專題32求曲線的軌跡方程（提升專題）（核心考點(diǎn)精講精練）類型一、判斷軌跡形狀類型二、代入法求軌跡方程類型三、直接法求軌跡方程類型四、定義法求軌跡方程類型五、軌跡方程的綜合應(yīng)用高考中對軌跡方程的考查方向可能包括以下幾種：

1、直接求軌跡方程：給出已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，要求考生求出軌跡方程，這通常涉及到曲線的基本方程或參數(shù)法求解。

2、利用軌跡方程進(jìn)行推理證明：有時(shí)會給出一些已知曲線或曲線的某些性質(zhì)，要求考生利用這些信息證明某些結(jié)論或計(jì)算某個(gè)數(shù)值。

3、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的參數(shù)：在某些情況下，已知?jiǎng)狱c(diǎn)坐標(biāo)與某一參數(shù)的關(guān)系，要求考生求出這個(gè)參數(shù)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

4、交軌法求軌跡方程：有時(shí)會給出兩個(gè)或多個(gè)動(dòng)曲線方程，要求考生求出這些曲線的交點(diǎn)軌跡方程，這通常涉及到消去參數(shù)法求解。

綜上所述，高考中對軌跡方程的考查方向主要在于軌跡方程的直接求解和利用軌跡方程進(jìn)行推理證明，同時(shí)也會考查參數(shù)法求解和交軌法求解等技巧。類型一、判斷軌跡形狀1．已知是橢圓的長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則直線與直線的交點(diǎn)所形成的軌跡為（

）A．雙曲線 B．拋物線C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線2．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）已知空間直線、和平面滿足：，，.若點(diǎn)，且點(diǎn)到直線、的距離相等，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線3．（2018年北京大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題）在正方體中，動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且滿足，則動(dòng)點(diǎn)M在底面內(nèi)的軌跡為（

）A．圓的一部分B．橢圓的一部分C．雙曲線一支的一部分 D．前三個(gè)答案都不對4．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若=2，則點(diǎn)C的軌跡為（

）A．橢圓 B．射線 C．圓 D．直線5．（2023屆北京名校一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且．那么，動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（

）

A．一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)6．若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和直線：的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．橢圓 D．拋物線7．（2024屆遼寧省調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題）正四面體中，在內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足到底面的距離等于的倍，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀為（

）.A．一段圓弧 B．橢圓的一部分 C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分

8．以為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，且滿足，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線9．（2023屆廣東省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)為定圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A為圓所在平面上的定點(diǎn)，線段的中垂線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡可能是；、.類型二、代入法求軌跡方程使用代入法求軌跡方程的步驟如下：

1、判斷動(dòng)點(diǎn)：根據(jù)題目所給的條件，判斷已知曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)。

2、求出關(guān)系式：找到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的關(guān)系式。

3、將點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程：將上述關(guān)系式中的點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，得到新的方程式。1．（2023年上海市模擬數(shù)學(xué)試題）動(dòng)點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，則點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是.2．求連接定點(diǎn)和曲線上動(dòng)點(diǎn)的線段的中點(diǎn)的軌跡方程．3．（2023年四川省模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題）已知面積為16的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．4．已知曲線和定點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，若，當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程．5．在邊長為的正內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，已知，求點(diǎn)P的軌跡方程.6．如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

7．（3.3拋物線）求解下列問題：

(1)如圖，動(dòng)圓：，與橢圓：相交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)．求直線與直線的交點(diǎn)M的軌跡方程．(2)已知，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求的重心G的軌跡方程．8．橢圓上有動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，求的重心M的軌跡方程.9．已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程為．類型三、直接法求軌跡方程直接法：根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線的斜率公式等，直接列出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。

直接法求軌跡方程的步驟如下：

1、建系：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系。

2、設(shè)點(diǎn)：用（x，y）表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)。

3、列式：列出關(guān)于x，y的方程。

4、化簡：把方程化簡為最簡形式。

5、求軌跡：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。1．（2023屆湖北省省考模擬測試數(shù)學(xué)試題）如圖，已知圓，圓，已知為兩圓外的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作兩圓的割線和，總有，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．2．（2023年廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知，若動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之積為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2023屆廣西高考數(shù)學(xué)模擬試題）若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．4．（2023年甘肅省模擬數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡為的方程(2)設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.5．已知橢圓，點(diǎn)A，B分別是它的左?右頂點(diǎn)，一條垂直于x軸的動(dòng)直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l與橢圓相切于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，看作P，Q兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A或點(diǎn)B，求直線與直線的交點(diǎn)M的軌跡方程.6．已知的兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，且、邊所在直線的斜率之積等于，討論頂點(diǎn)的軌跡方程．7．給定、兩點(diǎn)，求證：與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是．8．若點(diǎn)與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2，求點(diǎn)的軌跡方程．9．（2023年湖南省入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：的長軸長為，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)P為橢圓C外一點(diǎn)，且過點(diǎn)P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍．求點(diǎn)P的軌跡方程；11．（2023屆湖南省一模數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C：，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)點(diǎn)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合），若直線PA，直線PB的斜率存在且斜率之積為，試探究直線l是否過定點(diǎn)，并說明理由；(2)若．過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．12．已知點(diǎn)A，B，P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線PA與PB的斜率之積是，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為.13．（2023年四川省月考數(shù)學(xué)試題）自引圓的割線ABC，則弦中點(diǎn)P的軌跡方程.14．已知是橢圓中垂直于長軸的動(dòng)弦，是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則直線和的交點(diǎn)的軌跡方程為．類型四、定義法求軌跡方程定義法：通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程。這種方法叫做定義法，運(yùn)用定義法求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理。定義法求軌跡方程的步驟如下：

1、根據(jù)已知條件判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合哪個(gè)基本軌跡（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）。

2、直接根據(jù)定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是識別出軌跡的形狀，然后利用該形狀的定義來寫出方程。1．（2023年安徽省模擬數(shù)學(xué)試題）已知直線交拋物線：于軸異側(cè)兩點(diǎn)，，且，過向作垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）2．（2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試及加試試題（A卷））平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，為的焦點(diǎn)，，為上的兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)，使得線段的一個(gè)三等分點(diǎn)位于線段上（含端點(diǎn)），記為線段的另一個(gè)三等分點(diǎn).求點(diǎn)的軌跡方程.3．已知的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為．4．已知過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，過原點(diǎn)作，使，垂足為點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

5．已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程類型五、軌跡方程的綜合應(yīng)用1．（2023屆山東省聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題）古希臘亞歷山大時(shí)期一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問題：即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線．今有平面內(nèi)三條給定的直線，且，均與垂直．若動(dòng)點(diǎn)M到的距離的乘積是M到的距離的平方的4倍，則動(dòng)點(diǎn)M在直線之間（含邊界）的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線2．（2023年浙江省模擬數(shù)學(xué)試題）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對這一定義進(jìn)行了證明．他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是橢圓，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023屆寧夏聯(lián)合考試一模數(shù)學(xué)（理）試題）2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知點(diǎn)是雙紐線上一點(diǎn)，有如下說法：①雙紐線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；②；③雙紐線上滿足的點(diǎn)有兩個(gè)；④的最大值為.其中所有正確的說法為（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④4．（2023年內(nèi)蒙古模擬數(shù)學(xué)文科試題）發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對把卵形線描繪成軌道有興趣．像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾卵形線的作法也是基于對橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線．卡西尼卵形線是由下列條件所定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù)．已知：曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)B．曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱C．曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱D．若點(diǎn)在曲線上，則的面積不