專題41統(tǒng)計與統(tǒng)計案例（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布概率與統(tǒng)計近幾年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2022年全國乙（文科），第4題,5分莖葉圖計算平均數(shù)、中位數(shù)、概率2022年全國乙（文科），第14題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨立事件求概率2022年全國乙（理科），第13題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第19題,12分2022年全國乙（文科），第19題,12分（1）求平均數(shù)；（2）求相關(guān)系數(shù)（3）估算樣本量2022年全國甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨立性檢驗2022年全國甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望2022年全國甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國甲（理科），第2題,5分2022年全國甲（文科），第2題,5分眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)比較，求極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年全國乙（文科），第9題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環(huán)面積2023年全國乙（理科），第9題,5分計數(shù)原理與排列、組合2023年全國乙（理科），第17題,12分2023年全國乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數(shù)，方差；（2）統(tǒng)計新定義2023年全國甲（文科），第4題,5分計數(shù)原理、排列、組合與概率2023年全國甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國甲（理科），第9題,5分計數(shù)原理與排列、組合2023年全國甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）獨立性檢驗2023年全國甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數(shù)；（2）獨立性檢驗2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.通常會結(jié)合實際情境，例如社會熱點問題、經(jīng)濟發(fā)展數(shù)據(jù)、公司業(yè)務(wù)情況等，要求考生運用統(tǒng)計知識對實際問題進行分析和解釋；2.注重應(yīng)用性，即要求考生能夠運用統(tǒng)計方法和工具解決實際問題?？忌枰谡莆栈靖拍詈屠碚摰幕A(chǔ)上，具備數(shù)據(jù)處理、分析和解決問題的能力；3.考查考生的數(shù)據(jù)分析和處理能力，數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和解釋等；掌握各種統(tǒng)計方法和工具，并能夠運用它們對數(shù)據(jù)進行分析和解釋；4.關(guān)注時事熱點，了解相關(guān)的數(shù)據(jù)和研究報告，提高自身的數(shù)據(jù)意識和數(shù)據(jù)分析能力；【備考策略】1.了解簡單隨機抽樣的含義及利用其解決問題的過程,掌握兩種簡單隨機抽樣方法:抽簽法和隨機數(shù)法.掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差；2.能根據(jù)實際問題的特點,選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述,體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性；3.會求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù),理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義；4.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差),理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義；5.會求百分位數(shù),理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義；6.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義,會求樣本相關(guān)系數(shù)；7.了解最小二乘原理,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法；8.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預(yù)測；【命題預(yù)測】1.需要掌握基本的統(tǒng)計概念和方法，這些概念和方法是解決統(tǒng)計問題的基礎(chǔ)，也是命題中常見的考查內(nèi)容；2.數(shù)據(jù)分析和處理是統(tǒng)計學(xué)的核心，需要掌握數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和解釋等技能。這部分內(nèi)容可能會涉及到數(shù)據(jù)的預(yù)處理、異常值處理、圖表制作、數(shù)據(jù)挖掘等方面的知識；3.統(tǒng)計學(xué)的應(yīng)用非常廣泛，可以用于社會、經(jīng)濟、醫(yī)學(xué)、自然等多個領(lǐng)域。因此，需要了解和掌握一些實際應(yīng)用案例；4.需要掌握一些常用的數(shù)據(jù)分析工具，這些工具在數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計分析、可視化等方面都有著廣泛的應(yīng)用；知識講解一、隨機抽樣1.放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣一般地,設(shè)一個總體含有個個體,從中逐個抽取個個體作為樣本,如果抽取是有放回的,且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等,那么我們把這樣的抽樣方法叫作放回簡單隨機抽樣;如果抽取是不放回的,且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等,那么我們把這樣的抽樣方法叫作不放回簡單隨機抽樣.放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.

2.常用的簡單隨機抽樣的方法(1)抽簽法:先把總體中的個體編號,然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽,并將這些小紙片放在一個不透明的盒子里,充分?jǐn)嚢?最后從盒子中不放回地逐個抽取號簽,使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進入樣本,直到抽足樣本所需要的個體數(shù).(2)隨機數(shù)法:先把總體中的個體編號,用隨機試驗或信息技術(shù)生成編號范圍內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù),把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號,并剔除重復(fù)的編號,直到抽足樣本所需要的個體數(shù).

3.總體均值一般地,總體中有個個體,它們的變量值分別為,,…,,則為總體均值,又稱總體平均數(shù).4.總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式若總體的個變量值中,不同的值共有個,不妨記為,,…,,其中出現(xiàn)的頻數(shù)為,則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式,即.

5.樣本均值若從總體中抽取一個容量為的樣本,它們的變量值分別為,,…,,則稱為樣本均值,又稱樣本平均數(shù).我們常用樣本均值估計總體均值.6.分層隨機抽樣的概念一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.

(1)層:每個子總體稱為層.(2)比例分配:在分層隨機抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.7.分層隨機抽樣的樣本均值在分層隨機抽樣中,如果層數(shù)分為2層,第1層和第2層包含的個體數(shù)分別為和,抽取的樣本量分別為和.我們用,,…,表示第1層各個個體的變量值,用,,…,表示第1層樣本的各個個體的變量值;用,,…,表示第2層各個個體的變量值,用,,…,表示第2層樣本的各個個體的變量值,則(1)第1層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為,;(2)第2層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為,;(3)總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為,.在比例分配的分層隨機抽樣中,樣本平均數(shù),可以直接用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù).二、常用統(tǒng)計圖表1.頻率分布直方圖(1)縱軸表示頻率組距,即小長方形的高=頻率(2)小長方形的面積=組距×頻率組距=(3)各小長方形的面積的總和等于1.2.折線圖3.扇形圖4.條形圖頻率分布直方圖中的常見結(jié)論(1)眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應(yīng)的橫坐標(biāo);(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和;(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.1.簡單隨機抽樣的特點(1)抽取的個體數(shù)較少;(2)逐個抽取;(3)等可能抽取.只有這三個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣.2.抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況,隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況.分層隨機抽樣問題類型及解題思路:(1)求某層應(yīng)抽個體數(shù)量,按該層所占總體的比例計算.(2)分層隨機抽樣時,每層抽取的個體可以不一樣多,但必須滿足抽取個個體(其中是層數(shù),是抽取的樣本容量,是第層中個體的個數(shù),是總體容量).1.扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.2.由條形圖可知總體中樣本的種類及對應(yīng)各類樣本的數(shù)量.折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù),因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點(1)頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果,不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率,不要和條形圖混淆.(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1,這是解題的關(guān)鍵,常利用頻率分布直方圖估計總體分布.三、用樣本估計總體1.制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖的一般步驟(1)求極差,即計算最大值與最小值的差.(2)決定組距與組數(shù):當(dāng)樣本容量不超過100時,常分成5~12組,為方便起見,一般取等長組距,并且組距應(yīng)力求“取整”.(3)將數(shù)據(jù)分組.(4)列頻率分布表:一般分四列:分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻率.其中頻數(shù)合計應(yīng)是樣本容量,頻率合計是1.(5)畫頻率分布直方圖:橫軸表示分組,縱軸表示

