2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與調(diào)查數(shù)據(jù)分析案例分析試題型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某市市場(chǎng)監(jiān)督管理局想要了解該市餐飲行業(yè)中使用地溝油的情況，計(jì)劃進(jìn)行一項(xiàng)抽樣調(diào)查。假設(shè)該市共有餐飲店鋪5000家，這些店鋪按地理位置分布在不同區(qū)域。請(qǐng)分析以下抽樣方案設(shè)計(jì)的合理性，并提出改進(jìn)建議。1.由于調(diào)查人員時(shí)間有限且經(jīng)費(fèi)不高，決定采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，隨機(jī)抽取100家店鋪進(jìn)行調(diào)查。2.調(diào)查人員認(rèn)為不同區(qū)域的餐飲店鋪使用地溝油情況可能存在差異，決定先將5000家店鋪按地理位置劃分為10個(gè)區(qū)域，然后從每個(gè)區(qū)域中隨機(jī)抽取10家店鋪，共計(jì)100家店鋪進(jìn)行調(diào)查。3.調(diào)查人員了解到該市有大型連鎖餐飲品牌20家，認(rèn)為這些品牌可能對(duì)地溝油使用情況有代表性，于是決定在抽取上述100家店鋪之外，再隨機(jī)抽取10家大型連鎖餐飲品牌進(jìn)行調(diào)查。請(qǐng)分別對(duì)上述三種抽樣方案進(jìn)行評(píng)價(jià)，說明各自的優(yōu)缺點(diǎn)，并分析哪種方案可能更適用于本調(diào)查目標(biāo)。試題二假設(shè)某高校進(jìn)行了一項(xiàng)關(guān)于學(xué)生在線學(xué)習(xí)習(xí)慣的抽樣調(diào)查，采用分層整群抽樣的方法，共抽取了400名學(xué)生參與調(diào)查。調(diào)查數(shù)據(jù)經(jīng)過整理后，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生的在線學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)記錄存在缺失。請(qǐng)分析處理這些缺失值的幾種常見方法（如刪除法、均值填補(bǔ)法、回歸填補(bǔ)法等），并說明每種方法的適用條件和潛在影響。同時(shí)，請(qǐng)解釋在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析前，為什么進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗和缺失值處理是必要的。試題三某消費(fèi)者協(xié)會(huì)想了解某品牌手機(jī)用戶的滿意度。他們隨機(jī)抽取了200名購(gòu)買過該品牌手機(jī)的用戶進(jìn)行問卷調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)顯示，用戶滿意度評(píng)分（Likert量表，1表示非常不滿意，5表示非常滿意）的樣本均值為4.2，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.8。請(qǐng)根據(jù)這些信息，構(gòu)建一個(gè)95%的置信區(qū)間，用于估計(jì)該品牌手機(jī)用戶的總體滿意度均值。在構(gòu)建置信區(qū)間時(shí)，你需要說明所依據(jù)的統(tǒng)計(jì)原理，并解釋置信區(qū)間的含義。如果想要提高置信區(qū)間的精度（即縮小區(qū)間寬度），在不改變樣本量的情況下，可以采取哪些措施？試題四一家電商公司想要分析其網(wǎng)站用戶的購(gòu)買行為，收集了近期1000名用戶的瀏覽和購(gòu)買數(shù)據(jù)。他們發(fā)現(xiàn)用戶的月均瀏覽次數(shù)（X）和月均購(gòu)買金額（Y）之間存在一定的相關(guān)性，樣本相關(guān)系數(shù)為0.6。請(qǐng)解釋樣本相關(guān)系數(shù)的含義，并說明它是否能說明“月均瀏覽次數(shù)越高，月均購(gòu)買金額就一定越高”？如果公司想要進(jìn)一步了解瀏覽次數(shù)對(duì)購(gòu)買金額的影響程度，應(yīng)該進(jìn)行什么樣的統(tǒng)計(jì)分析？請(qǐng)簡(jiǎn)述該統(tǒng)計(jì)分析的基本原理和步驟。試題五某城市交通管理部門想要評(píng)估一項(xiàng)新的交通信號(hào)燈配時(shí)方案對(duì)改善交通擁堵的效果。他們選擇了該市某條主要干道作為研究對(duì)象，在實(shí)施新方案前后各一個(gè)月內(nèi)，記錄了該干道在高峰時(shí)段的平均擁堵時(shí)長(zhǎng)。實(shí)施前平均擁堵時(shí)長(zhǎng)為35分鐘，實(shí)施后平均擁堵時(shí)長(zhǎng)為30分鐘。請(qǐng)分析使用這兩個(gè)數(shù)據(jù)能否得出“新交通信號(hào)燈配時(shí)方案有效改善了交通擁堵”的結(jié)論。在進(jìn)行分析時(shí)，你需要考慮可能存在的哪些影響因素或潛在的偏差？如果需要更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卦u(píng)估方案效果，除了比較平均擁堵時(shí)長(zhǎng)，還可以采用哪些其他的數(shù)據(jù)或方法？