立體幾何知識(shí)點(diǎn)

一、空間幾何體

1.多面體：由若干個(gè)多邊形圍成H勺幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體

的面,相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱H勺公共點(diǎn)叫做多面體H勺頂點(diǎn).

2.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其他各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個(gè)互相平行H勺面叫做底面,其他各面叫做側(cè)面.

3.棱錐：有一種面是多邊形，其他各面都是有一種公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成日勺多面

體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等日勺等腰三角形的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點(diǎn)在底面上H勺射影是底面正多

邊形的中心。

4.棱臺(tái)：用一種平行于底面H勺平面去截棱銖，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái)。日正棱錐截得

的樓臺(tái)叫做正棱臺(tái)。

正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底面的

截面是相似的正多邊形

5.旋轉(zhuǎn)體：由一種平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成日勺封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做

旋轉(zhuǎn)體的軸，

6.圓柱、圓錐、圓臺(tái)：分別以矩形的一邊、直角三角形R勺直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所

在日勺直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他各邊旋轉(zhuǎn)而形成的）曲面所圍成口勺兒何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)。

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)：平行于底面日勺截面都是圓；過(guò)軸的截面（軸截面）分別是全等日勺矩

形、等腰三角形、等腰梯形。注：在處理圓錐、圓臺(tái)日勺側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題時(shí)，常常用

到弧長(zhǎng)公式I=aR

7.球：以半圓的直彳仝為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成日勺曲面叫做球間.球面所圍成的幾何體叫做球體（簡(jiǎn)

稱球）

8.簡(jiǎn)樸空間圖形的三視圖：一種投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個(gè)平面內(nèi)日勺圖形

叫做俯視圖。一種投影面放置在正前方，這個(gè)投影面叫做直立投影面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的圖

形叫做主視圖（正視圖）。和直立、水平兩個(gè)投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影面，一般把這

個(gè)平面放在直立投影面的右面，投影到這個(gè)平面內(nèi)日勺圖形叫做左視圖（側(cè)視圖）。三視圖H勺主視

圖、俯視圖、左視圖分別是從物體口勺正前方、正上方、正左方看到口勺物體輪廓線【向正投影圍成

的平面圖形。

（1）.三視圖畫法規(guī)則:

高平齊：主視圖與左視圖日勺高要保持平齊

長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖日勺長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正

寬相等：俯視圖與左視圖日勺寬度應(yīng)相等

（2）.空間幾何體三視圖：止視圖（從前向后的止投影）;

側(cè)視圖（從左向右的正投影）；

俯視圖（從上向下正投影）.

例題1.某叫棱，錐底面為直角梯形，

一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示，

則其體積為.

例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐，

其中棱尸4垂直于底面，它日勺三視圖對(duì)日勺的是（）

（3）.空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法特點(diǎn):

①斜二測(cè)坐標(biāo)系的），軸與x軸正方向成45。角；②原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行,長(zhǎng)度不

變；③原來(lái)與），軸平行日勺線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的二分之一.

常用結(jié)論：平面圖形面積與其斜二側(cè)直觀圖面積之比為2日：1.

例.假如一種水平放置日勺平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一種底仍為45。，腰和上底均為1的等腰

梯形，那么原平面圖形的面積是（）.

A.2+V2B.上野C.D.1+V2

9.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，〃為高，力為斜高，/為母線）：

S直枝柱側(cè)而積=chS網(wǎng)柱惻=27S正核推惻面積二萬(wàn)。/?’S網(wǎng)儺側(cè)而積=尉

S正枝臺(tái)惻面枳=5（。|+c2）"S回臺(tái)側(cè)面積=（r+R）7dS陰柱表=2療（尸+/）S阮惟表=R（廣+/）

品"表=+H+R/+R2）S球面二4乃改

10柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式：

唳=S〃=Sh=7rr2h%％惟=家.

匕.=1（S+VFs+S）h%］臺(tái)=g（5'++S）〃=g4（產(chǎn)+水+R2）hV球二

例題3:已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一種底邊長(zhǎng)為8、高

為4H勺等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一種底邊長(zhǎng)為6、高為4H勺等腰三角形.

11）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S

⑵V=64........7分（3）5=40+2472.....12分

例4.已知各頂點(diǎn)都在一種球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是（）

3.某兒何體H勺三視圖如圖所示，其俯視圖是由一種半圓與其直徑/q他.）

構(gòu)成歐I圖形，則此幾何體日勺體積是（）（

A20口人1016

A.—71DO7TCr—71Un.—7C

333

??nn——（第3題圖）

4?一種幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形和對(duì)角線,

1正視圖左視圖

如圖所示，則此幾何體的體積為（）

15

--

A6C6

*D.