頻率組距.小長方形的面積=組距×

頻率組距=頻率.2.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(2)中位數(shù):一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于中間位置的數(shù).如果數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù),那么取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).

(3)平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù).3.一組數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差一般地,設(shè)樣本數(shù)據(jù)為,樣本的平均數(shù)為,則為這組數(shù)據(jù)的方差,也可以寫成的形式.為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.4.總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)總體方差與標(biāo)準(zhǔn)差若總體中所有個體的變量值分別為,總體平均數(shù)為Y?,則稱為總體方差,為總體標(biāo)準(zhǔn)差.(2)總體方差的加權(quán)形式若總體的個變量值中,不同的值共有個,不妨記為,其中出現(xiàn)的頻數(shù)為,則總體方差.5.樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)若一個樣本中個體的變量值分別為,樣本平均數(shù)為,則稱為樣本方差,為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.(2)標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.6.分層隨機抽樣的方差總體劃分為3層,通過分層隨機抽樣,各層的樣本容量、樣本平均數(shù)、樣本方差分別為;;.記總的樣本平均數(shù)為,樣本方差為,則(1);(2).1.方差的簡化計算公式:,即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.2.平均數(shù)、方差公式的推廣(1)若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,則的平均數(shù)是.(2)若數(shù)據(jù)的方差為,則①數(shù)據(jù)的方差也是;②數(shù)據(jù)的方差是.1.求平均數(shù)時要注意數(shù)據(jù)的個數(shù),不要重計或漏計.2.求中位數(shù)時一定要先對數(shù)據(jù)按大小排序,若最中間有兩個數(shù)據(jù),則中位數(shù)是這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.若有兩個或兩個以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多,且出現(xiàn)的次數(shù)一樣,則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù);若一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多,則沒有眾數(shù).利用樣本的方差(標(biāo)準(zhǔn)差)解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.四、變量的相關(guān)關(guān)系1.相關(guān)關(guān)系:兩個變量有關(guān)系,但又沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度,這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

2.正(負(fù))相關(guān):如果從整體上看,當(dāng)一個變量的值增加時,另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢,那么我們就稱這兩個變量正相關(guān);當(dāng)一個變量的值增加時,另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢,那么我們就稱這兩個變量負(fù)相關(guān).

3.線性相關(guān):一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān),而且散點落在一條直線附近,那么我們就稱這兩個變量線性相關(guān).4.非線性相關(guān):一般地,如果兩個變量具有相關(guān)性,但不是線性相關(guān),那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).五、樣本相關(guān)系數(shù)1.樣本相關(guān)系數(shù).2.樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)當(dāng)時,稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān).(2)當(dāng)時,稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).(3)樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[-1,1].樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度.(4)當(dāng)越接近1時,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強;

(5)當(dāng)越接近0時,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

六、一元線性回歸模型及其應(yīng)用1.一元線性回歸模型:我們稱Y=bx+a+e2.經(jīng)驗回歸方程(直線):我們將稱為關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程,也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式,其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線.

3.經(jīng)驗回歸方程是兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)的回歸方程,其中是待定參數(shù),其最小二乘估計分別為,.其中.說明:經(jīng)驗回歸直線必過樣本點的中心,這個結(jié)論既是檢驗所求經(jīng)驗回歸直線是否準(zhǔn)確的依據(jù),也是求參數(shù)的一個依據(jù).七、殘差分析1.殘差:對于響應(yīng)變量,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預(yù)測值,觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.2.殘差平方和為.3.決定系數(shù)...八、獨立性檢驗1.列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)一般地,假設(shè)有兩個分類變量和,它們的取值分別為和,這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.合計合計2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).的計算公式:,其中為樣本容量.2.獨立性檢驗基于小概率值的檢驗規(guī)則:當(dāng)時,我們就推斷不成立,即認(rèn)為和不獨立,該推斷犯錯誤的概率不超過;當(dāng)時,我們沒有充分證據(jù)推斷不成立,可以認(rèn)為和獨立.這種利用的取值推斷分類變量和是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”,簡稱獨立性檢驗.判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法:(1)散點圖法,如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系;如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)系數(shù)法,利用相關(guān)系數(shù)判定,當(dāng)越趨近于1時,線性相關(guān)性越強.線性回歸分析問題的解題策略(1)利用最小二乘估計公式,求出回歸系數(shù);(2)利用經(jīng)驗回歸直線過樣本點的中心的性質(zhì)求系數(shù);(3)寫出經(jīng)驗回歸方程,并利用經(jīng)驗回歸方程進行預(yù)測.非經(jīng)驗回歸方程的求法:(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點圖;(2)根據(jù)散點圖選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù);(3)作恰當(dāng)?shù)淖儞Q,將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù),求經(jīng)驗回歸方程;(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換,即可得非經(jīng)驗回歸方程.1.在2×2列聯(lián)表中,如果兩個變量沒有關(guān)系,則應(yīng)滿足越小,說明兩個變量之間關(guān)系越弱;越大,說明兩個變量之間關(guān)系越強.2.解決獨立性檢驗的應(yīng)用問題,一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結(jié)論.獨立性檢驗的一般步驟:(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式計算.(3)通過比較與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計推斷.考點一、隨機抽樣1．（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試題（文科）（新課標(biāo)Ⅰ））某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進行體質(zhì)測驗，若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（）A．8號學(xué)生 B．200號學(xué)生 C．616號學(xué)生 D．815號學(xué)生【答案】C【分析】等差數(shù)列的性質(zhì)．滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．使用統(tǒng)計思想，逐個選項判斷得出答案．【詳解】詳解：由已知將1000名學(xué)生分成100個組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號學(xué)生被抽到，所以第一組抽到6號，且每組抽到的學(xué)生號構(gòu)成等差數(shù)列，公差，所以，若，則，不合題意；若，則，不合題意；若，則，符合題意；若，則，不合題意．【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣.2．某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的700個零件進行抽樣測試，先將700個零件進行編號，001,002,……，699,700.從中抽取70個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（

