+4=x2－4x+4=(x－2)2探究與應(yīng)用

【理解應(yīng)用】

例4

把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)2

(2)原式＝(34＋16)2本題利用完全平方公式分解因式，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。=12＝502=1＝2500例5已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值:(1)x2+y2;

(2)(x-y)2.【探究2】有理數(shù)的概念及分類探究與應(yīng)用

【拓展提升】

解：(1)原式=x2+y2+2xy-2xy

=(x+y)2-2xy=72-2×10=29

解：(2)原式=x2+y2-2xy=x2+y2+2xy-2xy-2xy=(x+y)2-4xy=72-4×10=9例6已知x+=-3，求x4+的值.【探究2】有理數(shù)的概念及分類探究與應(yīng)用

【拓展提升】

原式=（x2）+（

）2+2-2

=（x2+

）2-2=72-2

=47解：∵x+=-3∴(x+)2=(-3)2即：x2++2=9即：x2+=7

【小結(jié)】課堂小結(jié)與檢測(cè)完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特點(diǎn)（1）要求多項(xiàng)式有三項(xiàng).（2）其中兩項(xiàng)同號(hào)，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項(xiàng)則是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符號(hào)可正可負(fù).

【檢測(cè)】課堂小結(jié)與檢測(cè)1.下列四個(gè)多項(xiàng)式中，能因式分解的是()A．a(chǎn)2＋1B．a(chǎn)2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5yB2.若m-2n=1，則m2-4mn+4n2的值是

.

3.若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2-8x+m2是完全平方式，則m的值為

.

1±4

【

檢測(cè)】課堂小結(jié)與檢測(cè)4.把下列多項(xiàng)式因式分解.

（1）x2－12x+36;（2）16a2-48a+36;

（3）(x－1)2－4y（x-1）+4y2;

(2)原式=(4a)2－2·4a·6+(6)2=(4a－6)2;解：