5.一種空間幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖標(biāo)出的尺寸,可得這個(gè)幾何體

的體積為（）

A.4B.8C.12D.24

6.若一種底面為正三角形、測(cè)棱與底面垂直口勺棱柱口勺三視圖如下圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為

()

A.12百B.6C.2773D.366

7.訓(xùn)圖是一種幾何體的三視圖,若它的體積是36，則a=（

A.&B.乎C.6D.

8.某幾何體日勺三視圖如圖所示（俯視圖是正方形,正視圖和左視圖是兩個(gè)全等等腰三角形）根據(jù)

圖中標(biāo)出日勺數(shù)據(jù),可得這人幾何體的表面積為（）

A.4?473B.41475C.8D.12

3

9.一種幾何體的三視圖如圖所不，則該幾何體的體積為（)

B/C.《

A..D.

T61218

10.已知某幾何體H勺三視圖如右，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸：?jiǎn)挝唬篶,〃2）,/△

可得這個(gè)幾何體的體積是（）k>1l<—,>1

A.-C7723B.-C77?C.Icin'D.Acni

33

二、立體幾何點(diǎn)線面的位置關(guān)系

機(jī)eHiH均1

ht：XMrZH

例1.如圖，在正四棱柱A5co—A/IGR中，E、F分別是A80BC,

中點(diǎn)，則如下結(jié)論中不成立的是（）

A.七b與8片垂直B.E尸與BI彈直

C.七廠與CD異面D.石尸與A￡異面

例2.已知〃z,"是兩條不一樣直線，a,民y是三個(gè)不一樣平面，下列命題中對(duì)日勺代|是（）

A.若〃zIIa,nIIa、則〃zIInB.若a_Ly,01y,則aIIp

C.若mMa,mllB加aH。D.若〃?-La.nl.a、則，〃IIn

例3.已知平面a_L平面B,。0[3=/,點(diǎn)人￡&,A",直線AB〃/,直線AC_LA直線m〃

a,m〃B,則下列四種位置關(guān)系中，不?一?定?成立的是()

A.AB〃加B.ACl/nC.AB〃BD.AC±&

練習(xí)：

1.設(shè)直線〃7與平面。相交但不垂直，則下列說(shuō)法中對(duì)日勺的是()

A.在平面a內(nèi)有旦只有一條直線與直線，〃垂直B.過(guò)直線〃?有旦只有一種平面與平面。垂直

C.與直線機(jī)垂直H勺直線不*可能與平面。平行D.與直線平行的平面不?可能與平面。垂直

2.設(shè)a,人為兩條直線,a,4為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，對(duì)的的命題是()

A.若a,Z?與a所成的I角相等，則a〃Z?B.若a!/a，b〃0、a//P,則a〃Z?

C.若aua,bu/3,a//h,則二〃/?D.若。_10,b上。,a_L尸，則Q_LZ?

3.給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一直線日勺兩條直線互相平行.

②垂直于同一平面H勺兩個(gè)平面互相平行.

③若直線/"2與同一平面所成的角相等，則44互相平行.

④若直線44是異面直線，則與44都相交的兩條直線是異面直線.

其中假*命題日勺個(gè)數(shù)是()

(A)l(B)2(C)3(D)4

4.設(shè)a、(3、y為平面，〃?、〃、/為直線，則，〃J■〃口勺一種充分條件是()

(A)a±p,aryP-Ijn±/(B)acy=m,oc工八/3Ly

(C)aLy,PLy,mLa(D)nLa.nLp.mLa

5.設(shè)〃i、〃是不一樣的J直線，a、夕、y是不一樣日勺平面，有如下四個(gè)命題:

①若。〃//,a〃y,貝②若a_L/,則〃z_L//

③若〃z_L。,〃2〃尸，則a_L/?④若/〃〃〃，〃ua,則團(tuán)〃a

其中真命題的序號(hào)是（）

A.①④B.②③C.②④D.①③

6.對(duì)于平面。和直線加,〃，下列命題中假?命?題?H勺個(gè)數(shù)是（）

①若m_LQ,m_1_〃，則〃〃a;②若機(jī)〃a,nila,則inIIn;③若〃〃/a,,則mIIn;

④若m〃〃，nila,則〃?//a

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.若/,小，〃是互不相似的空間直線，a,夕是不重疊的平面，則下列命題中為真命題的是（）

A.若a〃從/Ca,〃U￡,則/〃〃B.若aJL￡,/Ca,則

C.若/_!_〃，/%_!_〃，貝!]/〃，〃D.若/_La,I////,則a_L。

8.如〃、〃是兩條不重疊的直線，。、小y是三個(gè)兩兩不重疊的J平面，給出下列四個(gè)命題：

①若a_La,〃_!_//,則a〃鹿港a_Ly,“_L＞，貝1Ja〃4

③若a〃6aUa,bU/f,貝hi〃。④若a〃夕，aOy=a,0Cy=b,則a〃Z?