）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．253 D．007【答案】A【分析】根據(jù)隨機數(shù)表法依次讀數(shù)即可.【詳解】解：從第5行第6列開始向又讀取數(shù)據(jù)，第一個數(shù)為253，第二個數(shù)是313，第三個數(shù)是457，下一個數(shù)是860，不符合要求，下一個數(shù)是736，不符合要求，下一個是253，重復(fù)，第四個是007，第五個是328，第六個是623.3．某高中學(xué)校學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該學(xué)校學(xué)生近視形成原因，在近視的學(xué)生中按年級用分層抽樣的方法抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，已知抽取到的高中一年級的學(xué)生36人，則抽取到的高三學(xué)生數(shù)為（

）A．32 B．45 C．64 D．90【答案】D【分析】根據(jù)近視率求出三個年級的近視的人數(shù)，結(jié)合抽樣比例可得答案.【詳解】近視的學(xué)生中，高一、高二、高三學(xué)生數(shù)分別為180人，320人，450人，由于抽取到的高一學(xué)生36人，則抽取到的近視學(xué)生中高三人數(shù)為90人.1．北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”很受歡迎，現(xiàn)工廠決定從20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10個北京2022年冬奧會會徽中，采用比例分配分層隨機抽樣的方法，抽取一個容量為n的樣本進行質(zhì)量檢測，若“冰墩墩”抽取了4只，則n為（

）A．3 B．2 C．5 D．9【答案】D【分析】利用分層抽樣中的比例列出方程，求出答案.【詳解】，解得：2．從800件產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)檢，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將800件產(chǎn)品按001，002，…，800進行編號．如果從隨機數(shù)表第8行第8列的數(shù)開始往右讀數(shù)（隨機數(shù)表第7行至第9行的數(shù)如下），則抽取的6件產(chǎn)品的編號的75%分位數(shù)是（

）……8442175331

5724550688

77047447672176335025

83921206766301637859

1695566711

69105671751286735807

44395238793321123429

7864560782

52420744381551001342

9966027954A．105 B．556 C．671 D．169【答案】C【分析】由隨機表及編號規(guī)則確定抽取的6件產(chǎn)品編號，再從小到大排序，應(yīng)用百分位數(shù)的求法求75%分位數(shù).【詳解】由題設(shè)，依次讀取的編號為，根據(jù)編號規(guī)則易知：抽取的6件產(chǎn)品編號為，所以將它們從小到大排序為，故，所以75%分位數(shù)為.3．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機抽取的學(xué)生進行調(diào)查，其中被抽取的小學(xué)生有80人，則樣本容量和該地區(qū)的高中生近視人數(shù)分別為（

）A．200，25 B．200，2500 C．8000，25 D．8000，2500【答案】B【分析】由扇形分布圖觀察小學(xué)生在整個樣本中占40％，可得樣本的容量為，再以此推出樣本中高中生的人數(shù)為，結(jié)合抽樣比和條形圖中高中生的近視率占比可算出該地區(qū)高中生的近視人數(shù).【詳解】由由扇形分布圖結(jié)合分層抽樣知識易知樣本容量為，則樣本中高中生的人數(shù)為，易知總體的容量為，結(jié)合近視率條形圖得該地區(qū)高中生近視人數(shù)為.

考點二、統(tǒng)計圖表1．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ帶解析））根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖．以下結(jié)論不正確的是

A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D【詳解】由柱形圖可知2006年以來,我國二氧化碳排放量基本成遞減趨勢,所以二氧化碳排放量與年份負(fù)相關(guān).考點：本題主要考查統(tǒng)計知識及對學(xué)生柱形圖的理解.2．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】A【分析】觀察折線圖，結(jié)合選項逐一判斷即可【詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，觀察折線圖，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正確；對于D選項，觀察折線圖，各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確.3．（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍．實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半【答案】A【分析】首先設(shè)出新農(nóng)村建設(shè)前的經(jīng)濟收入為M，根據(jù)題意，得到新農(nóng)村建設(shè)后的經(jīng)濟收入為2M，之后從圖中各項收入所占的比例，得到其對應(yīng)的收入是多少，從而可以比較其大小，并且得到其相應(yīng)的關(guān)系，從而得出正確的選項.【詳解】設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入我0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占經(jīng)濟收入的，所以超過了經(jīng)濟收入的一半，所以D正確；點睛：該題考查的是有關(guān)新農(nóng)村建設(shè)前后的經(jīng)濟收入的構(gòu)成比例的餅形圖，要會從圖中讀出相應(yīng)的信息即可得結(jié)果.4．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（

）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于.5．（2023屆安徽省模擬數(shù)學(xué)試題）為迎接北京年冬奧會，小王選擇以跑步的方式響應(yīng)社區(qū)開展的“喜迎冬奧愛上運動”（如圖）健身活動.依據(jù)小王年月至年月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數(shù)據(jù)，整理并繪制的折線圖（如圖），根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（

