訓(xùn)練32統(tǒng)計(jì)一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·上饒模擬)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則()x345678y－3.0－2.00.5－0.52.54.0A.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 B.eq\o(a,\s\up6(^))>0，eq\o(b,\s\up6(^))<0C.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0 D.eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))<0答案C解析如圖，從整體上看這些點(diǎn)大致分布在一條直線的周圍，且該回歸直線的斜率為正，在y軸上的截距為負(fù)，則eq\o(a,\s\up6(^))<0，eq\o(b,\s\up6(^))>0.2．(2021·全國甲卷改編)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率直方圖：根據(jù)此頻率直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間答案C解析對于A，根據(jù)頻率直方圖可知，家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率約為(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正確；對于B，根據(jù)頻率直方圖可知，家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率約為(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正確；對于C，根據(jù)頻率直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬元)，故C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)頻率直方圖可知，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正確．3．(2023·貴州模擬)小明處理一組數(shù)據(jù)，漏掉了一個(gè)數(shù)10，計(jì)算得平均數(shù)為10，方差為2，加上這個(gè)數(shù)后的這組數(shù)據(jù)()A．平均數(shù)等于10，方差等于2B．平均數(shù)等于10，方差小于2C．平均數(shù)大于10，方差小于2D．平均數(shù)小于10，方差大于2答案B解析設(shè)這組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，它的平均數(shù)為10，方差為2，所以x1＋x2＋…＋xn＝10n，(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(xn－10)2＝2n，添上數(shù)據(jù)10后，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,n＋1)×(x1＋x2＋…＋xn＋10)＝eq\f(1,n＋1)×(10n＋10)＝10，方差為eq\f(1,n＋1)[(x1－10)2＋(x2－10)2＋…＋(xn－10)2＋(10－10)2]＝2·eq\f(n,n＋1)<2.所以加上這個(gè)數(shù)后的這組數(shù)據(jù)平均數(shù)等于10，方差小于2.4．(2023·湘豫名校模擬)疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)防接種的預(yù)防性生物制品，其前期研發(fā)過程中，一般都會進(jìn)行動物保護(hù)測試，為了考察某種疫苗預(yù)防效果，在進(jìn)行動物試驗(yàn)時(shí)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：未發(fā)病發(fā)病合計(jì)未注射疫苗20注射疫苗30合計(jì)5050100附表及公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥x0)0.050.010.0050.001x03.8416.6357.87910.828現(xiàn)從試驗(yàn)動物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為eq\f(2,5)，則下列判斷錯(cuò)誤的是()A．注射疫苗發(fā)病的動物數(shù)為10B．從該試驗(yàn)未注射疫苗的動物中任取一只，發(fā)病的概率為eq\f(2,3)C．能在犯錯(cuò)概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為疫苗有效D．該疫苗的有效率為75%答案D解析由題意知，注射疫苗的動物共40只，未注射疫苗的動物為60只，補(bǔ)充列聯(lián)表，未發(fā)病發(fā)病合計(jì)未注射疫苗204060注射疫苗301040合計(jì)5050100由此可得A，B正確．計(jì)算得χ2＝eq\f(100×20×10－40×302,60×40×50×50)≈16.67>10.828，故能在犯錯(cuò)概率不超過0.001的前提下認(rèn)為疫苗有效．C正確，D錯(cuò)誤．二、多項(xiàng)選擇題5．研究變量x，y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，以下結(jié)論正確的是()A．可利用最小二乘思想求得使隨機(jī)誤差平方和最小的線性回歸模型B．用相關(guān)系數(shù)r來刻畫回歸效果，|r|越小說明擬合效果越好C．線性回歸方程對應(yīng)的直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)D．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)r＝－0.9462，則變量y和x之間的負(fù)相關(guān)性很強(qiáng)答案AD解析對于A，利用最小二乘法求得線性回歸方程，A正確；對于B，相關(guān)系數(shù)r來刻畫回歸的效果時(shí)，|r|越大，說明模型的擬合效果越好，B錯(cuò)誤；對于C，線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，但可能不經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對于D，變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)r＝－0.9462時(shí)，說明變量y和x呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且負(fù)相關(guān)性很強(qiáng)，D正確．6．