其中對(duì)的命題的序號(hào)有

1、線線平行的判斷：

⑴平行于同一直線日勺兩直線平行。

（2）假如一條直線和一種平面平行，通過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線

和交線平行。

（3）假如兩個(gè)平行平面同步和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

（4）垂直于同一平面的兩直線平行。

2、線面平行的判斷:

（1）假如平面外日勺一條直線和平面內(nèi)日勺一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

（2）兩個(gè)平面平行，其中一種平面內(nèi)日勺直線必平行于另一種平面。

例1、（三角形中位線定理）如圖，在正方體中，E是AA的中點(diǎn)，求證：4?！?/p>

平面8。七。

證明：連接AC交6。于0,連接石O,

???七為4A的中點(diǎn)，。為ACH勺中點(diǎn)

???E0為三角形AAC的中位線AE0//A.C

又E0在平面石內(nèi)，AC在平面3DE外

，4?！ㄆ矫鍮DE.

例2、（證明是平行四邊形）已知正方體ABCD-^C^,0是底48C。對(duì)角線的交點(diǎn).求證：C\O

〃面；

證明：（1）連結(jié)AG，設(shè)AGC旦A=q,連結(jié)政

??,A3co-44G。是正方體AACG是平行四邊形

???AiG〃AC且AC,=AC

又。,。分別是4。4。的中點(diǎn)，???0?！?10且。6=｛。

.?.A0G?是平行四邊形

.??G°〃Aa，A。］u面A3Q,。100面4與。1???。|。〃面4與。］

3、面面平行的判斷：

（1）一種平面內(nèi)日勺兩條相交直線分別平行于另一種平面，這兩個(gè)平面平行。

（2）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

例4、如圖，在正方體A8CD-A/|C'a中，E.卜、G分別是

AB.AD.GR的中點(diǎn).求證：平面Q|E/〃平面BDG.

證明：???￡、F分別是A3、A。日勺中點(diǎn)，E8。

又斯2平面3OG,8。u平面BOG..〃平面80G

??,D,G4EB四邊形RGBE為平行四邊形，DXE//GB

又REz平面BOG,GBu平面BQG「.〃平面BDGE/CREUE,.平面REF〃平面

BDG

4、線線垂直的判斷：

若一宜線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。

補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中日勺一條垂直，也必垂直平行線中的I另一條。

例5、已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA_L平面ABCD,E、

（1）求證：EF〃平面PAD；（2）求證：EF1CD；

5、線面垂直的判斷：

（1）假如直線和平面內(nèi)口勺兩相交直線垂直，這條直線就垂直丁?這個(gè)平面。

（2）假如兩條平行線中口勺一條垂直于一種平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。

（3）一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一種平面，它也垂直于另一種平面。

（4）假如兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面。

S

例6、（線線線面相互轉(zhuǎn)化）已知AA區(qū)。中NAC〃=90,54_1_面ABC,ADA.SC,求

AB

C

證：AD_L面S8C.

證明：???ZAC3=9()°BC±AC

又54_1_面48。/.SAIBC.?.BC_L面必。

:.BCLAD又SC,AD>SCcBC=C...從。j.面SBC

例7、（構(gòu)造直角三角形）四面體A3CQ中，AC=E）,反尸分別為AOIC日勺中點(diǎn)，.且所=當(dāng)AC,

NBOC=90,求證：8。_L平面4c力

證明：取CQR勺中點(diǎn)G,連結(jié)EG/G,???E,尸分別為ARBC的中點(diǎn),

:.EGU-AC

2

FGU-BD,又AC=8D.???/G='AC,

22

???在AER7中，EG2-iFG2=-AC2=EF2

2

：?EG工FG,：.BDLAC,又NBDC=9。,即3￡)_LC￡>,

ACr>CD=CBO_L平面ACO

例8、如圖2,在三棱錐/一比Z?中，BC=AC,AD=BD,作■BELCD,￡為垂足，作他上BE于H.

求證：平面BCD.

證明：取4?附中點(diǎn)尸，連結(jié)5DF.

VAC=BC,：.CFLAB.

?；AD=BD,：.DFLAB.

又。尸口。尸二/，???AB_L平面a雙

COu平面CDF,：.CDLAB.