）A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程的極差小于C．月跑步里程的中位數(shù)為月份對應(yīng)的里程數(shù)D．月至月的月跑步里程的方差相對于月至月的月跑步里程的方差更大【答案】C【分析】根據(jù)折線分布圖中數(shù)據(jù)的變化趨勢可判斷A選項；利用極差的定義可判斷B選項；利用中位數(shù)的定義可判斷C選項；利用數(shù)據(jù)的波動幅度可判斷D選項.【詳解】對于A選項，月至月、月至月、月至月月跑步里程逐月減少，A錯；對于B選項，月跑步里程的極差約為，B錯；對于C選項，月跑步里程由小到大對應(yīng)的月份分別為：月、月、月、月、月、月、月、月、月、月、月，所以，月跑步里程的中位數(shù)為月份對應(yīng)的里程數(shù)，C對；對于D選項，月至月的月跑步里程的波動幅度比月至月的月跑步里程的波動幅度小，故月至月的月跑步里程的方差相對于月至月的月跑步里程的方差更小，D錯.6．（2022年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B．乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C．甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D．乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.6【答案】C【分析】結(jié)合莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、古典概型等知識確定正確答案.【詳解】對于A選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為，A選項結(jié)論正確.對于B選項，乙同學(xué)課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為：，B選項結(jié)論正確.對于C選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長大于的概率的估計值，C選項結(jié)論錯誤.對于D選項，乙同學(xué)周課外體育運動時長大于的概率的估計值，D選項結(jié)論正確.1．（2023年四川省診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題）采購經(jīng)理指數(shù)（PMI），是通過對企業(yè)采購經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計匯總、編制而成的指數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購、生產(chǎn)、流通等各個環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國際上通用的檢測宏觀經(jīng)濟走勢的先行指數(shù)之一，具有較強的預(yù)測、預(yù)警作用．制造業(yè)PMI高于時，反映制造業(yè)較上月擴張；低于，則反映制造業(yè)較上月收縮．下圖為我國2021年1月—2022年6月制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)（PMI）統(tǒng)計圖．根據(jù)統(tǒng)計圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)?shù)囊豁棡椋?/p>

）A．2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮B．2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴張C．2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮D．2022年6月PMI重回臨界點以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴張【答案】D【分析】根據(jù)題意，將各個月的制造業(yè)指數(shù)與比較，即可得到答案.【詳解】對于A項，由統(tǒng)計圖可以得到，只有9月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故A項錯誤；對于B項，由統(tǒng)計圖可以得到，10月份的制造業(yè)指數(shù)低于，故B項錯誤；對于C項，由統(tǒng)計圖可以得到，1、2月份的制造業(yè)指數(shù)高于，故C項錯誤；對于D項，由統(tǒng)計圖可以得到，從4月份的制造業(yè)指數(shù)呈現(xiàn)上升趨勢，且在2022年6月PMI超過，故D項正確.2．小張一星期的總開支分布如圖所示，一星期的食品開支如圖所示，則小張一星期的肉類開支占總開支的百分比約為（

）A．10% B．8% C．5% D．4%【答案】A【分析】求出肉類開支為100元，占食品開支的，再由食品開支占總開支的，進而求得小張一星期的肉類開支占總開支的百分比.【詳解】由題圖②知，小張一星期的食品開支為元，其中肉類開支為100元，占食品開支的，而食品開支占總開支的，所以小張一星期的肉類開支占總開支的百分比為.3．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，其對應(yīng)關(guān)系如下表:指數(shù)值空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染為監(jiān)測某化工廠排放廢氣對周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在校內(nèi)測得10月1日—20日指數(shù)的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如下:下列敘述正確的是（

）A．這天中指數(shù)值的中位數(shù)略大于B．這天中的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占C．10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來越好D．總體來說，10月中旬的空氣質(zhì)量比上旬的空氣質(zhì)量好【答案】B【分析】通過表格可知，數(shù)值越大，說明空氣污染越嚴(yán)重，質(zhì)量不好，數(shù)值越小空氣質(zhì)量越好.體現(xiàn)在圖標(biāo)上就是點的位置越高空氣污染越嚴(yán)重，點的位置越低空氣質(zhì)量越好.可以通過將點計數(shù)來確定中位數(shù)的大概位置，以及空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù).【詳解】由折線圖知以上有個，以下有個，中位數(shù)是兩邊兩個數(shù)的均值，觀察比的數(shù)離遠(yuǎn)點，因此兩者均值大于但小于150,A錯;空氣質(zhì)量為優(yōu)的有天，占，B正確;10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來越差，C錯;10月上旬的空氣質(zhì)量指數(shù)值在以下的多，中旬的空氣質(zhì)量指數(shù)值在以上的多，上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，D錯.【點睛】對表格和圖表的解讀是做題的關(guān)鍵，通過對A,B,C,D的逐項判斷來選出正確答案.4．2020年12月31日，國務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機制發(fā)布，國藥集團中國生物的新冠病毒滅活疫苗已獲藥監(jiān)局批準(zhǔn)附條件上市，其保護效力達(dá)到世界衛(wèi)生組織及藥監(jiān)局相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求，現(xiàn)已對18至59歲的人提供.根據(jù)某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖）估計該地接種年齡的中位數(shù)為（

）A．40 B．39 C．38 D．37【答案】C【分析】利用中位數(shù)左右兩邊的小矩形的面積都等于即可求解.【詳解】年齡位于的頻率為，年齡位于的頻率為，年齡位于的頻率為，年齡位于的頻率為，因為，而，所以中位數(shù)位于，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：.5．傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,我校舉行傳統(tǒng)文化知識競賽.其中兩位選手在個人追逐賽中的比賽得分如莖葉圖所示,則下列說法正確的是（

