專題19數(shù)列大題訓(xùn)練題型一、等差、等比數(shù)列的應(yīng)用1．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．已知等差數(shù)列中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；(2)記，求.4．（2023年云南省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)試求出所有的正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均有．5．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．6．（2023年江西省模擬數(shù)學(xué)試題）已知正項(xiàng)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，______，．請(qǐng)從條件①，；條件②，且，，成等比數(shù)列，兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在上面的橫線上，并完成下面的兩個(gè)問題．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．7．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷））設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為；是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為．已知，，，．（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若，求正整數(shù)的值．8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.題型二、分組求和法1．（2023屆新高考Ⅰ卷調(diào)研模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列：(2)若，求滿足條件的最大整數(shù).2．（2023屆河北省一模數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．4．（2023屆安徽省聯(lián)盟二模數(shù)學(xué)試題）已知首項(xiàng)為3的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的有.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.6．已知等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型三、錯(cuò)位相減法1．（2023屆安徽省、云南省、吉林省、黑龍江省適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意，，求m的最小值．2．（2023年安徽省模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和3．（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷））已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（2023年渝瓊遼（新高考2卷）名校仿真模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．6．（2023屆廣西摸底測試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型四、裂項(xiàng)相消法1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．2．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2023屆山西省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.4．（2023屆廣東省二模數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.5．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，(1)求(2)求6．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知＞0，=.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（天津卷））設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知，，，.（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，（i）求；（ii）證明.題型五、并項(xiàng)求和法1．（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.3．（2023年河南省模擬數(shù)學(xué)（文科）試題）已知數(shù)列滿足，數(shù)列為等比數(shù)列且公比，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，記數(shù)列滿足求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2023屆河南三模理數(shù)試題）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．5．（2023年黑龍江省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.6．（2023年山東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前12項(xiàng)和．題型六、倒序相加法1．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．已知為等比數(shù)列，且，若，求的值．3．已知函數(shù)對(duì)任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項(xiàng)公式.4．設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計(jì)算的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．5．已知函數(shù)，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則值是多少？.題型七、數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題1．（2023年安徽省教學(xué)質(zhì)量抽測數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．①，②，③．從這三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上面橫線中，并回答問題．2．（2023年江西省模擬考試數(shù)學(xué)試題）從①；②前項(xiàng)和滿足，；③中任選一個(gè)，并將序號(hào)填在下面的橫線上，再解答已知數(shù)列中，，且_____.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.(注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)3．（2023年江西省模擬數(shù)學(xué)試題）已知正項(xiàng)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，______，．請(qǐng)從條件①，；條件②，且，，成等比數(shù)列，兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在上面的橫線上，并完成下面的兩個(gè)問題．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．4．（2023年安徽省調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（2023屆海南模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)且均不相等，記為的前項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等比數(shù)列；②；③是等比數(shù)列．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．6．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．7．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.題型八、強(qiáng)化訓(xùn)練第一問1．（2023屆高三一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考（三）全國卷理科數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.求的通項(xiàng)公式；2．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；3．（2023屆云南省教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足設(shè)，證明：是等比數(shù)列4．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.求的通項(xiàng)公式；5．（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（安徽卷））數(shù)列滿足，，.證明：數(shù)列是等差數(shù)列；6．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（浙江卷））已知數(shù)列和滿足，求與；7．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（浙江卷））已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項(xiàng)．求的值；8．設(shè)數(shù)列滿足.求的通項(xiàng)公式；9．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；10．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．求和的通項(xiàng)公式；11．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列中，，．證明數(shù)列是等比數(shù)列；12．（2023年陜西省模擬（理科）數(shù)學(xué)試題）已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；13．（2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足是與的等差中項(xiàng).求數(shù)列的通項(xiàng)公式；14．設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)n=1，2，3，?判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；15．（2023年廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，.記，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；16．?dāng)?shù)列滿足：，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；17．（2023年全國名校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；18．（2023屆福建省模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足證明：數(shù)列為等差數(shù)列;19．設(shè)數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.20．（2024屆重慶市適應(yīng)性月考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，記，求證：為等比數(shù)列；21．（2023年安徽省階段性測試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．求；22．（2023年江西省模擬數(shù)學(xué)試題）在數(shù)列中，，，且.設(shè)為滿足的的個(gè)數(shù).求，的值；取值范圍.23．（2023年浙江省名校聯(lián)盟聯(lián)考數(shù)學(xué)試題），，遞增數(shù)列前項(xiàng)和為．(1)證明：為等比數(shù)列并求；(2)記，為使成立的最小正整數(shù)，求．24．（2023年福建省模擬考試數(shù)學(xué)試題）數(shù)列滿足，，λ為常數(shù)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列成為等比