又CD上BE,BEcAB=B,

???C￡)_L平面力做，CD工AH,?；AHLCD,AH工BE,CDcBE=E,：.47_1_平面以。

例9、（三垂線定理）證明：在止方體ABCD—AIBIGDI中，AiC_L平面BCiD

證明：連結(jié)AC

VBD±AC.?.AC為AiC在平面AC上的射影

RD1A}C

A。"1"平面BQ。

同理可證41CJL8G

6、面面垂直的判斷:

一種平面通過(guò)另一種平面的I垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。

例10、如圖，已知空間四邊形A8CO中，BC=AC,AD=BD,E是44日勺中點(diǎn)。

求證：（1）A8J_平面CDE;（2）平面CDEJL平面A8C。

BC=AC

證明:(1)\=>CELAB

AE=BE

AD-BD

同理,■nDEJLAB

AE=BE

又?/CEcDE=E：.AB±^CDE

（2）由（1）有A8_L平面COE

又丁AB7平面ABCf.??平面CDE1平面ABC

練習(xí)

1.如圖：梯形ABC。和正△ZAB所在平面互相垂直，其中

ABHDC,AD=CD=-AB,且。為A3中點(diǎn).（I）求證：

2

平面POD；（II）求證：AC.LPD.

2.如圖，菱形ABCDWl邊長(zhǎng)為6,NB4O=60,ACnBO=O.將菱形A8C。沿對(duì)角線AC折起,

得到三棱錐8-ACQ,點(diǎn)M是棱3C/、J中點(diǎn)，DM=372.

3.如圖，在四棱錐P-A8c。中，底面A3co為直角梯形，AD//BC,

ZADC=90°,BC=^AD,PA=PD,Q為中點(diǎn).

(I)求證：ADJ_平面PBQ；(II)若點(diǎn)M在棱PC上,

PM=lMC,試確定/時(shí)值，使得以〃平面BMQ.

4.已知四棱錐P-A3CD口勺底面是菱形.

(I)求證：PC〃平面3OE；

(II)求證：平面尸AC_L平面

5.已知直三棱柱ABC-AMG的所有棱長(zhǎng)都相等，且。,豆尸分別為BC,叫,A4的中點(diǎn).

(I)求證：平面8/C〃平面￡V)；(IT)求證：BQ，平面E4D

6.正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，

ZADE=90,AF//DE,。后=ZM=2A/=2.(I)求證：AC_L平

面BDE；(II)求證：AC//^BEF；(山)求四面體勺體積.

7.如圖，在四棱錐?一446中，平面PAD_L平面ABCD,AB=AD,ZBAD=60°，E、F分別

是AP、AD的中點(diǎn)求證：(1)直線EF〃平面PCD；是)平面BEF_L平面PAD.

(第7題圖)

8.如圖，四邊形ABC。為正方形，QAJ_平面48CO,PD//QA,QA=AB=-PD.(I)證明：PQA.

2

平面。CQ；(II)求棱錐Q—A3C0H勺的體積與棱錐「一OCQIT'J體積的比值.

P

A

Q

9.如圖，在aABC中，ZABC=45°,ZBAC=90°,AD是BC上曰勺高，沿AD把a(bǔ)ABD折起，使N

BDC=90°o(1)證明：平面ADB_L平面BDC；(2)設(shè)BD=1,求三棱錐D—ABC的表面

積。

10、如圖，在正萬(wàn)體ABC。-中，石是AA的中點(diǎn).44

(1)求證:AC〃平面8DE；(2)求證:平面AACJ.平面

BDE.

D

三、線線、線面和面面的成角問(wèn)題

1、兩異面直線及所成的角：不在同i種平面的兩條直線，叫做異面直線,已知異面直線a,b,通過(guò)空

間任一點(diǎn)O作直線/〃加〃〃，我們把。'與〃'所成口勺銳角(或直角)叫做異面直線。與〃所成口勺

角(或夾角).假如兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條直線互相垂直.

2、直線和平面所成的角：一條直線PA和一種平面。相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫

做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。過(guò)斜線上斜足以外日勺一點(diǎn)向平面引垂線P0,

過(guò)垂足0和斜足A的直線A0叫做斜線在這個(gè)平面上的射影。

平面口勺一條斜線和它在平面內(nèi)口勺攝影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成口勺角。一條直

線垂直于平面，我們就說(shuō)它們所成的角是直角。一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它

們所成的角是0°.

3、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所構(gòu)成的圖形叫做二面角。在二面角1一/一戶口勺棱/

上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)。為垂足，在半平面。和8內(nèi)分別作垂直于棱/的射線OA和OB,則射線

OA和OB構(gòu)成的NAOB叫做二面角的I平面角。

二面角的大小可以可以用它的平面角來(lái)度量，二而角的I平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多

少度。

常見(jiàn)角的取值范圍：

①異面直線所成的角（0,5直線與平面所成的角0,^二面角的取值范圍依次［0,TT］

②直線日勺傾斜角［0,不）、到4的I角［。，乃）、乙與時(shí)夾角日勺取值范圍依次是bl

③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是［0,〃］,（-2二）.