）A．甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)B．甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)C．甲的方差大于乙的方差D．甲的平均數(shù)等于乙的中位數(shù)【答案】C【分析】由莖葉圖分別計算出甲和乙的平均數(shù)，方差和中位數(shù)即可判斷選項【詳解】對于A，由莖葉圖知甲的平均數(shù)為,乙的平均數(shù)為,故A錯誤；對于B和D，甲的中位數(shù)為26,乙的中位數(shù)為28，故BD錯誤；對于C，甲的方差為,乙的方差為,故C正確.考點三、用樣本估計總體1．某地統(tǒng)計局就該地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在.(1)求居民月收入在的頻率；(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？【答案】(1)0.15；(2)2400元；(3)25人；【分析】（1）根據(jù)圖中所對應(yīng)的頻率/組距的值，乘上組距，即可得到月收入在的頻率.（2）通過比較幾個區(qū)間的頻率之和與0.5的關(guān)系，判斷出中位數(shù)所在區(qū)間，進而求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).（3）根據(jù)表格先居民月收入在的頻率，接著計算10000人中月收入在的人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣抽出100人，計算得出月收入在的這段應(yīng)抽取的人數(shù).【詳解】（1）月收入在的頻率為：∴居民月收入在的頻率為0.15.（2），，，，∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為2400元.（3）居民月收入在的頻率為：，∴10000人中月收入在的人數(shù)為：，再從10000人中分層抽樣方法抽出100人，則月收入在的這段應(yīng)抽取：，∴月收入在的這段應(yīng)抽25人.2．（2015年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（廣東卷））某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【答案】（1）；（2），；（3）．【詳解】試題分析：（1）由直方圖的性質(zhì)可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點可得，可得中位數(shù)在[220，240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用戶分別為25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)試題解析：(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230.-------------5分因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.------------8分(3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125×20×100＝25戶，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075×20×100＝15戶，月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005×20×100＝10戶，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025×20×100＝5戶，-------------10分抽取比例＝＝，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×＝5戶．--12分考點：頻率分布直方圖及分層抽樣.3．“2021年全國城市節(jié)約用水宣傳周”已于5月9日至15日舉行、成都市圍繞“貫徹新發(fā)展理念，建設(shè)節(jié)水型城市”這一主題，開展了形式多樣，內(nèi)容豐富的活動，進一步增強全民保護水資源，防治水污染，節(jié)約用水的意識.為了解活動開展成效，某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調(diào)查住戶的節(jié)約用水情況，隨機抽取了300．名業(yè)主進行節(jié)約用水調(diào)查評分，將得到的分?jǐn)?shù)分成6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計這300名業(yè)主評分的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若先用分層抽樣的方法從評分在和的業(yè)主中抽取5人，然后再從抽出的這5位業(yè)主中任意選取2人作進一步訪談：①寫出這個試驗的樣本空間；②求這2人中至少有1人的評分在概率．【答案】(1)；眾數(shù)為；中位數(shù)為；(2)，，，，，，，，，；【分析】（1）由頻率分布直方圖的的性質(zhì)，所有小矩形的面積之和為1，可解得的值，由中位數(shù)的定義，找到頻率之和為的點，眾數(shù)估計值為最高小矩形的中點；（2）首先根據(jù)兩個分組的人數(shù)之比，采用分層抽樣的方法，得到每個分組抽取的人數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可【詳解】（1）第三組的頻率為，又第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為.前三組的頻率之和為，這名業(yè)主評分的中位數(shù)為.眾數(shù)為．（2）由頻率分布直方圖，知評分在的人數(shù)與評分在的人數(shù)的比值為.采用分層抽樣法抽取人，評分在的有人，評分在有人.不妨設(shè)評分在的人分別為；評分在的人分別為，這個試驗的樣本空間為：，，，，，，，，，；②從人中任選人的所有可能情況有共種.其中選取的人中至少有人的評分在的情況有：，，，，，，共種.故這人中至少有人的評分在的概率為.4．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時，需求量為500，求出Y＝900元；當(dāng)溫度在[20，25）℃時，需求量為300，求出Y＝300元；當(dāng)溫度低于20℃時，需求量為200，求出Y＝﹣100元，從而當(dāng)溫度大于等于20時，Y＞0，由此能估計估計Y大于零的概率．【詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36＝54，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時，需求量為500，Y＝450×2＝900元，當(dāng)溫度在[20，25）℃時，需求量為300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，當(dāng)溫度低于20℃時，需求量為200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，當(dāng)溫度大于等于20時，Y＞0，由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有：90﹣（2+16）＝72，∴估計Y大于零的概率P．【點睛】本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．

1．年月日，我國實施“全國二孩”政策，中國社會科學(xué)院在某地隨機抽取了名已婚男性，其中愿意生育二孩的有名，經(jīng)統(tǒng)計，該名男性的年齡情況對應(yīng)的頻率分布直方圖如下：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這名已婚男性的年齡平均值、眾數(shù)和樣本方差（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值代替，結(jié)果精確到個位）；(2)若在愿意生育二孩的且年齡在、、的三組已婚男性中，用分層抽樣的方法抽取人，試估計每個年齡段應(yīng)各抽取多少人？【答案】(1)平均值36、眾數(shù)為，方差25(2)人數(shù)分別為人、人、人.【分析】（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)，方差公式及眾數(shù)定義直接求解即可；（2）利用分層抽樣的定義求解即可.【詳解】（1）已婚男性的平均年齡和樣本方差分別為：，，眾數(shù)為.（2）在年齡段、、的頻率分別為、、，，∴人數(shù)分別為人、人、人.2．（2023屆北京市模擬數(shù)學(xué)試題）2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學(xué)高一年級舉辦了“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數(shù)如下：班號1234人數(shù)30402010該年級在報名的同學(xué)中按分層抽樣的方式抽取10名同學(xué)參加競賽，每位參加競賽的同學(xué)從預(yù)設(shè)的10個題目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學(xué)獲得一份獎品.假設(shè)每位同學(xué)的作答情況相互獨立.(1)求各班參加競賽的人數(shù)；(2)2班的小張同學(xué)被抽中參加競賽，若該同學(xué)在預(yù)設(shè)的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)若1班每位參加競賽的同學(xué)答對每個題目的概率均為，求1班參加競賽的同學(xué)中至少有1位同學(xué)獲得獎品的概率.【答案】(1)3,4,2,1(2)分布列見解析，2.8(3)【分析】（1）根據(jù)分層抽樣計算可得；（2）根據(jù)超幾何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；（3）計算1班每位同學(xué)獲獎的概率，然后根據(jù)二項分布求解即可.【詳解】（1）各班報名人數(shù)總共100人，抽取10人，抽樣比為，故班分別抽?。ㄈ耍ㄈ耍?，（人），（人）.（2）由題意，的可能取值為1,2,3,4，,,,,所以的分布列為：1234（3）由題意，1班每位同學(xué)獲獎的概率為,設(shè)1班獲獎人數(shù)為，則，所以至少1人獲獎的概率為.3．為了切實維護居民合法權(quán)益，提高居民識騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開展“全民反詐在行動——反詐騙知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該活動的居民中隨機抽取了100名，統(tǒng)計出他們競賽成績分布如下：成績（分）人數(shù)242240284(1)求抽取的100名居民競賽成績的平均分和方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本成績平均分，近似為樣本成績方差，若，參賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書”；若，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競賽活動，試估計獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；②試判斷競賽成績?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”．附：若，則，，．【答案】(1)，(2)①2456；②能【分析】（1）利用公式直接求出均值、方差即可；（2）①結(jié)合給的概率和正態(tài)分布的性質(zhì)，確定獲得“參賽紀(jì)念證書”，進而計算可得人數(shù)；②利用正態(tài)分布的知識求出，即，進而可得結(jié)果.【詳解】（1）100名居民本次競賽成績平均分，100名居民本次競賽成績方差，（2）①由于近似為樣本成績平均分，近似為樣本成績方差，所以，，可知，，由于競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，因此競賽居民可獲得“參賽紀(jì)念證書”的概率估計獲得“參賽紀(jì)念證書”的居民人數(shù)為2456；②當(dāng)時，即時，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，所以競賽成績?yōu)?6分的居民能獲得“反詐先峰證書”．4．某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：地區(qū)：62