(2024·南京模擬)下表顯示的是2020年4月份到12月份中國社會消費(fèi)品零售總額數(shù)據(jù)，其中同比增長率是指和去年同期相比較的增長率，環(huán)比增長率是指與上個(gè)月份相比較的增長率，則下列說法正確的是()中國社會消費(fèi)品零售總額月份零售總額(億元)同比增長環(huán)比增長累計(jì)(億元)428178－7.50%6.53%106758531973－2.80%13.47%138730633526－1.80%4.86%172256732203－1.10%－3.95%2044598335710.50%4.25%2380299352953.30%5.14%27332410385764.30%9.30%31190111395145.00%2.43%35141512405664.60%2.66%391981A.2020年4月份到12月份，社會消費(fèi)品零售總額逐月上升B．2020年4月份到12月份，11月份同比增長率最大C．2020年4月份到12月份，5月份環(huán)比增長率最大D．第4季度的月消費(fèi)品零售總額相比第2季度的月消費(fèi)品零售總額，方差更小答案BCD解析對于A選項(xiàng)，7月份的零售總額比6月份的少，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由表格中數(shù)據(jù)可知，2020年4月份到12月份，11月份同比增長率最大，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由表格中數(shù)據(jù)可知，2020年4月份到12月份，5月份環(huán)比增長率最大，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，第4季度的月消費(fèi)品零售總額在(38000，41000)內(nèi)，而第2季度的月消費(fèi)品零售總額在(28000，34000)內(nèi)，前者數(shù)據(jù)更集中，方差更小，D選項(xiàng)正確．三、填空題7．如果數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為10，方差為3，則3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均數(shù)為________，方差為________．答案3527解析因?yàn)閤1，x2，…，xn的平均數(shù)為10，所以3x1＋5,3x2＋5，…，3xn＋5的平均數(shù)為eq\f(3x1＋x2＋…＋xn,n)＋5＝35，其方差為eq\f(1,n)[(3x1－30)2＋(3x2－30)2＋…＋(3xn－30)2]＝9×3＝27.8．2023年7月15日，某市物價(jià)部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x99.5m10.511銷售量y11n865可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝______.答案10解析依題意eq\x\to(x)＝eq\f(40＋m,5)，eq\x\to(y)＝eq\f(30＋n,5)，代入線性回歸方程得eq\f(30＋n,5)＝－3.2×eq\f(40＋m,5)＋40，根據(jù)題意m＋n＝20，解方程組得m＝n＝10.四、解答題9．某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(滿分100分)，得到了樣本的頻率直方圖(如圖)．一般學(xué)校認(rèn)為成績大于等于80分的學(xué)生為優(yōu)秀．(1)根據(jù)頻率直方圖，估計(jì)3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)；(2)依據(jù)樣本的頻率直方圖，估計(jì)總體成績的眾數(shù)和平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．解(1)由樣本的頻率直方圖可知，在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的頻率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，則估計(jì)3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績優(yōu)秀的學(xué)生有3000×0.28＝840(名)．(2)由樣本的頻率直方圖可知，估計(jì)總體成績的眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75，平均數(shù)為0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.所以估計(jì)總體成績的眾數(shù)為75，平均數(shù)為71.2.10．為推動更多人去閱讀和寫作，聯(lián)合國教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”，其設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人，無論你是年老還是年輕，無論你是貧窮還是富裕，都能享受閱讀的樂趣，都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻(xiàn)的思想大師們，都能保護(hù)知識產(chǎn)權(quán)．為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機(jī)調(diào)查了200名居民，這200人中通過電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3∶1.將這200人按年齡(單位：歲)分組，統(tǒng)計(jì)得到通過電子閱讀的居民的頻率直方圖如圖所示．(1)求a的值及通過電子閱讀的居民的平均年齡；(2)把年齡在[15,45)內(nèi)的居民稱為中青年，年齡在[45,65]內(nèi)的居民稱為中老年，若選出的200人中通過紙質(zhì)閱讀的中老年有30人，請完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有97.5%的把握認(rèn)為閱讀方式與年齡有關(guān)．電子閱讀紙質(zhì)閱讀合計(jì)中青年中老年合計(jì)附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥x0)0.150.10.050.0250.01x02.0722.7063.8415.0246.635解(1)由頻率直方圖可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，解得a＝0.035，所以通過電子閱讀的居民的平均年齡為20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(歲)．(2)這200人中通過電子閱讀的人數(shù)為200×eq\f(3,3＋1)＝150，通過紙質(zhì)閱讀的人數(shù)為200－150＝50.因?yàn)?0.01＋0