試卷答案試題一評(píng)價(jià)：方案1：采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，所有店鋪機(jī)會(huì)均等。優(yōu)點(diǎn)是操作簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)是未能考慮店鋪地理位置差異可能導(dǎo)致的地溝油使用率差異，抽樣誤差可能較大，且如果地溝油使用店鋪分布不均勻，可能難以抽到足夠的樣本量。不適用于本調(diào)查目標(biāo)。方案2：采用分層隨機(jī)抽樣（按地理位置分層）。優(yōu)點(diǎn)是考慮了店鋪的地理位置差異，可以在每個(gè)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，使得樣本更具代表性，能提高估計(jì)的精度。缺點(diǎn)是增加了抽樣組織和實(shí)施的復(fù)雜度。適用于本調(diào)查目標(biāo)。方案3：在方案2的基礎(chǔ)上，再抽取大型連鎖餐飲品牌。這種方法稱為分層多階段抽樣或輔以特殊抽樣。優(yōu)點(diǎn)是確保了大型連鎖品牌被充分覆蓋。缺點(diǎn)是抽樣過程更復(fù)雜，且如果大型連鎖品牌與普通店鋪的地溝油使用情況差異巨大，單獨(dú)分析可能需要進(jìn)一步細(xì)分。是否適用于本調(diào)查目標(biāo)取決于大型連鎖品牌是否是調(diào)查的重點(diǎn)或其行為是否顯著不同。改進(jìn)建議：最優(yōu)方案是方案2，即采用分層隨機(jī)抽樣。如果資源允許且大型連鎖品牌確實(shí)是關(guān)鍵調(diào)查對(duì)象，可以在分層隨機(jī)抽樣基礎(chǔ)上，對(duì)抽到的大型連鎖品牌店鋪進(jìn)行進(jìn)一步的重點(diǎn)分析或增加其在樣本中的比例。試題二缺失值處理方法：1.刪除法：包括列表刪除（完全刪除包含缺失值的記錄）和成對(duì)刪除（僅刪除涉及缺失值的相關(guān)記錄）。優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，計(jì)算效率高。缺點(diǎn)是可能導(dǎo)致樣本量顯著減少，可能引入偏差（如果缺失不是隨機(jī)發(fā)生），丟棄了可能包含其他有用信息的數(shù)據(jù)。2.均值填補(bǔ)法：用該變量的樣本均值（或其他集中趨勢(shì)度量，如中位數(shù)）替換所有缺失值。優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，不改變數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，計(jì)算方便。缺點(diǎn)是降低了數(shù)據(jù)的變異性，可能掩蓋了真實(shí)的分布特征，不適用于缺失值較多或變量間存在相關(guān)性的情況。3.回歸填補(bǔ)法：使用其他變量預(yù)測(cè)并填補(bǔ)缺失值。例如，可以建立包含缺失變量的回歸模型（使用其他變量作為自變量），然后用預(yù)測(cè)值填補(bǔ)缺失值。優(yōu)點(diǎn)是比均值填補(bǔ)更合理，能利用變量間的信息。缺點(diǎn)是模型設(shè)定和計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，預(yù)測(cè)誤差可能引入偏差。數(shù)據(jù)清洗和缺失值處理必要性：數(shù)據(jù)分析前進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗和缺失值處理是必要的，因?yàn)樵紨?shù)據(jù)往往包含錯(cuò)誤、不完整或不符合要求的信息。缺失值的存在會(huì)干擾數(shù)據(jù)分析過程（如影響參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性、降低統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的效力），甚至導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。適當(dāng)?shù)奶幚矸椒梢詼p少偏差，提高數(shù)據(jù)質(zhì)量和分析結(jié)果的可靠性。試題三統(tǒng)計(jì)原理：依據(jù)正態(tài)分布總體均值未知時(shí)，使用樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)建置信區(qū)間的方法。當(dāng)樣本量足夠大（n≥30）時(shí)，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，可用于構(gòu)建置信區(qū)間。置信區(qū)間構(gòu)建：總體均值的點(diǎn)估計(jì)為樣本均值$\bar{X}=4.2$。抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差$SE=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0.8}{\sqrt{200}}\approx0.0566$。95%置信水平對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)$z_{\alpha/2}\approx1.96$。