2222

點(diǎn)到平面距離：求點(diǎn)到平而日勺距離就是求點(diǎn)到平面日勺垂線段的I長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面

內(nèi)日勺垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法日勺應(yīng)用.

例1.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E、F分別為棱44、

的中點(diǎn)，G為棱上的一點(diǎn)，且4G=/l則點(diǎn)

G到平面。歸尸日勺距離為（D）

BCD

A忑444

例2、已知ABC。是矩形，PA_L平面ABC。，AB=2,幺=4)=4,

七為8C的)中點(diǎn).

(1)求證：。石，平面B4石；(2)求直線OP與平面B4E所成的角.

證明：在AAOE'中，AD2=AE2^DE2,/.AEA.DE

?IP4_L平面ABC。，DEu平面A3CD,PA±DE

又PAcAE=A,DEL平面PAE

(2)NDPE為OP與平面R正所成的角

在R/AP4。，PD=46,在RfAOCE中，DE=2五

在RfAD"中，PD=2DE,NDPE=30°

練習(xí):

1、己知四邊形A8CQ是空間四邊形，￡,￡6“分別是邊/1伐8。,。。,94日勺中點(diǎn)

(1)求證：EFGH是平行四邊形

(2)若BD=26,AO2,EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成『、J角。

證明：在A/WD中，???￡”分別是AB,A。日勺中點(diǎn)???

2

同理，F(xiàn)GHBDFG=-BD：,EH//FG,EH=FG：.四邊形EFGH是平行四邊形。

y2

(2；90°30°

2、如圖，在四棱錐P-45C。中，平面QAD_L平面43CD,AB//DC,△24。是等邊三角形,

已如BD=2AD=8,AB=2DC=4后.

(I)設(shè)例是尸C上的一點(diǎn)，證明：平面平面PA。；

(11)求四棱錐夕-ABC。日勺體積.

(I)證明：在△”￡＞中，由于AD=4,30=8,AB=4出,

因此AD2+BD2=AB2.故A。_L加).

又平面BAO_L平面A3CD,平面PAOn平面A^CD=A。,

60u平面ABC。，

因此BD_L平面PAD,又匝)u平面MBD,

故平面平面.

(II)解：過(guò)P作尸O_LAO交AO于0,

山于平面平面ABCD,因此尸O_1_平面ABCD.

因此尸。為四棱錐ABCD日勺高，

又△PAO是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.因此尸。=立x4=2g.

2

在底面四邊形ABC。中，AB//DC,AB=2DC,

因此I四邊形A8CO是梯形，在中，斜邊A8邊上的高為華二更,

4后5

此即為梯形A5c。日勺高,

因此四邊形枷加面積為S=汽芷苓=24.

故^P-ABCD-1x24x273-1673.

3

3、如圖，在四棱錐尸-A3CZ)中，底面A3CO是NDW=60°且邊長(zhǎng)為。的菱形，側(cè)面PAO是等

邊三角形，且平面小。垂直于底面ABCO.

(1)若G為A。的中點(diǎn)，求證：3G_L平面PAO；

(2)求證：ADIPR：

(3)求二面角A-8C-P的)大小.

證明：(1)AABD為等邊三集形且G為4。的中點(diǎn)，BGJ_AD

又平面尸4。_L平面ABC。，..8G_L平面尸AO

(2)24。是等邊三角形且G為AO的中點(diǎn)，AO_LPG

且AO_L8G,“GC〃G-G,...平面尸KG,

P8u平面PBG,/.ADVPB

(3)由AO_LPB,AD//BC.BC1PB

又8G_LAO,AD//BC,BGLBC

/P8G為二面角人-〃。一夕日勺平面角

在R/AP8G中，PG=BG,/.ZPBG=45°

4.如圖，在四棱錐O-A3C。中，底面A3CO是邊長(zhǎng)為1的菱形，ZABC=-,Q41底面ABC。,

4

04=2,M為04的中點(diǎn)，N為8C的中點(diǎn)。

(I)證明：直線M/V〃平面OCT)：(II)求異面直線AB與MD所成角H勺大小：

(III)求點(diǎn)B到平面OCDH勺距離。

解：措施一(綜合法)

(1)取0B中點(diǎn)E,連接ME,NE

???MEIIAB,ABIICDMEIICD

又「NEIIOC,「.平面MNEII平面OCO:.MNII平面OCO

(2)?.，CDBAB,???NMDC為異面直線A3與MQ所成日勺角(或其補(bǔ)角)

