3.1.2空間兩點(diǎn)間的距離公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點(diǎn)）2.掌握并能推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點(diǎn)）3.能夠運(yùn)用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題，體現(xiàn)邏輯推理能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入思考一下：距離是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實(shí)際問題經(jīng)常涉及距離.兩點(diǎn)間的距離也就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的長度.在空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離與兩點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系?在空間直角坐標(biāo)系中，給定P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn).若其中一點(diǎn)為原點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)Q為原點(diǎn)O，過點(diǎn)P分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面，則被各坐標(biāo)平面所截可得長方體A1P1C1O-APCB(如圖)，且長方體的棱長滿足|OA1|=|x1|，|OC1|=|y1|，|OB|=|z1|.先考慮特殊情況新課學(xué)習(xí)由圖可知，P，O兩點(diǎn)間的距離就是長方體A1P1C1O-APCB的對(duì)角線PO的長度.根據(jù)長方體對(duì)角線的長與各棱長的關(guān)系，得|PO|2=|OA1|2+|OC1|2+|OB|2,即上述方法得到啟發(fā)：空間中兩點(diǎn)間的距離可以轉(zhuǎn)化為長方體對(duì)角線的長度.新課學(xué)習(xí)再來看一般情況對(duì)于空間任意P,Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面，過點(diǎn)Q也分別作與三條坐標(biāo)軸垂直的平面(如圖)，當(dāng)這六個(gè)平面均不重合時(shí)，它們圍成一個(gè)長方體PCBA-EFQD，且長方體的各棱所在的直線均與某條坐標(biāo)軸平行或重合.由圖易知，C，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y2,z1)，(x2,y2,z1)，因?yàn)镃B平行于x軸，所以|CB|=|x2-x1|.同理有|PC|=|y2-y1|，|BQ|=|z2-z1|.新課學(xué)習(xí)因此|PQ|2=|CB|2+|PC|2+|BQ|2，即

當(dāng)這六個(gè)平面中至少有兩個(gè)平面重合時(shí)，不妨設(shè)垂直于軸的兩個(gè)平面重合(z1=z2)，作出其余四個(gè)平面與xOy平面的交線(如圖).容易證明：四邊形PQQ1P1為矩形或線段PQ與P1Q1重合，所以|PQ|=|P1Q1|.新課學(xué)習(xí)由圖易知，P1，Q1兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1,0)，(x2,y2,0)，再根據(jù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式，有于是仍有新課學(xué)習(xí)空間兩點(diǎn)間的距離公式的概念已知空間中P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)兩點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式.新課學(xué)習(xí)思考交流：方程x2+y2+z2=1表示什么圖形？∵x2+y2+z2=1，∴方程x2+y2+z2=1表示以原點(diǎn)O為球心，以1為半徑的球面.新課學(xué)習(xí)例3:給定空間直角坐標(biāo)系，在x軸上找一點(diǎn)P，使它與點(diǎn)P0(4,1,2)的距離為設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,0,0)，由題意，得|P0P|=即所以(x-4)2=25，解得x=9或x=-1.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,0,0)或(-1,0,0).新課學(xué)習(xí)拓展：由空間兩點(diǎn)間距離求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法：1.若已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離以及點(diǎn)在特殊位置，則可直接設(shè)出該點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解點(diǎn)的坐標(biāo).2.若已知一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之間的關(guān)系，以及其他的一些條件，則可以列出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程進(jìn)行求解.新課學(xué)習(xí)利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求線段長度問題的步驟：建系確定點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)用公式建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系確定出所需點(diǎn)的坐標(biāo)利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求得所求線段的長新課學(xué)習(xí)練一練：在z軸上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A(1,0,2)與點(diǎn)B(1,-3,1)的距離相等.設(shè)點(diǎn)M(0,0,m)

，因?yàn)镸到點(diǎn)A(1,0,2)與點(diǎn)B(1,-3,1)的距離相等，所以解得m=-3，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0,3)

.課堂鞏固A課堂鞏固課堂鞏固D課堂鞏固課堂鞏固C課堂鞏固課堂鞏固A課堂鞏固課堂鞏