置信區(qū)間=$\bar{X}\pmz_{\alpha/2}\timesSE=4.2\pm1.96\times0.0566\approx4.2\pm0.1111$。置信區(qū)間約為(4.0889,4.3111)。置信區(qū)間含義：我們有95%的置信度認(rèn)為，該品牌手機(jī)用戶的總體滿意度均值真實(shí)值落在4.0889到4.3111之間。提高精度的措施（不改變樣本量）：在不改變樣本量的情況下，提高置信區(qū)間的精度（即縮小區(qū)間寬度）的唯一方法是降低抽樣誤差。對(duì)于給定的樣本量，降低抽樣誤差的主要途徑是采用更有效的抽樣方法（如分層抽樣相比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣），或者在抽樣過程中提高數(shù)據(jù)收集的準(zhǔn)確性。在本題設(shè)定下，若僅考慮統(tǒng)計(jì)推斷本身，無法在不改變樣本量和抽樣方法的情況下縮小基于樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間寬度。試題四樣本相關(guān)系數(shù)含義：樣本相關(guān)系數(shù)（如Pearson相關(guān)系數(shù)）用于衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向。其取值范圍在-1到1之間。數(shù)值越接近1，表示正相關(guān)越強(qiáng)；數(shù)值越接近-1，表示負(fù)相關(guān)越強(qiáng)；數(shù)值越接近0，表示線性關(guān)系越弱。在本例中，相關(guān)系數(shù)為0.6，說明月均瀏覽次數(shù)和月均購(gòu)買金額之間存在中等強(qiáng)度的正線性關(guān)系，即通常情況下，瀏覽次數(shù)越高，購(gòu)買金額也傾向于越高。相關(guān)系數(shù)局限性：樣本相關(guān)系數(shù)僅說明兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系的程度，不能說明因果關(guān)系。0.6的正相關(guān)并不能證明“月均瀏覽次數(shù)越高，月均購(gòu)買金額就一定越高”。可能存在其他未考慮的因素同時(shí)影響著這兩個(gè)變量，或者這種關(guān)系是雙向的。例如，高購(gòu)買金額的用戶可能更有興趣瀏覽，或者某些促銷活動(dòng)同時(shí)增加了瀏覽和購(gòu)買。進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析：如果想了解瀏覽次數(shù)對(duì)購(gòu)買金額的影響程度，應(yīng)該進(jìn)行簡(jiǎn)單線性回歸分析。基本原理是建立以月均購(gòu)買金額(Y)為因變量，月均瀏覽次數(shù)(X)為自變量的回歸模型$Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$。通過分析回歸系數(shù)$\beta_1$的估計(jì)值及其顯著性，可以判斷瀏覽次數(shù)對(duì)購(gòu)買金額的平均影響程度（$\beta_1$的值表示X每增加一個(gè)單位，Y預(yù)計(jì)平均變化$\beta_1$個(gè)單位），并檢驗(yàn)這種影響的統(tǒng)計(jì)顯著性。步驟包括：擬合回歸模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w顯著性（F檢驗(yàn)）、檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性（t檢驗(yàn)）、評(píng)估模型擬合優(yōu)度（R方）等。試題五分析：僅比較新方案實(shí)施前后的平均擁堵時(shí)長(zhǎng)，不能得出“新方案有效改善了交通擁堵”的結(jié)論。原因如下：1.時(shí)間效應(yīng)/季節(jié)性：高峰時(shí)段的平均擁堵時(shí)長(zhǎng)可能受到季節(jié)、節(jié)假日、天氣等因素的影響，新方案實(shí)施前后的數(shù)據(jù)可能處于不同的外部環(huán)境條件下。2.未排除其他干擾因素：在新方案實(shí)施期間，可能同時(shí)發(fā)生了其他改變交通狀況的事件（如道路施工、交通事故、特殊活動(dòng)等），這些事件也會(huì)影響擁堵時(shí)長(zhǎng)。3.選擇偏差：無法確定實(shí)施前后測(cè)量的干道流量或其他條件是否具有可比性。4.測(cè)量誤差：記錄平均擁堵時(shí)長(zhǎng)的方法或精度可能發(fā)生變化。潛在影響因素或偏差：上述的時(shí)間效應(yīng)、外部干擾、選擇偏差、測(cè)量誤差等都可能導(dǎo)致觀察到的擁堵時(shí)長(zhǎng)變化并非完全由新信號(hào)燈方案引起，存在觀察到的改善并非真實(shí)的（即真實(shí)效應(yīng)被高估）或改善不明顯但被忽略（真實(shí)效應(yīng)被低估）的偏差。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑u(píng)估方法：1.設(shè)置對(duì)照組：選擇一條交通條件相似但未實(shí)施新方案的其他干道作為對(duì)照組，同時(shí)比較兩條干道在方案實(shí)施前后的擁堵情況變化。2.使用更全面的數(shù)據(jù)：收集并分析更多維度的數(shù)據(jù)，如不同時(shí)段的擁堵時(shí)長(zhǎng)、特定路口的延誤時(shí)間、車流量、事故發(fā)生次數(shù)等，進(jìn)行