2.1.2+橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）課件-2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修第一冊(cè)_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

2.1.2橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）二,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

如圖,給定橢圓,它的焦點(diǎn)為F1,F2，焦距│F1F2|=2c(c≥>0),橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和等于2a(a>c).xy··F1F2M

以直線F1F2為x軸,線段F1F2的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則焦點(diǎn)F1,F2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,0),|MF1|+|MF2|=2a(-c,0)(c,0)下面我們來求橢圓的方程y··F1F2M設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點(diǎn).由橢圓的定義,橢圓上的點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=2a

焦點(diǎn)F1,F2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,0)

上式兩邊平方

(c,0)(-c,0)整理,得

由橢圓定義可知a>c,所以a2-c2>0.令b2=a2-c2其中b>0,代入上式,得

y··F1F2MO

A1A2B2B1

這說明橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足以上方程.我們還可以證明,這個(gè)方程每一組解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上.

*以下證明供學(xué)習(xí)時(shí)參考.

點(diǎn)P0到F1(-c,0)和F2(c,0)的距離之和為

y··F1F2M

y··F1F2M

c

c

c越接近a的大小，b就越小，橢圓就越扁，反之越圓

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖象：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖象

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)，，的關(guān)系

例1已知B,C是兩個(gè)定點(diǎn)。BC=8,且△ABC的周長等于18.求頂點(diǎn)A滿足的一個(gè)方程.解由已知|AB|+|AC|+|BC|=18，|BC|=8，得|AB|+|AC|=10由定義可知點(diǎn)A的軌跡是一個(gè)橢圓,且2c=8.2a=10，即c=4,a=5.所以b2=a2-c2=9

如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,使x軸經(jīng)過B,C兩點(diǎn).原點(diǎn)O為x的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A在直線BC上,即y=0時(shí).A、B，C一點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.因此,點(diǎn)A滿足的一個(gè)方程是

y··F1F2M··M1M2AB

1、點(diǎn)在橢圓外如圖點(diǎn)M1，連結(jié)M1F1，M1F2，AF2

2、點(diǎn)在橢圓內(nèi)如圖點(diǎn)M2，連結(jié)M2F1，M

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