73

81

92

95

85

74

64

53

7678

86

95

66

97

78

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76

89地區(qū)：73

83

62

51

91

46

53

73

64

8293

48

65

81

74

56

54

76

65

79(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，得出結(jié)論即可)；(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件：“地區(qū)用戶的滿意度等級高于地區(qū)用戶的滿意度等級”．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求的概率．【答案】(1)答案見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題目數(shù)據(jù)以及莖葉圖的畫法，作出莖葉圖，根據(jù)莖葉圖直接比較可得出對應(yīng)平均值及分散程度.（2）記表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級為滿意或非常滿意”；表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級為非常滿意”；表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”；表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級為滿意”．則，根據(jù)概率的互斥和對立以及概率的運算公式，計算即可.（1）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散．（2）記表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級為滿意或非常滿意”；表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級為非常滿意”；表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”；表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級為滿意”．則與獨立，與獨立，與互斥，．．由所給數(shù)據(jù)得，，，發(fā)生的概率分別為，，，．故，，，，故.考點四、成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析1．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（

）

A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是【答案】C【分析】根據(jù)散點圖的特點可分析出相關(guān)性的問題，從而判斷ABC選項，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項.【詳解】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，C選項正確；由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項錯誤2．（2023屆浙江省教學(xué)質(zhì)量檢測（二模）數(shù)學(xué)試題）某興趣小組研究光照時長x（h）和向日葵種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，采集5組數(shù)據(jù)，作如圖所示的散點圖．若去掉后，下列說法正確的是（

）A．相關(guān)系數(shù)r變小 B．決定系數(shù)變小C．殘差平方和變大 D．解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強【答案】D【分析】從圖中分析得到去掉后，回歸效果更好，再由相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)，殘差平方和和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷即可．【詳解】從圖中可以看出較其他點，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉后，回歸效果更好，對于A，相關(guān)系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，相關(guān)系數(shù)r變大，故A錯誤；對于B，決定系數(shù)越接近于1，模型的擬合效果越好，若去掉后，決定系數(shù)變大，故B錯誤；對于C，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，若去掉后，殘差平方和變小，故C錯誤；對于D，若去掉后，解釋變量x與預(yù)報變量y的相關(guān)性變強，且是正相關(guān)，故D正確．3．某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A．B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)散點圖的分布可得相關(guān)性的強弱，即可比較大小.【詳解】由圖可知：所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)正相關(guān)，而且對應(yīng)的相關(guān)性比對應(yīng)的相關(guān)性要強，故，所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點的分布情況可知,因此.4．如下是一個2×2列聯(lián)表，則．xy合計x1a3545x27bn合計m73s【答案】62【分析】利用2×2列聯(lián)表求解.【詳解】根據(jù)2×2列聯(lián)表可知，解得，則，又由，解得，則，故．5．針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據(jù)的獨立性檢驗認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（

）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】依題意，寫出列聯(lián)表中的，算出的數(shù)值，和表格中的參照數(shù)據(jù)比較后選出答案.【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)，于是，由于依據(jù)的獨立性檢驗認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.6．為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用a50-a50未服用80-aa-3050合計8020100若在本次考察中得出“在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效”的結(jié)論，則a的最小值為（其中a≥40且a∈）（參考數(shù)據(jù)：≈2.58，≈3.29）參考公式臨界值表0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】46【分析】根據(jù)題意求得，即可求出a的最小值.【詳解】解：由題意可得，整理得：，所以或,解得：或，又因為a≥40且a∈，所以，所以a的最小值為46.1．用模型擬合一組數(shù)，若，，設(shè)，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A．12 B． C． D．7【答案】B【分析】由已知，可根據(jù)，先計算出，然后把樣本中心點帶入線性回歸方程為中計算出，從而得到線性回歸方程，然后將方程化為指數(shù)形式，通過待定系數(shù)法分別對應(yīng)出、的值，即可完成求解.【詳解】由已知，，所以，，，所以，由題意，滿足線性回歸方程為，所以，所以，此時線性回歸方程為，即，可將此式子化為指數(shù)形式，即為，因為模型為模型，所以，，所以.2．已知變量，的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：468102356由上表可得線性回歸方程，則．【答案】/【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求，代入回歸方程求參數(shù)a，結(jié)合得，由方程的形式可知，即可求c.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：.由，得，則.∴，由，得，∴，即.3．某部門通過隨機調(diào)查89名工作人員的休閑方式是讀書還是健身得到的數(shù)據(jù)如下表：單位：人讀書健身合計女243155男82634合計325789在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系.附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】0.1/【分析】計算卡方，進行獨立性檢驗.【詳解】由題中列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，因為，所以在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系.4．2020年2月，全國掀起了“停課不停學(xué)”的熱潮，各地教師通過網(wǎng)絡(luò)直播?微課推送等多種方式來指導(dǎo)學(xué)生線上學(xué)習(xí).為了調(diào)查學(xué)生對網(wǎng)絡(luò)課程的熱愛程度，研究人員隨機調(diào)查了相同數(shù)量的男?女學(xué)生，發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，且有99%的把握但沒有99.9%的把握認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別有關(guān)，則被調(diào)查的男?女學(xué)生總數(shù)量可能為（