,D

P

BN

cos/MDP=—=￡MDC=4MDP=-

MD23

因此回與山所成角的大小叼

(3)???八3〃平面??點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作

AQLOP于點(diǎn)Q,VAP±CD,OA±CD,/.CD±AQ±CD

乂???AQ_LOP,???AQ_L平面OCD,線段AQ5勺長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD日勺距離

OP=yjOD2-DP2=y]OA2+AD2-DP2=真AP=DP吟

2及

2*72

???AQ二型"因此點(diǎn)B到平面OCD的距離為士

OP33

高考訓(xùn)練:

1,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD_L底而ABCD,PD=DC,E是PC日勺中點(diǎn),

作EF_LPB交PB于點(diǎn)F.⑴證明PA〃平面EDB；(2)證明PB_L平面EFD；

2,(?潮州模擬)如圖1,四邊形ABCD為矩形，AE=EB=BC=2,F為CE上的點(diǎn),

且BF_L平面ACE,ACGBD=G.(1)求證：AE_L平面BCE；(2)求證：AE〃平

面BFD；(3)求三棱錐C-BGF日勺體積.

3、(?廣州質(zhì)檢)如圖4,四邊形ABCD是矩形,平面ABCD，平面BCE,BE1EC.

BF

(1)求證：平面AEC_L平面ABE；(2)點(diǎn)F在BE上.若DE〃平面ACF,求能時(shí)值.

DD

234、(?佛山質(zhì)檢)在直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB=1,如=近AB_LBC,CDJ_BD,如圖6(1).把

△ABD沿BD翻折，使得平面A'BDJ_平面

BCD,如圖(2).

⑴求證:CD_LA'B；

⑵求三棱錐A'—BDC的體積;

⑶在線段BC上與否存在點(diǎn)N,使得A'N_LBD?若存在，祈求出芯的值；若不存在，請(qǐng)闡明埋

由.

5、（深圳一模）如圖甲，0OH勺直徑45=2,圓上兩點(diǎn)C、O在直徑鉆的兩側(cè)，使/。8二二，ADAB=~.沿

43

直徑A4折起，使兩個(gè)半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），尸為3c的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn).根據(jù)圖乙解

答下列各題：（1）求三棱錐48II勺體積；（2）求證：CB人DE；

（3）在80上與否存在一點(diǎn)G,使得戶6〃平面4C/）?若存在，試確定點(diǎn)G的位置：若不存在，請(qǐng)闡明理由.

（圖甲）

立體幾何知識(shí)點(diǎn)

一、空間幾何體

1.多面體：由若干個(gè)多邊形圍成日勺幾何體，叫做多面體。圍成多面體日勺各個(gè)多邊形叫做多面體

U勺面,相鄰兩個(gè)面I內(nèi)公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).

2.棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其他各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都平行，

由這些面所圍成的I多面體叫做棱柱。兩個(gè)互相平行日勺面叫做底面,其他各面叫做側(cè)面.

3.棱錐：有一種面是多邊形，其他各面都是有一種公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成H勺多面

體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正多

邊形的中心。

4.棱臺(tái)：用一種平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái)。曰正棱錐截得

的樓臺(tái)叫做正棱臺(tái)。

正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底面的

截面是相似的正多邊形

5.旋轉(zhuǎn)體：由一種平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成日勺封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做

旋轉(zhuǎn)體的軸，

6.圓柱、圓錐、圓臺(tái)：分別以矩形的一邊、直角三角形口勺直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所

在日勺直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他各邊旋轉(zhuǎn)而形成的I曲面所圍成H勺幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)。

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；過(guò)軸的截面（軸截面）分別是全等日勺矩

形、等腰三角形、等腰梯形。注：在處理圓錐、圓臺(tái)日勺側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題時(shí)，常常用

到弧長(zhǎng)公式I=aR

7.球：以半圓的直彳仝為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成日勺曲面叫做球間.球面所圍成的幾何體叫做球體（簡(jiǎn)

稱球）

8.簡(jiǎn)樸空間圖形的三視圖：一種投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個(gè)平面內(nèi)日勺圖形

叫做俯視圖。一種投影面放置在正前方，這個(gè)投影面叫做直立投影面，投影到這個(gè)平面內(nèi)的圖

形叫做主視圖（正視圖）。和直立、水平兩個(gè)投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影面，一般把這

個(gè)平面放在直立投影面的右面，投影到這個(gè)平面內(nèi)日勺圖形叫做左視圖（側(cè)視圖）。三視圖H勺主視

圖、俯視圖、左視圖分別是從物體口勺正前方、正上方、正左方看到口勺物體輪廓線【向正投影圍成

的平面圖形。

（1）.三視圖畫法規(guī)則:

高平齊：主視圖與左視圖日勺高要保持平齊

長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖日勺長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正

寬相等：俯視圖與左視圖日勺寬度應(yīng)相等

（2）.空間幾何體三視圖：止視圖（從前向后的止投影）;

側(cè)視圖（從左向右的正投影）；

俯視圖（從上向下正投影）.

