第三章空間向量與立體幾何3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用課標(biāo)要求1.掌握空間向量運算的坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的數(shù)量積運算的坐標(biāo)表示.3.能利用空間兩點間的距離公式解決有關(guān)問題.素養(yǎng)要求通過學(xué)習(xí)空間向量運算的坐標(biāo)表示，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識探究1一、空間向量的坐標(biāo)1.思考平面向量的坐標(biāo)是如何定義的？

單位互相垂直(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)坐標(biāo)向量投影向量即一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的______________________.終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)AA∴|BC|＝4，|DC|＝3，|CC1|＝2，∴C1的坐標(biāo)為(0，3，2).二、空間向量的坐標(biāo)運算1.思考類比平面向量中兩向量的加法、減法、數(shù)乘向量以及數(shù)量積的坐標(biāo)運算，能得到空間中兩個向量的上述坐標(biāo)運算嗎？

提示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.2.設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)則有向量運算坐標(biāo)表示加法a＋b＝__________________________減法a－b＝_________________________數(shù)乘λa＝______________________數(shù)量積a·b＝________________(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(x1－x2，y1－y2，z1－z2)(λx1，λy1，λz1)，λ∈Rx1x2＋y1y2＋z1z2B3.做一做

(1)已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，則b等于(

) A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2) C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)

解析b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).D(2)已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，則4a＋2b等于(

)A.(16，0，4) B.(8，－16，4)C.(8，16，4) D.(8，0，4)解析4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).提示

不一定，只有當(dāng)x2，y2均不為0時才成立.2.思考在空間向量中，若a，b的夾角為鈍角，則a·b＜0，反之成立嗎？

提示

不成立，當(dāng)〈a，b〉＝π時，a·b＜0.3.思考若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，你能得到|a|和cos〈a，b〉的計算方法嗎？4.填空(1)相關(guān)坐標(biāo)表示名稱滿足條件向量表示形式坐標(biāo)表示形式a∥ba＝λb(b≠0)x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)a⊥ba·b＝0________________________x1x2＋y1y2＋z1z2＝0D(2，1，－4)互動合作研析題型關(guān)鍵能力提升2題型一空間向量的坐標(biāo)運算例1

(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝________.(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，則cos〈a，b〉＝________.-4解析(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，則(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.(2)設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，關(guān)于空間向量坐標(biāo)運算的兩種形式(1)直接利用坐標(biāo)公式首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后準(zhǔn)確運用空間向量坐標(biāo)運算公式計算.(2)由條件求向量或點的坐標(biāo)首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標(biāo).思維升華AC解析

因為a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，所以a＋b＝(7，－5，0)，故A正確；a－b＝(－5，1，－4)，故B不正確；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正確；(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________.解析據(jù)題意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.2題型二空間向量平行、垂直的坐標(biāo)運算(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，(1)已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，可利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程(組)求解.(2)利用向量也可證明直線、平面平行或垂直.需要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明.思維升華訓(xùn)練2(1)已知向量a＝(－1，2，1)，b＝(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐標(biāo)為(

)

A.(3，－6，－3)B.(3，－3，－6)

C.(3，2，1)D.(3，1，2)A

題型三利用空間向量解決夾角、距離問題

在利用空間向量的坐標(biāo)運算求長度和夾角時，(1)首先寫出相關(guān)點的坐標(biāo)；進(jìn)而得到待定向量的坐標(biāo).(2)代入兩點間的距離公式或模的計算公式以及夾角公式即可.思維升華課堂小結(jié)1.牢記三個知識點(1)空間向量坐標(biāo)表示及其運算；(2)空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示；(3)空間向量的長度與夾角坐標(biāo)形式的表示.2.掌握兩種方法：(1)類比轉(zhuǎn)化，(2)數(shù)形結(jié)合.3.辨清兩個易錯點：(1)兩向量共線直接利用對應(yīng)坐標(biāo)成比例；(2)直線的夾角誤認(rèn)為兩向量的夾角.拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成3A一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)解析∵a－b＋2c＝(9，3，0)，22.已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°夾角的是(

) A.(－1，1，0) B.(1，－1，0) C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)B代入各選項檢驗得b＝(1，－1，0)滿足.B解析

由題意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在實數(shù)λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，BCAC6.若a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c兩兩垂直，則x＝________，y＝________，z＝________.－64－26－17解析∵a⊥b，a⊥c，b⊥c，8.如圖，E是棱長為2的正方體的棱AA1的中點，F(xiàn)為棱AB上的一點，且∠C1EF＝90°，則線段AF的長為________.解析

由題意，以點D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，并設(shè)AF＝t(0<t<2)，解得n＝±1，故c為(2，1，－2)或(－2，－1，2).(2)已知向量ka＋b與b互相垂直，

求k的值；由于ka＋b與b垂直，則(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5.(3)求△ABC的面積.解

由題意，得正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則A(2，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，設(shè)E(0，a，2)(0≤a≤2)，F(xiàn)(b，2，2)(0≤b≤2)，則a＝b＝1，故存在點E(0，1，2)，F(xiàn)(1，2，2)，BCD二、能力提升ACD解析

以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，13.棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點. (1)求證：EF⊥CF；(2)求異面直線EF與CG所成角的余弦值；(3)求CE的長.解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0，0，0)，14.已知關(guān)于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有兩個實根，且向量a＝