）附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．130 B．190 C．240 D．250【答案】B【分析】設(shè)男、女學(xué)生的人數(shù)都為，則男、女學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，建立列聯(lián)表，由獨立性檢驗算出，結(jié)合觀測值和選項可得答案.【詳解】依題意，設(shè)男、女學(xué)生的人數(shù)都為，則男、女學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，建立列聯(lián)表如下，喜歡網(wǎng)絡(luò)課程不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程總計男生女生總計故，由題意可得，所以，結(jié)合選項可知，只有B符合題意.5．在某大學(xué)一食品超市，隨機詢問了70名不同性別的大學(xué)生在購買食物時是否查看營養(yǎng)說明，得到如下的列聯(lián)表：女男總計要查看營養(yǎng)說明152540不查看營養(yǎng)說明201030總計353570附：，其中．0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，則下列說法正確的是（

）．A．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為該校大學(xué)生在購買食物時要查看營養(yǎng)說明的人數(shù)中男生人數(shù)更多B．在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為該校女大學(xué)生在購買食物時要查看營養(yǎng)說明的人數(shù)與不查看營養(yǎng)說明的人數(shù)比為C．在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān)系D．在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān)系【答案】C【分析】由題可得，進而即得.【詳解】由題可得，∴在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān)系.6．有甲、乙兩個班級共計105人進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30已知在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是．①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”．【答案】②③/【分析】根據(jù)題意可計算出成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，從而求得c，繼而求得b，判斷①②；根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計算的值并與臨界值表中數(shù)據(jù)進行比較，即可判斷③④.【詳解】由題意得在全部105人中隨機抽取1人，成績優(yōu)秀的概率為，則成績優(yōu)秀的學(xué)生有人，甲班有10人，則乙班20人，即c=20,成績非優(yōu)秀的學(xué)生有75人，乙班由30人，則甲班喲有45人，即b=45,故①錯誤，②正確；由列聯(lián)表可得，故按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”，③正確，④錯誤；故答案為：②③考點五、回歸分析1．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試題（文科）（新課標(biāo)Ⅱ））某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析【分析】（1）利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；（2）利用公式計算即可；（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.【詳解】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.2．（2016年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)3卷））下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式求出相關(guān)數(shù)據(jù)后，代入公式即可求得的值，最后根據(jù)值的大小回答即可；（Ⅱ）準(zhǔn)確求得相關(guān)數(shù)據(jù)，利用最小二乘法建立關(guān)于的回歸方程，然后預(yù)測．試題解析：（Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，，.因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，關(guān)于的回歸方程為：.將2016年對應(yīng)的代入回歸方程得：.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.【考點】線性相關(guān)系數(shù)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用．【方法點撥】（1）判斷兩個變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點圖直觀判斷；（2）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出，然后根據(jù)的大小進行判斷．求線性回歸方程時要嚴(yán)格按照公式求解，并一定要注意計算的準(zhǔn)確性．3．（2023屆福建省適應(yīng)性練習(xí)卷（省質(zhì)檢）數(shù)學(xué)試題）放行準(zhǔn)點率是衡量機場運行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指標(biāo)之一.某機場自2012年起采取相關(guān)策略優(yōu)化各個服務(wù)環(huán)節(jié)，運行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)與該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率（）（單位：百分比）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所作的散點圖及經(jīng)過初步處理后得到的一些統(tǒng)計量的值.2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，(1)根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗回歸方程，由此預(yù)測2023年該機場飛往A地的航班放行準(zhǔn)點率.(2)已知2023年該機場飛往A地?B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2、0.2和0.6.若以（1）中的預(yù)測值作為2023年該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率的估計值，且2023年該機場飛往B地及其他地區(qū)（不包含A、B兩地）航班放行準(zhǔn)點率的估計值分別為和，試解決以下問題：（i）現(xiàn)從2023年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個，求該航班準(zhǔn)點放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機場準(zhǔn)點放行，判斷該航班飛往A地、B地、其他地區(qū)等三種情況中的哪種情況的可能性最大，說明你的理由.附：（1）對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】(1)適宜，預(yù)測2023年該機場飛往A地的航班放行準(zhǔn)點率(2)（i）0.778；（ii）可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線性回歸方程的計算公式，選擇合適的模型計算即可；（2）利用全概率公式和條件概率公式，即可根據(jù)概率判斷可能性最大的情況.【詳解】（1）由散點圖判斷適宜作為該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗回歸方程類型.令，先建立y關(guān)于t的線性回歸方程.由于，，該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率y關(guān)于t的線性回歸方程為，因此y關(guān)于年份數(shù)x的回歸方程為所以當(dāng)時，該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率y的預(yù)報值為.所以2023年該機場飛往A地航班放行準(zhǔn)點率y的預(yù)報值為.（2）設(shè)“該航班飛往A地”，“該航班飛往B地”，“該航班飛往其他地區(qū)”，“該航班準(zhǔn)點放行”，則，，，，，.（i）由全概率公式得，，所以該航班準(zhǔn)點放行的概率為0.778.（ii），，，因為，所以可判斷該航班飛往其他地區(qū)的可能性最大.4．（2023屆河北省適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）隨著全球新能源汽車市場蓬勃增長，在政策推動下，中國新能源汽車企業(yè)在10余年間實現(xiàn)了“彎道超車”，一躍成為新能源汽車產(chǎn)量連續(xù)7年居世界第一的全球新能源汽車強國．