例題1.某叫棱，錐底面為直角梯形，

一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示，

則其體積為.

例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐，

其中棱尸4垂直于底面，它日勺三視圖對(duì)日勺的是（B）

（3）.空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法特點(diǎn):

①斜二測(cè)坐標(biāo)系的），軸與x軸正方向成45。角；②原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行,長(zhǎng)度不

變；③原來(lái)與），軸平行日勺線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的二分之一.

常用結(jié)論：平面圖形面積與其斜二側(cè)直觀圖面積之比為2日：1.

例.假如一種水平放置日勺平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一種底仍為45。，腰和上底均為1的等腰

梯形，那么原平面圖形的面積是（A）.

A.2+V2B.上野C.D.1+V2

9.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，〃為高，力為斜高，/為母線）：

S直枝柱側(cè)而積=chS網(wǎng)柱惻=27S正核推惻面積二萬(wàn)。/?’S網(wǎng)儺側(cè)而積=尉

S正枝臺(tái)惻面枳=5（。|+c2）"S回臺(tái)側(cè)面積=（r+R）7dS陰柱表=2療（尸+/）S阮惟表=R（廣+/）

品"表=+H+R/+R2）S球面二4乃改

10柱體、錐體、臺(tái)體和球的體積公式：

唳=S〃=Sh=7rr2h%％惟=家.

匕.=1（S+VFs+S）h%］臺(tái)=g（5'++S）〃=g4（產(chǎn)+水+R2）hV球二

例題3:已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一種底邊長(zhǎng)為8、高

為4H勺等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一種底邊長(zhǎng)為6、高為4H勺等腰三角形.

11）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S

⑵V=64........7分（3）5=40+2472.....12分

例4.已知各頂點(diǎn)都在一種球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是（C）

A.16萬(wàn)B.20〃C.247rD.32〃

/?

例5.半徑為R口勺半圓卷成一種圓錐，則它口勺體積為——.

24

練習(xí)：

1.已知一種幾何體H勺三視圖及其大小如圖1,這個(gè)幾何體的體積V=（B）

A.\2兀B.16萬(wàn)C.18乃D.64乃

2.右圖是一種幾何體H勺三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是

俯視圖

(C)

A.32兀8.16萬(wàn)C.12)。.84

3.某幾何體日勺三視圖如圖所示，其俯視圖是由一種半圓與其直徑

構(gòu)成的圖形，則此兒何體H勺體積是（C）

20

A.一71B67rC嗎D-T

3*3

4?一種幾何體的三視圖是三個(gè)邊長(zhǎng)為1時(shí)止方形和對(duì)角線,

如圖所示，則此兒何體的體積為（C）

正視圖左視圖

5.一種空間幾何體的三視圖如圖所小,根據(jù)圖標(biāo)出口勺尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積為（A）

A.4B.8C.12D.24

-2T

左視圖

6.若一種底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所

示，則這個(gè)棱柱的體積為

A.12&B.6C.276D.366/A

7.如圖是一種幾何體的三視圖，若它的體積是36，則a=（C）

S觀圖

A.&B.4C.6D.J

8.某幾何體日勺三視圖如圖所示（俯視圖是正方形,正視圖和左視圖是兩個(gè)全等等腰三角形）根據(jù)

圖中標(biāo)出日勺數(shù)據(jù)，可得這個(gè)幾何體的表面積為（B）

A.4+4百B.4+475C.-D.12

3

9.一種幾何體的二視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（A）

￡

-TB.

10.已知某幾何體的三視圖如右,根據(jù)圖中標(biāo)出口勺尺寸（單位：s〃）

可得這個(gè)幾何體的體積是（B）

3ft.hlARI

AQ

A.—cnrB.—cm3C.2dD.4cf?r

33

|<——>1

々VU日方附

二、立體幾何點(diǎn)線面的位置關(guān)系A(chǔ)m?*?t

例2.如圖，在正四棱柱A6CD—中，E、F分別是BC,W

中點(diǎn)，則如下結(jié)論中不成立的是（D）

A.EF與5"垂直B.E尸與8行直

C.E尸與CD異面D.石廠與A￡異面

例2.己知〃21是兩條不一樣直線，圓〃〃是三個(gè)不一樣平面，下列命題中對(duì)日勺的是（D）

A.若mIIa,nIIa,則〃？IInB.若a_Ly,J31y,則aIIP

C.IIa,m!/MaIIpD.若〃?_La.〃_La.則mIIn

例3.已知平面a_L平面B,。0[3=/,點(diǎn)人￡&,A",直線AB〃/,直線AC_LA直線m〃

a,m〃B,則下列四種位置關(guān)系中，不?一?定?成立的是(D)

