重難點(diǎn)09球的切、接問題及截面、翻折問題（6種考法）【目錄】考法1：正方體（或長(zhǎng)方體）的切、接球考法2：柱體的切、接球考法3：錐體的切、接球考法4：臺(tái)體的切、接球考法5：截面問題考法6：翻折問題二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略一、外接球題型歸類：（1）三線垂直圖形計(jì)算公式：三棱錐三線垂直還原成長(zhǎng)方體（2）由長(zhǎng)方體（正方體）圖形的特殊性質(zhì)，可以構(gòu)造如下三種模型：①三棱錐對(duì)棱相等．，，，是三個(gè)對(duì)棱棱長(zhǎng)．②等邊三角形與等腰直角三角形連接．③投影為矩形．（3）線面垂直型：線垂直一個(gè)底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）．計(jì)算公式；其中（4）面面垂直型一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型（5）垂線相交型等邊或者直角：等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心．直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線，必過球心．許多情況下，會(huì)和二面角結(jié)合．二、求多面體的外接球的半徑，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果涉及幾何體有兩個(gè)面相交，可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.三、立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長(zhǎng)線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長(zhǎng)線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.三、題型三、題型方法1．（多選）（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論成立的有（

）A．過的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形B．的最小值為C．當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的半徑為D．兩點(diǎn)間的最短距離為考法2：柱體的切、接球2．（2023?吉安一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)，其外接球的表面積為20π，D是B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A1D上的動(dòng)點(diǎn)，過BC且與AP垂直的截面α與AP交于點(diǎn)E，則三棱錐A﹣BCE的體積的最大值為（）A． B． C． D．考法3：錐體的切、接球3．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27]4．（2023?新羅區(qū)校級(jí)三模）已知正六棱錐P﹣ABCDEF的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，球心O在該正六棱錐的內(nèi)部，若球O的體積為36π，則該正六棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．5．（2023?雅安三模）已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為（）A． B． C． D．6．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，，由三點(diǎn)確定的平面與側(cè)棱交于點(diǎn)，且，則球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐PO的高及底面圓直徑均為2，若圓錐PO在球內(nèi)，則球的體積的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023·海南·海南中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，三棱錐中，的面積為8，則三棱錐外接球的表面積的最小值為（

）

A． B． C． D．9．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（

）A． B．C． D．10．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點(diǎn)，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

11．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）在棱長(zhǎng)為6的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為．12．（多選）（2023·湖北武漢·華中師大一附中模擬）正四棱柱，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則下列結(jié)論正確的（

）A．點(diǎn)到平面的距離是．B．四棱錐內(nèi)切球的表面積為．C．平面與平面垂直．D．點(diǎn)為線段上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為面內(nèi)的點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為．考法4：臺(tái)體的切、接球13．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和4，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A．100π B．128π C．144π D．192π14．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）圓臺(tái)上底半徑為，下底半徑為，此圓臺(tái)內(nèi)接于表面積為的球，點(diǎn)是上底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在下底面上的射影為，在下底面上過點(diǎn)的直線交底面圓周于點(diǎn)，點(diǎn)是下底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為．考法5：截面問題15．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，且，過作平面，使得平面平面AEF，則平面截直四棱柱，所得截面圖形的面積為（

）A． B． C．3 D．16．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長(zhǎng)為的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，得到所有棱長(zhǎng)均為a的截角四面體，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：①二面角的余弦值為；②該截角四面體的體積為；③該截角四面體的外接球表面積為④該截角四面體的表面積為，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．17．（2024·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)平面，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的外接球面積為 B．直線平面C．正方體被平面截得的截面為正六邊形 D．點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為18．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在矩形中，，將沿對(duì)角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（

）A． B． C． D．19．（多選）（2023·河北承德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六棱柱的各棱長(zhǎng)均為1，下列選項(xiàng)正確的有（

）A．過A，，三點(diǎn)的平面截該六棱柱的截面面積為B．過A，，三點(diǎn)的平面將該六棱柱分割成體積相等的兩部分C．以A為球心，1為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長(zhǎng)為D．以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長(zhǎng)為20．（多選）（2023·云南曲靖·?？既＃┤鐖D，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（

）

A．直線為異面直線B．平面C．過點(diǎn)的平面截正方體的截面面積為D．點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面，則的取值范圍是21．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、滿足，，其中、，點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，若平面，則的最大值為C．當(dāng)時(shí)，若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．過、、三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形可以為矩形22．（多選）（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論成立的有（

）A．過的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形B．的最小值為C．當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的半徑為D．兩點(diǎn)間的最短距離為23．（多選）（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，球的表面正好經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．平面B．球的體積為C．球被平面截得的截面面積為D．過點(diǎn)與直線，所成角均為的直線可作4條24．（多選）（2023·河北·校聯(lián)考三模）在棱長(zhǎng)為1的正方體的側(cè)面內(nèi)（包含邊界）有一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)到直線與到直線距離之比為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分B．若點(diǎn)到直線與到直線距離之比為，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分C．過點(diǎn)三點(diǎn)作正方體的截面，則截面圖形是平行四邊形D．三棱錐體積的最大值為25．（多選）（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)，使得與異面B．不存在點(diǎn)，使得C．直線與平面所成角的正切值的最小值為D．過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為26．（多選）（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，，為圓柱上下底面的圓心，O為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的體積之比為B．四面體CDEF的體積的取值范圍為C．平面DEF截得球的截面面積最小值為D．若P為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為27．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于228．（多選）（2023·廣東潮州·統(tǒng)考二模）在正方體中，，點(diǎn)P滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)平面時(shí)，與所成夾角可能為B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．若與平面所成角為，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)?P?C的截面面積的取值范圍為29．（多選）（2022·湖北武漢·武漢二中?？寄M預(yù)測(cè)）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長(zhǎng)的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積30．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考一模）如下圖，正方體中，M為上的動(dòng)點(diǎn)，平面，則下面說法正確的是（

）A．直線AB與平面所成角的正弦值范圍為B．點(diǎn)M與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大C．點(diǎn)M為的中點(diǎn)時(shí)，平面經(jīng)過點(diǎn)B，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形D．已知N為中點(diǎn)，當(dāng)?shù)暮妥钚r(shí)，M為的三等分點(diǎn)考法6：翻折問題31．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形中，、分別為邊、的中點(diǎn)，其中，把沿著翻折至的位置，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球的表面積為.

32．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，其中，把沿著DE翻折至的位置，得到四棱錐，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球的球心到平面的距離為.

33．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，過的平面交于G，則截面