某新能源汽車企業(yè)基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，改進并生產(chǎn)純電動車、插電混合式電動車、氫燃料電池車三種車型，生產(chǎn)效益在短期內(nèi)逐月攀升，該企業(yè)在1月份至6月份的生產(chǎn)利潤y（單位，百萬元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖．月份123456收入（百萬元）6.88.616.119.628.140.0(1)根據(jù)散點圖判斷，與（，，，d均為常數(shù)）哪一個更適宜作為利潤關(guān)于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于的回歸方程；(3)該車企為提高新能源汽車的安全性，近期配合中國汽車技術(shù)研究中心進行了包括跌落、追尾、多車碰撞等一系列安全試驗項目，其中在實驗場進行了一項甲、乙、丙三車同時去碰撞實驗車的多車碰撞實驗，測得實驗車報廢的概率為0.188，并且當(dāng)只有一車碰撞實驗車發(fā)生，實驗車報廢的概率為0.1，當(dāng)有兩車碰撞實驗車發(fā)生，實驗車報廢的概率為0.2，由于各種因素，實驗中甲乙丙三車碰撞實驗車發(fā)生概率分別為0.7，0.5，0.4，且互不影響，求當(dāng)三車同時碰撞實驗車發(fā)生時實驗車報廢的概率．參考數(shù)據(jù)：19.872.8017.50113.756.30其中，設(shè)，．參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)選用作為利潤關(guān)于月份的回歸方程更合適(2)(3)【分析】（1）由散點的分布在一條曲線附近，即可選擇非線性的.（2）由對數(shù)運算，結(jié)合最小二乘法即可求解，（3）由概率的乘法公式，結(jié)合全概率公式即可求解.【詳解】（1）散點圖中的點的分布不是一條直線，相鄰兩點在軸上的差距是增大的趨勢．故選用作為利潤關(guān)于月份的回歸方程更合適．（2）由，取對數(shù)可得，設(shè)，所以，，，，，所以，，所以，，即．（3）設(shè)事件為“實驗車報廢”，事件為“只有一車碰撞實驗車”，事件為“恰有兩車碰撞實驗車”，事件為“三車碰撞實驗車”，則由已知得，利用全概率公式得解得所以當(dāng)三車同時碰撞實驗車發(fā)生時實驗車報廢的概率為0.5．1．（2023屆廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入（單位：千萬元）對每件產(chǎn)品成本（單位：元）的影響，對近年的年技術(shù)創(chuàng)新投入和每件產(chǎn)品成本的數(shù)據(jù)進行分析，得到如下散點圖，并計算得：，，，，.(1)根據(jù)散點圖可知，可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程；(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額（單位：千萬元）與每件產(chǎn)品成本的關(guān)系為.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入，還要投入其他成本千萬元，根據(jù)（1）的結(jié)果回答：當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？（注：年利潤=年銷售額一年投入成本）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計分別為：，.【答案】(1)(2)當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為千萬元時，年利潤的預(yù)報值取最大值【分析】（1）令，可得出關(guān)于的線性回歸方程為，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出關(guān)于的回歸方程；（2）由可得，可計算出年利潤關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值及其對應(yīng)的值.【詳解】（1）解：令，則關(guān)于的線性回歸方程為，由題意可得，，則，所以，關(guān)于的回歸方程為.（2）解：由可得，年利潤，當(dāng)時，年利潤取得最大值，此時，所以，當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為千萬元時，年利潤的預(yù)報值取最大值.2．人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.月份x12345銷售量y（萬件）4.95.86.88.310.2該公司為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；(2)已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個月的月利潤預(yù)報值最大？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)；(2)第9個月的月利潤預(yù)報值最大【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)與回歸方程的公式進行求解，得到回歸方程；（2）結(jié)合第一問所求得到關(guān)于的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，極值及最值，求出答案.【詳解】（1）令，則，，，，所以y關(guān)于x的回歸方程為；（2）由（1）知：，，令，令得：，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，所以第9個月的月利潤預(yù)報值最大.3．千百年來，人們一直在通過不同的方式傳遞信息.在古代，烽火狼煙、飛鴿傳書、快馬驛站等通信方式被人們廣泛應(yīng)用;第二次工業(yè)革命后，科技的進步帶動了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報電話的發(fā)明讓通信領(lǐng)域發(fā)生了翻天覆地的變化;之后，計算機和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”“順風(fēng)耳”變?yōu)楝F(xiàn)實.現(xiàn)在，的到來給人們的生活帶來顛覆性的變革，某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在第月份至6月份的經(jīng)濟收入(單位:百萬元)關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如表:時間(月份)123456收入(百萬元)根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點圖，如圖.(1)根據(jù)散點圖判斷，與均為常數(shù))哪一個適宜作為經(jīng)濟收入關(guān)于月份的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測該公司8月份的經(jīng)濟收入；(3)從前6個月的收入中抽取個﹐記月收入超過百萬的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):其中設(shè)參考公式和數(shù)據(jù):對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:，【答案】(1)；(2)，百萬元；(3)分布列見解析，2.【分析】（1）根據(jù)散點圖的分布即可得到答案；（2）根據(jù)題意，，然后根據(jù)參考數(shù)據(jù)求出方程，進而得到y(tǒng)關(guān)于x的回歸方程，最后將代入方程即可得到答案；（3）根據(jù)超幾何分布求概率的方法求得概率，然后列出分布列，最后根據(jù)期望公式求出期望.(1)根據(jù)散點圖判斷，適宜作為經(jīng)濟收入關(guān)于月份的回歸方程類型.(2)因為，所以兩邊同時取自然對數(shù)﹐得，設(shè)，所以，又因為，所以，，所以，即，令，得，故預(yù)測該公司月份的經(jīng)濟收入為百萬元.(3)前個月的收入中，月收入超過百萬的有個，所以的取值為，，，，所以的分布列為所以.4．“不關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對學(xué)生的今天不負(fù)責(zé)：只關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對學(xué)生的未來不負(fù)責(zé).”為鍛煉學(xué)生的綜合實踐能力，長沙市某中學(xué)組織學(xué)生對雨花區(qū)一家奶茶店的營業(yè)情況進行調(diào)查統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如下：月份x24681012凈利潤（萬元〕y0.92.04.23.95.25.1(1)設(shè).試建立y關(guān)于x的非線性回歸方程和（保留2位有效數(shù)字）；(2)從相關(guān)系數(shù)的角度確定哪一個模型的擬合效果更好，并據(jù)此預(yù)測次年2月（）的凈利潤（保留1位小數(shù)）.附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為；②參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)和；(2)模型的擬合效果更好，次年2月凈利潤為萬元【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)和公式直接計算可得；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)和公式計算出相關(guān)系數(shù)即可求出.【詳解】（1），，，，所以，，所以模型的方程為，，，，所以，，所以模型的方程為；（2），所以，，因為更接近1，所以模型的擬合效果更好，則次年2月凈利潤為萬元.考點六、獨立性檢驗1．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）一項試驗旨在研究