A.AB〃加B.ACl/nC.AB〃BD.AC±&

練習(xí)：

1.設(shè)直線〃7與平面a相交但不垂直，則下列說(shuō)法中對(duì)日勺的是(B)

A.在平面a內(nèi)有旦只有一條直線與直線，〃垂直B.過(guò)直線〃?有旦只有一種平面與平面。垂直

C.與直線機(jī)垂直H勺直線不*可能與平面。平行D.與直線平行的平面不?可能與平面。垂直

2.設(shè)a,人為兩條直線,a,4為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，對(duì)的的命題是(D)

A.若a,Z?與a所成的I角相等，則a〃Z?B.若a!/a，b〃0、a//P,則a〃Z?

C.若aua,bu/3,a//h,則二〃/?D.若。_10,b上。,a_L尸，則Q_LZ?

3.給出下列四個(gè)命題：

①垂直于同一直線日勺兩條直線互相平行.

②垂直于同一平面H勺兩個(gè)平面互相平行.

③若直線/"2與同一平面所成的角相等，則44互相平行.

④若直線44是異面直線，則與44都相交的兩條直線是異面直線.

其中假*命題日勺個(gè)數(shù)是(D)

(A)l(B)2(C)3(D)4

4.設(shè)a、(3、/為平面，〃?、〃、/為直線，則，〃J■〃口勺一種充分條件是(D)

(A)a±p,aryP-Ijn±/(B)acy=m,oc工八/3Ly

(C)aLy,PLy,mLa(D)nLa.nLp.mLa

5.設(shè)〃i、〃是不一樣的J直線，a、夕、y是不一樣日勺平面，有如下四個(gè)命題:

①若?！?/,a〃y,貝②若a_L/,則〃z_L//

③若〃z_L。,〃2〃尸，則a_L/?④若/〃〃〃，〃ua,則團(tuán)〃a

其中真命題的序號(hào)是（D）

A.①④B.②③C.②④D.①③

6.對(duì)于平面。和直線成“，下列命題中假?命?題?H勺個(gè)數(shù)是（D）

①若mLaym1n,則nila;②若mHa,nila,則〃2〃n;

③若機(jī)〃a,〃ua,則"2，〃；④若〃1//〃，〃4a,則〃a

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.若/,小，〃是互不相似的空間直線，a,夕是不重疊的平面，則下列命題中為真命題的是（D）

A.若a〃從/Ca,〃U￡,則/〃〃B.若aJL￡,/Ca,則

C.若/_!_〃，/%_!_〃，貝!］/〃，〃D.若/_La,I////,則a_L。

8.如〃、〃是兩條不重疊的直線，。、小y是三個(gè)兩兩不重疊的J平面，給出下列四個(gè)命題：

①若a_La,〃_!_//,則a〃鹿港a_Ly,^±7,貝ija〃4

③若a〃6aUa,bU/f,貝hi〃。④若a〃夕，aOy=a,0Cy=b,則a〃Z?

其中對(duì)的命題的序號(hào)有.［答案］①④

1、線線平行的判斷：

⑴平行于同一直線日勺兩直線平行。

（2）假如一條直線和一種平面平行，通過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線

和交線平行。

（3）假如兩個(gè)平行平面同步和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

（4）垂直于同一平面的兩直線平行。

2、線面平行的判斷:

（1）假如平面外日勺一條直線和平面內(nèi)日勺一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。

（2）兩個(gè)平面平行，其中一種平面內(nèi)日勺直線必平行于另一種平面。

例1、（三角形中位線定理）如圖，在正方體中，E是AA的中點(diǎn)，求證：4。〃

平面8。七。

證明：連接AC交6。于0,連接石O,

???七為4A的中點(diǎn)，。為ACH勺中點(diǎn)

???E0為三角形AAC的中位線AE0//A.C

又E0在平面石內(nèi)，AC在平面3DE外

，4?！ㄆ矫鍮DE.

例2、（證明是平行四邊形）已知正方體ABCD-^C^,0是底48C。對(duì)角線的交點(diǎn).求證：C\O

〃面；

證明：（1）連結(jié)AG，設(shè)AGC旦A=q,連結(jié)政

??,A3co-44G。是正方體AACG是平行四邊形

???AiG〃AC且A